北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题01 整式乘法 教材精讲精练（原卷版+解析）

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专题01 整式乘法 教材精讲精练知识点1-1 同底数幂的乘法同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算；  = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②是乘法运算，切不可与加法运算混淆拓展： = 1 \* GB3 ① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数; = 2 \* GB3 ②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.同底数幂的乘法技巧 = 1 \* GB3 ①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算； = 2 \* GB3 ②逆用法则： am+n =am×an 例1．（2021·山东曹县·七年级期中）计算的结果是__________．变式1．（2021·山东日照·）在等式中，括号内的代数式为______．例2．（2021·湖南新田·七年级期中）长方体的长是cm，宽是cm，高是cm，这个长方体的体积为_______________ （用科学计数法表示）．变式2.（2022·全国八年级课时练习）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　)A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13例3．（2021·江西南城·七年级期中）若，则_______．变式3．（2021·浙江慈溪·七年级期末）已知，，则的值为______．例4．（2021·全国）求下列各式中x的值．（1）；（2）．变式4．（2021·南靖县城关中学）已知，则m的值是_________________．变式5．（2021·江苏相城区第三实验中学）若，，，则（ ）A． B． C． D．例5．（2021·四川成都实外七年级月考）定义新运算：a☆b＝10a×10b，则12☆3的值为_______．变式6．（2021·湖南茶陵·八年级期末）一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如：，则4叫做以3为底81的对数，记为（即＝4）．（1）计算以下各对数的值：　　，　　，　　．（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出、、满足的等量关系式；（3）由（2）猜想一般性的结论：　　　．（且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想．知识点1-2 幂的乘方运算法则幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数 拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.例1．（2021·山东中区·七年级期中）计算的结果为（ ）A． B． C． D．变式1．（2021·广西富川·七年级期末）计算 ________．例2．（2021·浙江）已知：，则（ ）A．2 B． C． D．变式2．（2021·无锡市侨谊实验中学七年级期中）若，则m的值是（ ）A．6 B．5 C．4 D．3例3．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）若9a∙27b÷81c＝9，则2c﹣a﹣b的值为____．变式3．（2021·德惠市第三中学八年级月考）若，求m的值.例4．（2021·杭州市丰潭中学七年级期中）若am＝5，an＝2，则a3m+2n＝_____．变式4．（2021·四川成都·七年级期末）已知：m+2n﹣2＝0，则3m•9n的值为______．例5．（2021·重庆一中）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（　　）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b变式5．（2021·广西象州·七年级期中）阅读材料，解决问题．材料一：比较和的大小．解：因为，而，所以，即．小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．材料二：比较和的大小．解：因为，而，所以，即．小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．（1）比较，，的大小：（2）比较，，的大小．知识点1-3积的乘方运算法则积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）例1．（2021·吉林长春外国语学校八年级月考）______________．变式1．（2021·陕西金台·九年级）计算（﹣x2y2z）2的结果正确的是（　　）A．﹣x4y4z B．x4y4z2 C．﹣x4y4z D．x4y4z2变式2．（2021·北京市广渠门中学八年级期中）计算：（1）； （2）．例2．（2021·清涧县教学研究室七年级期末）若，则的值是___________．变式3．（2021·河北丰宁·八年级期末）已知，则 _______．例3．（2021·湖北武汉·八年级期末）若an＝3，bn＝4，则 (ab)2n＝___________．例4．（2021·仪征市第三中学）（-0.125）2020×（-8）2021的值为_____．变式5．（2021·镇江实验学校）用简便方法计算下列各题：（1）（2）例5．（2021·全国）若代数式，，则________．（用、的代数式表示）变式6．（2021·天津南开·七年级期末）已知，那么的值为（ ）．A．5 B．1 C．10 D．2知识点1-4 同底数幂的除法运算 同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。注：a0=1（a≠0）例1．（2021·重庆七年级期中）计算a8÷a4的结果是（　　）A．a2 B．a4 C．a12 D．a32变式1．（2020·江苏九年级一模）计算的结果是（　　）A．a B．﹣a C．1 D．﹣1例2．（2021·上海七年级期末）如果，，那么________________．变式2．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学七年级期末）若，，则_____________．变式3．（2021·锦江区·七年级期末）若，则=_____．例3．（2020·江苏连云港市·七年级期末）若x－2y－3＝0，则=________．变式4．（2021·成都市·七年级期末）已知2x﹣6y+6＝0，则2x÷8y＝_____．例4．