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北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题03 乘法公式 专项培优训练（原卷版+解析）
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这是一份北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题03 乘法公式 专项培优训练（原卷版+解析），共23页。
专题03 乘法公式 专项培优训练1．（2021•莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]2．（2021·成都市七年级期中）若x﹣=3，则=（ ）A．11 B．7 C． D．3．（2021•南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．（2021•镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）A．4041 B．2021 C．2020 D．15．（2021·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）A． B． C． D．6．（2021•宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）A．2020 B．2021 C．2022 D．20237．（2021·郑州枫杨外国语学校七年级月考）若x2﹣（2a﹣1）x+25是完全平方式，则a＝__________________．8．（2021·安徽八年级月考）已知，则_____________．9．（2021·福建初一期中）已知：，且则 ．10．（2021·四川成都.初一期中）已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.①；②若，，则；③若，，则；④若，，则；11．（2021·北京平谷.初一期中） 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．有如下四个结论：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．上述结论中，正确的有______（写出序号即可）．12．（2021·四川龙泉驿·七年级期中）根据下列材料，解答问题．例：求1＋3＋32＋33＋…＋3100的值．解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100则3S＝32＋33＋…＋3100＋3101因此，3S﹣S＝3101﹣1，∴S＝，即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝．（1）仿照例题，求1＋5＋52＋53＋……＋52019的值．（2）求证：1＋3＋32＋33……＋363＝（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）．（3）求1＋7＋72＋73＋……＋763的个位数字．13．（2020·吉林长春外国语学校初二期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．14．（2021·福建初二月考）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．例如：求代数式的最小值．当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．15．（2021·浙江七年级期中）（1）若，．请用含x的代数式表示y；如果，求此时y的值（2）已知，判断和的大小．16．（2021·浙江）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．（1）_________；（2）若，求的值；（3）比较大小：，则的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么）17．（2021·吉林铁西·八年级期末）例如：若，，求的值．解：因为，所以，即：，又因为，所以根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，，求的值；（2）填空：若，则______；（3）如图所示，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，分别以、作正方形和正方形，长方形的面积是12，则的值为______．18．（2021·安徽阜南·七年级期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1可以求出阴影部分的面积是________；（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_____，长是_____，面积是_____；（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式________；（用含a，b的式子表示）（4）小明展示了以下例题：计算：．解：原式= ……．在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：．19．（2021•十堰期末）阅读、理解、应用．例：计算：20163﹣2015×2016×2017．解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．请你利用上述方法解答下列问题：（1）计算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；（3）计算：．20．（2021·广东禅城·八年级期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一： ；方法二： ．（2）根据（1）中面积相等的关系，你能得出怎样的等量关系？（用含m的等式表示）（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝10，ab＝8，求a﹣b的值．（4）根据图③，写出一个等式： ． QUOTE 21．（2021·隆昌市知行中学八年级月考）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1： ；方法2： ．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，ab之间的等量关系： ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求ab的值；②已知，求的值．22．（2021·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论： 且，，． 专题03 乘法公式 专项培优训练1．（2021•莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]【分析】能用平方差公式计算式子的特点是：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．【解析】解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．故选：B．2．（2021·成都市七年级期中）若x﹣=3，则=（ ）A．11 B．7 C． D．【答案】C【分析】先由x﹣=3两边同时平方变形为，进而变形为，从而得解．【解析】解：∵x﹣=3，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】此题要运用完全平方公式进行变形.根据a2+b2=(a+b)2-2ab把原式变为，再通分，最后再取倒数.易错点是忘记加上两数积的2倍．3．（2021•南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】逆用平方差公式，进行变形即可得出答案．【解析】解：∵a＝361×918，b＝（888﹣30）×（888+30）＝858×918，c＝（1053+747）×（1053﹣747）＝1800×306＝600×918，∴a＜c＜b，故选：B．4．（2021•镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）A．4041 B．2021 C．2020 D．1【分析】依据完全平方公式求出c1和c2，即可得到c1﹣c2＝20212﹣20202，进而得出结论．【解析】解：∵（2020x+2021）2＝20202x2+2×2020×2021x+20212＝a1x2+b1x+c1，∴c1＝20212，∵（2021x﹣2020）2＝20212x2﹣2×2021×2020x+20202＝a2x2+b2x+c2，∴c2＝20202，∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，故选：A．5．（2021·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．【解析】2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2•29+1=（29+1）2，此时n=9+1=10， 218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2•217+1=（217+1）2，此时n=2×17=34， 1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2•29•2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此时n=-20， 综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．