（2020·江苏盐城市·七年级期中）已知32×9m÷27=321，则m=______．变式5.（2021•江阴市校级月考）求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．知识点1-5 与的应用1）零指数幂：=1()； 2）负整数指数幂：=（，p为正整数）。注意： eq \o\ac(○,1)； eq \o\ac(○,2)当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==； eq \o\ac(○,3)在混合运算中,始终要注意运算的顺序。3） ()的应用注：，可能有三种情况： eq \o\ac(○,1)=1()；  eq \o\ac(○,2)=1；  eq \o\ac(○,3)=1（n为偶数）例1．（2021·成都市七年级月考）无意义，则x的取值为 ________．变式1．（2021·江苏南通市·八年级月考）当a______时，(a-2)0=1．例2．（2021·陕西延安市·八年级期末）计算：．变式2．（2021·甘肃白银市七年级期末）计算变式3．（2020·四川郫都·初一期末）计算：（）2019×（）﹣2020＝_____．例3．（2021·山西期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．变式4．（2021·江西省宜春实验中学八年级月考）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012用科学记数法表示应该是______．变式5．（2021·贵州省八年级期中）某种原子直径为1.3×10－4，把这个数化为小数是________．例4.（2020.成都市锦江区初一期中）已知,则x= 变式6.（2020.成外初一月考）若，则x的值为 变式7．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．知识点1-6 整式乘法1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单项式乘单项式，结果仍为单项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。即：p(a+b+c)=pa+pb+pc注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。例1．（2021·河源市第二中学七年级期中）.变式1．（2021·哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试）计算：______．例2．（2021·杭州市十三中教育集团七年级期中）若（3x+2）（3x+a）的化简结果中不含x的一次项，则常数a的值为（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2变式2．（2021·海口市第十四中学八年级月考）若的展开式中不含的二次项，则的值是（ ）A． B． C． D．例3．（2021·四川省成都市七中育才学校）已知（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n，则m与n的值分别是（　　）A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝1，n＝6 C．m＝﹣1，n＝﹣6 D．m＝﹣1，n＝6变式3．（2021·仪征市第三中学七年级月考）若（x+3）（x+n）=x2+mx-21，则m的值为_______．例4．（2021·利辛县第四中学七年级期中）先化简，再求值．，其中．变式4．（2021·东平县实验中学月考） 先化简，再求值． 其中．例5．（2020·江苏无锡市·七年级期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（ ）A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20变式5．（2021·浙江宁波·七年级期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则__；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 __．例6．（2021·湖南荷塘·七年级期末）如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为5的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形ABCD的面积记为，已知：，则长方形ABCD的周长为______．变式6．（2020·江苏南京市·七年级期末）根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）①；②；③；④A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④知识点1 -7平方差公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。例1．（2021·四川省成都市七中育才学校）计算（x﹣y）（x+y）的结果是（　　）A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y2 D．y2﹣x2变式1．（2021·全国八年级课时练习）填空（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．例2．（2021·西安市铁一中学八年级开学考试）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x） B．（2x2﹣y2）（2x2＋y2）C．（a＋b﹣c）（﹣c﹣b＋a） D．（﹣x＋y）（x﹣y）变式2．（2021·兰州市第五十五中学七年级月考）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）A．（2a＋b）（a－2b） B．（a－2b）（a－2b） C．（a＋2b）（－2b＋a） D．（2a－b）（－2a＋b）例3．（2021·浙江杭州市·翠苑中学九年级二模）若，，则（ ）A．1 B．-1 C．3 D．-3变式3．（2021·佛山市华英学校七年级期中）若，则表示的式子为______．例4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）的值为_______．变式4．（2021·兰州市第五十五中学七年级月考）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： ， ；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？（3）试利用这个公式计算：．例5．（2021·陕西八年级期末）探究下面的问题：（1）如图①，在边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成如图②的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是______（用式子表示）；（2）运用你所得到的公式计算：①；②．变式5．（2021·湖南长沙·八年级期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有 _________（填序号，多选）．知识点1-8 完全平方公式完全平方和（差）公式： 完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式拓展：利用可推导除一些变式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。例1．（2021·杭州市十三中教育集团七年级期中）先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．变式1．（2021·嵊州市初级中学七年级期中）化简（1）先化简，再求值：，其中．（2）已知，，求的值．例2．（2021·佛山市华英学校七年级期中）已知，，则的值为（ ）A．28 B．30 C．33 D．34变式2．（2021·重庆实验外国语学校七年级期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝________．例3．（2021·锦江区·初二学业考试）已知，则____________．变式3．（2021·长春市七年级月考）回答下列问题：（1）填空：（2）若，求的值．例4．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（ ）A． B． C．4 D．变式4．（2021·浮梁县第一中学七年级期中）已知m2＋2km＋16是完全平方式，则k＝_____．例5．（2021·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）阅读材料：例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，∴a＝1，b＝．参照上面材料，解决下列问题：（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．变式5．（2021·湖北武汉·八年级期末）已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．变式6．（2021·江苏.初一期中）已知，，，则代数式的值为______．例6．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．（1）观察图②，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是　 　；（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．变式7．（2021·安徽临泉·）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系为 ；（2）运用你所得到的公式解答下列问题：①若m、n为实数，且m＋n＝－2，mn＝－3，求m－n的值．②如图3，S1、S2分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上．若S1＋S2＝20，AB＝a＋b＝6，求图中阴影部分的面积．知识点1-9 公式的拓展==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc2）同样，a、b、c可以通过换元。如，令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc 3）立方差公式：；立方和与立方差：=例1．（2021·浙江瑞安·开学考试）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，若三个实数，，满足，，利用等式求得的值为（ ）A． B． C． D．变式1．（2021·全国初一课时练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：（1）写出图中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？变式2．（2021·福建省安溪恒兴中学）我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：就可以用如图所示的面积关系来说明．(1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：(2)若求的值；(3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为的100个立方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?例2．（2020·江苏建湖·初一期中）学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式：　 　；（2）知识迁移：①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，可得等式：　 　；②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值．变式3．（2020·江苏江阴初一期中）（知识生成）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为　 　；（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为　 　、　 　（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是　 　（等号两边需化为最简形式）；（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为　 　（知识迁移）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________　 　（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．变式4．（2020·四川郫都·初一期末）（知识生成）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：　 　；（知识迁移）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：　 　；（成果运用）利用上面所得的结论解答：（1）已知x+y＝6，xy＝，求x﹣y的值；（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．1-10 整式除法1) 单项式除单项式通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。2) 多项式除单项式多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。例1．（2022·广东东莞·八年级期末）（9a2﹣6ab）÷3a＝_____．变式1．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：÷＝_______．例2．（2021·佛山市七年级期中）先化简，再求值：，其中，．变式2．（2021·重庆实验外国语学校七年级期中）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x﹣3y）2﹣（3y﹣x）（x+3y）﹣x2]÷（3y），其中x，y满足x2+4x+4+|y+1|＝0．变式3．（2021·南通市七年级期中）计算：求当时，的值．例3．（2021·广东南沙·八年级期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（　　）A．（2a+b2） B．（a+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2）变式4．（2021·河南卫辉·八年级期中）如果，那么____________．例4．（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校八年级期末）长方形的面积为，其中一边长是，则另一边长是_______．变式5．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）福州市园林局为美化城区环境，计划在一块长方形地上种植某种草皮，已知长方形空地的面积为（3a²b³-6a²b+27a³b³）平方米，宽为3ab米，则这块空地的长为__米．例5．（2021·浦江县教育研究和教师培训中心七年级期末）若被除后余2，则的值为_____．变式6．（2021·全国初二课时练习）已知多项式除以，商是，余式为1，的值为________．例6.（2020·重庆九龙坡初二月考）我们知道整数除以整数（其中），可以用竖式计算，例如计算可以用整式除法如图：，所以.类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.例如：计算.可用整式除法如图：所以除以商式为，余式为0根据阅读材料，请回答下列问题：（1） .（2），商式为 ，余式为 .（3）若关于的多项式能被三项式整除，且均为整数，求满足以上条件的的值及商式.变式7．（2020·重庆初三三模）阅读材料：类比是数学中常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法.例：① ② ③ ④ 理解应用：（1）请仿照上面的竖式方法计算：；（2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式.（3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的倍（如图）.同时，矩形的面积和另一个边长为的矩形的面积相等，求的值和矩形的另一边长.专题01 整式乘法 教材精讲精练知识点1-1 同底数幂的乘法同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算；  = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②是乘法运算，切不可与加法运算混淆拓展： = 1 \* GB3 ① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数; = 2 \* GB3 ②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.同底数幂的乘法技巧 = 1 \* GB3 ①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算； = 2 \* GB3 ②逆用法则： am+n =am×an 例1．（2021·山东曹县·七年级期中）计算的结果是__________．【答案】【分析】根据同底数幂乘法的运算性质，运算后直接得出答案．【详解】，故答案为：．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加的性质，熟练掌握性质是解题关键．变式1．（2021·山东日照·）在等式中，括号内的代数式为______．【答案】【分析】根据同底数幂乘法的计算法则，得出答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．例2．（2021·湖南新田·七年级期中）长方体的长是cm，宽是cm，高是cm，这个长方体的体积为_______________ （用科学计数法表示）．【答案】【分析】根据长方体的体积公式求解即可得到答案．【详解】解：∵长方体的长是cm，宽是cm，高是cm，∴长方体的体积，故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学计数法，同底数幂的乘法，长方体体积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．变式2.（2022·全国八年级课时练习）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　)A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13【答案】C【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算，最后再化成科学记数法即可得解．【详解】解：(7×106)(5×105)(2×10)＝(7×5×2)×(106×105×10)＝7×1013所以，a＝7，n＝13．故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键．例3．（2021·江西南城·七年级期中）若，则_______．【答案】3【分析】根据同底数幂的乘法法则，即可求解．【详解】解：∵，∴，又∵，∴12÷4=3，故答案是：3．【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则，是解题的关键．变式3．（2021·浙江慈溪·七年级期末）已知，，则的值为______．【答案】140【分析】同底数幂的乘法的逆用公式： 根据公式作变形直接计算即可得到答案.【详解】解： ，，则故答案为：【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键.例4．（2021·全国）求下列各式中x的值．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则得出关于x的等式进而得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则得出关于x的等式进而得出答案．【详解】解：（1）∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确得出关于x的等式是解题关键．变式4．（2021·南靖县城关中学）已知，则m的值是_________________．【答案】2【分析】根据同底数幂的乘法法则将原式变形可得，再利用乘法分配律合并计算，得到m值．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴m=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用运算法则．变式5．（2021·江苏相城区第三实验中学）若，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同底数幂乘法的逆运算进行计算即可【详解】解：∵，，，∵∴故选：A【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握法则是解题的关键例5．（2021·四川成都实外七年级月考）定义新运算：a☆b＝10a×10b，则12☆3的值为_______．【答案】1015【分析】由题目中给出的运算方法，首先转化为正常的运算，然后计算即可求解．【详解】解：∵a☆b=10a×10b，∴12☆3=1012×103=1015，故答案为：1015．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题关键是对号入座不要找错对应关系．变式6．（2021·湖南茶陵·八年级期末）一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如：，则4叫做以3为底81的对数，记为（即＝4）．（1）计算以下各对数的值：　　，　　，　　．（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出、、满足的等量关系式；（3）由（2）猜想一般性的结论：　　　．（且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想．【答案】（1）2，4，6；（2）＋＝；（3）猜想，证明见解析．【分析】（1）根据材料中给出的运算，数值就是乘方运算的指数；（2）由（1）可以得出；（3）根据（2）可以写出，根据材料中的定义证明即可．【详解】（1），（2）（3）猜想： 证明：设，，则，，故可得，，即．【点睛】本题考查对阅读材料的理解，类似于定义新运算，需要根据已知的材料寻找规律．知识点1-2 幂的乘方运算法则幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数 拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.例1．（2021·山东中区·七年级期中）计算的结果为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接运用幂的乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，熟记法则是关键．变式1．（2021·广西富川·七年级期末）计算 ________．【答案】【分析】根据幂的乘方法则即可求解．【详解】解：故答案为：9a4b2【点睛】此题考查的是幂的乘方，掌握幂的乘方法则是解题的关键．例2．（2021·浙江）已知：，则（ ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】将已知等式利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形，从而得到a值．【详解】解：∵，∴，∴∴a=±2，故选C．【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练运用运算法则进行变形是解题的关键．变式2．（2021·无锡市侨谊实验中学七年级期中）若，则m的值是（ ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】先逆用幂的乘方的性质转化为以3为底数的幂相乘，再利用同底数幂的乘法的性质计算后根据指数相等列出方程求解即可．【详解】解：3•9m•27m＝3•32m•33m＝31＋2m＋3m＝321，∴1＋2m＋3m＝21，解得m＝4．故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质的逆用，同底数幂的乘法，转化为同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．例3．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）若9a∙27b÷81c＝9，则2c﹣a﹣b的值为____．【答案】-1【分析】根据幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式的逆运用，即可求解．【详解】解：∵9a∙27b÷81c＝9，∴(32)a∙(33)b÷(34)c＝9，即：32a∙33b÷34c＝32，∴2a+3b-4c=2，即： a+b-2c=1，∴2c﹣a﹣b=-1，故答案是：-1．【点睛】本题主要考查幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式，熟练掌握幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式的逆运用是解题的关键．变式3．（2021·德惠市第三中学八年级月考）若，求m的值.【答案】．【分析】由幂的乘方逆运算、同底数幂乘法进行化简，即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，解得：．【点睛】本题考查了幂的乘方逆运算、同底数幂乘法，解题的关键是掌握运算法则，正确的化简．例4．（2021·杭州市丰潭中学七年级期中）若am＝5，an＝2，则a3m+2n＝_____．【答案】500【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【详解】解：∵am=5，an=2，∴a3m+2n=a3m•a2n=（am）3•（an）2=53×22=125×4=500．故答案为：500．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．变式4．（2021·四川成都·七年级期末）已知：m+2n﹣2＝0，则3m•9n的值为______．【答案】9【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则的逆运用，即可求解．【详解】解：∵m+2n﹣2＝0，∴m+2n＝2，∴3m•9n=3m•（32）n=3m+2n=32=9，故答案是：9．【点睛】本题主要考查乘方法则以及同底数幂的乘法法则，熟练掌握掌握两个法则的逆运用是解题的关键．例5．（2021·重庆一中）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（　　）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【答案】A【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．【详解】 ∴ ∴a>b>c故选A【点睛】本题考查了有理数的大小比较，幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．变式5．（2021·广西象州·七年级期中）阅读材料，解决问题．材料一：比较和的大小．解：因为，而，所以，即．小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．材料二：比较和的大小．解：因为，而，所以，即．小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．（1）比较，，的大小：（2）比较，，的大小．【答案】（1）344＞433＞522；（2）8131＞2741＞961【分析】（1）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小；（2）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小．【详解】解：（1）∵344=（34）11=8111，433=（43）11=6411，522=（52）11=2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131=（34）31=3124，2741=（33）41=3123，961=（32）61=3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．知识点1-3积的乘方运算法则积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）例1．（2021·吉林长春外国语学校八年级月考）______________．【答案】【分析】先算积的乘方，将积的每个因式分别乘方，即，再算幂的乘方，底数不变，指数相乘，得．【详解】原式． 故答案是：．【点睛】此题主要考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则是解答此问题的关键．变式1．（2021·陕西金台·九年级）计算（﹣x2y2z）2的结果正确的是（　　）A．﹣x4y4z B．x4y4z2 C．﹣x4y4z D．x4y4z2【答案】B【分析】积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变，指数相乘，再根据法则运算即可．【详解】解： 故选：B．【点睛】本题考查的是积的乘方与幂的乘方运算，掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键．变式2．（2021·北京市广渠门中学八年级期中）计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方进行运算即可；（2）根据积的乘方进行运算即可．【详解】解：（1）==；（2）=．【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题关键．例2．（2021·清涧县教学研究室七年级期末）若，则的值是___________．【答案】-1【分析】现根据幂的乘法的运算法则求出m、n的值，然后代入求解．【详解】解：∵，∴ ，解得： ，则m2－2n=9−10=-1.故答案为：-1.【点睛】此题考查了积的乘方，掌握运算法则是解题关键．变式3．（2021·河北丰宁·八年级期末）已知，则 _______．【答案】9【分析】先把等号左边的代数式进行化简，然后指数相等求出m、n的值，进行计算即可．【详解】解：，又∵，∴，解得：，∴，故答案为：9【点睛】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的运算法则，解题的关键是单项式相等，字母相同，相同字母的指数也相同．例3．（2021·湖北武汉·八年级期末）若an＝3，bn＝4，则 (ab)2n＝___________．【答案】144【分析】根据积的乘方，可得，然后根据幂的乘方的逆运用，即可求解．【详解】解：∵an＝3，bn＝4，∴ ，∴ ．故答案为：144．【点睛】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的逆运用，熟练掌握 （n为正整数）， （m、n为正整数）是解题的关键．例4．（2021·仪征市第三中学）（-0.125）2020×（-8）2021的值为_____．【答案】-8【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】解：（-0.125）2020×（-8）2021=（-）2020×（-8）2020×（-8）=（×8）2020×（-8）=12020×（-8）=1×（-8）=-8．故答案为：-8．【点睛】本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．变式5．（2021·镇江实验学校）用简便方法计算下列各题：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而求出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而求出答案．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．例5．（2021·全国）若代数式，，则________．（用、的代数式表示）【答案】【分析】根据，，可以得到，由此求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方的逆用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．变式6．（2021·天津南开·七年级期末）已知，那么的值为（ ）．A．5 B．1 C．10 D．2【答案】B【分析】由题意易得，进而可得，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，即，∴，即，∴，∴；故答案为B．【点睛】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方及积的乘方是解题的关键．知识点1-4 同底数幂的除法运算 同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。注：a0=1（a≠0）例1．（2021·重庆七年级期中）计算a8÷a4的结果是（　　）A．a2 B．a4 C．a12 D．a32【答案】B【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可．【详解】解：a8÷a4＝a8﹣4＝a4．故选：B．【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底幂的除法运算法则是解题关键．变式1．（2020·江苏九年级一模）计算的结果是（　　）A．a B．﹣a C．1 D．﹣1【答案】A【分析】根据同底数幂的除法法则进行计算．【详解】解：原式＝，故选：A．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算方法是解题的关键．例2．（2021·上海七年级期末）如果，，那么________________．【答案】【分析】根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用变形，然后利用整体代入法求值即可．【详解】解：∵，，∴=====故答案为：．【点睛】此题考查的是幂的运算性质的应用，掌握同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键．变式2．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学七年级期末）若，，则_____________．【答案】【分析】根据同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则 ．【解答】解：故答案为：．变式3．（2021·锦江区·七年级期末）若，则=_____．【答案】2 【分析】直接利用同底数除法的逆用、幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】∵，，∴，∴．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了同底数除法的逆用、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．例3．（2020·江苏连云港市·七年级期末）若x－2y－3＝0，则=________．【答案】8【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可．【详解】解：由得，；故答案为8．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．变式4．（2021·成都市·七年级期末）已知2x﹣6y+6＝0，则2x÷8y＝_____．【答案】【分析】根据已知条件，先求出x﹣3y＝﹣3，然后根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的除法即可求出结论．【详解】解：2x﹣6y+6＝0，2（x﹣3y）＝﹣6，x﹣3y＝﹣3，∴2x÷8y＝2x÷23y＝2x﹣3y＝2﹣3＝．故答案为：．【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握幂的乘方的逆运算、同底数幂的除法和负指数幂的性质是解决此题的关键．例4．（2020·江苏盐城市·七年级期中）已知32×9m÷27=321，则m=______．【答案】11．【分析】根据32×9m÷27=321，可得：32+2m-3=321，据此求出m的值是多少即可．【详解】解：∵32×9m÷27=321，∴32+2m-3=321，∴2+2m-3=21，解得：m=11．故答案为：11．【点睛】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，要熟练掌握．变式5.（2021•江阴市校级月考）求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）根据同底数幂乘、除法的运算法则进行计算即可；（2）根据同底数幂乘法的运算法则进行计算即可；（3）根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则进行计算即可．【详解】解：（1）∵3×9m÷27m＝316，∴31+2m﹣3m＝316，∴1﹣m＝16，∴m＝﹣15；（2）∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴4x•32y＝22x+5y＝23＝8；（3）∵x2n＝4，∴xn＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9×26﹣4×24＝24×25＝29．知识点1-5 与的应用1）零指数幂：=1()； 2）负整数指数幂：=（，p为正整数）。注意： eq \o\ac(○,1)； eq \o\ac(○,2)当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==； eq \o\ac(○,3)在混合运算中,始终要注意运算的顺序。3） ()的应用注：，可能有三种情况： eq \o\ac(○,1)=1()；  eq \o\ac(○,2)=1；  eq \o\ac(○,3)=1（n为偶数）例1．（2021·成都市七年级月考）无意义，则x的取值为 ________．【答案】【分析】根据底数不为0的数的0次幂是1，可得底数不为0，可得答案．【详解】解：由题意得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了零指数幂，掌握零指数幂的底数不能为0是解决此题的关键．变式1．（2021·江苏南通市·八年级月考）当a______时，(a-2)0=1．【答案】a≠2【分析】根据零指数幂的定义进行求解即可．【详解】根据零指数幂的定义：任何非零数的零指数幂为1，得到，解得故答案为．【点睛】本题考查了零指数幂的性质，重点是熟记零指数幂的定义，即任何非零数的零指数幂为1．例2．（2021·陕西延安市·八年级期末）计算：．【答案】7【分析】原式利用负整数指数幂法则、零指数幂法则、绝对值的代数意义及乘方的意义计算即可得到结果．【详解】解：．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式2．（2021·甘肃白银市七年级期末）计算【答案】1【分析】先算幂运算，化简后在算加减运算．【详解】原式．【点睛】本题考查0指数幂、负指数幂和幂运算，把握运算规则是解题关键．变式3．（2020·四川郫都·初一期末）计算：（）2019×（）﹣2020＝_____．【答案】【分析】根据负整数指数幂的定义以及同底数幂的乘法法则计算即可．【解析】解：（）2019×（）﹣2020＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查同底数幂的运算及负指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．例3．（2021·山西期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解析】解：0.00000034=，故选：D．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a|