故选：D．【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．6．（2021•宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数．【解析】解：设k是正整数，∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意；∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意，C选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．故选：C．7．（2021·郑州枫杨外国语学校七年级月考）若x2﹣（2a﹣1）x+25是完全平方式，则a＝__________________．【答案】或﹣【分析】先根据确定平方项，再根据平方项确定出一次项即可得到答案．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，∴∴或，故答案为：或．【点睛】此题考查完全平方式，熟记公式是解题的关键，注意一次项应是正负两个结果，这是此题容易忽视的地方．8．（2021·安徽八年级月考）已知，则_____________．【答案】1010【分析】设，，故，原式＝，即可利用完全平方公式进行求解．【详解】解：设，，故，∵ ，即：，∴ ，，∴ ，故答案为：1010．【点睛】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式和换元法是解决此类问题的关键．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab＋b2．9．（2021·福建初一期中）已知：，且则 ．【答案】14【解析】因为，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．考点：1．配方法2．非负数的性质．10．（2021·四川成都.初一期中）已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.①；②若，，则；③若，，则；④若，，则；【答案】④【分析】根据新定义进行推理论证便可判断正误．【解析】解：①，，故①正确；②，，，、为整数），由两式相加可得：，为整数），，故②正确；③，，，、为整数），，，由两式相乘可得：，，为整数，， 故③正确；④，，，，，，两式相除得，，，不一定是整数，不一定正确，故④错误．答案为④．【点睛】本题是一个新定义题，关键是根据新定义进行推理计算，主要考查了学生的推理能力和自学能力．11．（2021·北京平谷.初一期中） 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．有如下四个结论：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．上述结论中，正确的有______（写出序号即可）．【答案】①②【分析】根据题中举例说明，明确杨辉三角的与的展开式的系数间的对应关系，据此逐项分析．【解析】∵在杨辉三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，∴在杨辉三角形中第行的个数，对应展开式中各项的系数，①∵展开式中各项的系数，为杨辉三角形中第6行的6个数，∴；②∵各项系数对应杨辉三角中的第4行的4个数，∴，当时，代数式=；③∵各项系数对应杨辉三角中的第5行的5个数，∴，当代数式时，，不一定是；④∵当时，展开式各项之和便是系数之和，∴的展开式中的各项系数之和为，故答案为：①②．【点睛】本题考查了合情推理，由具体举例推广到一般情况下杨辉三角与展开式的系数之间的对应规律，是解题的关键．12．（2021·四川龙泉驿·七年级期中）根据下列材料，解答问题．例：求1＋3＋32＋33＋…＋3100的值．解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100则3S＝32＋33＋…＋3100＋3101因此，3S﹣S＝3101﹣1，∴S＝，即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝．（1）仿照例题，求1＋5＋52＋53＋……＋52019的值．（2）求证：1＋3＋32＋33……＋363＝（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）．（3）求1＋7＋72＋73＋……＋763的个位数字．【答案】（1）；（2）见解析；（3）0【分析】（1）模仿例题计算即可；（2）分别计算出左边和右边，即可得证；（3）先探索出个位数字的循环规律，再把所有数的个位数字相加即可得到答案．【详解】解：（1）令S=1+5+52+53+……+52019，则5S=5+52+53+……+52019+52020，∴5S-S=52020-1，∴S=；（2）证明：设S=1+3+32+33……+363，则3S=3+32+33……+363+364，∴3S-S=364-1，∴S=，设T=（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=…=（364-1），∴S=T．（3）∵1=1，7=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，..．∴每四个数字的末尾按1，7，9，3循环，∵（63+1）÷4=16，∴（1+7+9+3）×16=320，∴1+7+72+73+……+763的个位数字是0．【点睛】本题主要考查了平方差公式，探索规律，探索出个位数字的循环规律是解题的关键．13．（2020·吉林长春外国语学校初二期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．【答案】（1）4；（2）M的最小值为﹣3；（3）a+b+c=.【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；（2）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案；（3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．【解析】（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2故答案为：4； （2）M＝+2a+1＝（a2+8a+16）﹣3＝（a+4）2﹣3∴M的最小值为﹣3（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0∴a＝b＝1， ，∴a+b+c=.．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．14．（2021·福建初二月考）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．例如：求代数式的最小值．当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17．【分析】（1）根据完全平方公式将写成，然后利用非负数的性质进行解答；（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答.【解析】（1）原式 当时，代数式有最小值为1；（2）原式 代数式有最小值为3．（3）原式 当，时，多项式有最大值为17．【点睛】本题考查了配方法和完全平方公式的应用，以及偶次方非负性的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.15．（2021·浙江七年级期中）（1）若，．请用含x的代数式表示y；如果，求此时y的值（2）已知，判断和的大小．【答案】（1）y＝x2−2x＋4，当x＝4时，y＝12；（2）ab＝a＋b，理由见详解．【分析】（1）利用整体代入的思想即可解决问题；（2）根据幂的乘方，可得2ab＝10b，5ab＝10a，根据积的乘方2ab×5ab＝（2×5）ab＝10ab，再结合2ab×5ab＝10a×10b＝10a＋b，根据等量代换，可得答案．【详解】（1）解：∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m＋1，∴2m＝x−1，∵y＝4m＋3，∴y＝（x−1）2＋3，即y＝x2−2x＋4．当x＝4时，y＝42−2×4＋4＝12；（2）解：∵2a＝10，∴（2a）b＝10b，即：2ab＝10b①；∵5b＝10，∴（5b）a＝10a，即：5ab＝10a②，②，得：2ab×5ab＝（2×5）ab＝10ab，又∵2ab×5ab＝10a×10b＝10a＋b，∴ab＝a＋b．【点睛】本题考查幂的乘方、积的乘方的逆运用，解题的关键是灵活运用幂的乘方和积的乘方公式，学会用整体代入的思想解决问题．16．（2021·浙江）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．（1）_________；（2）若，求的值；（3）比较大小：，则的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么）【答案】（1）1；（2）；（3）．【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答； （2）转化为同底数幂进行计算，即可解答； （3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．【详解】解：（1）故答案为：1（2）∵，∴，∴，即，∴，解得；（3）由题可得：，，，，∵，∴，即．【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．17．（2021·吉林铁西·八年级期末）例如：若，，求的值．解：因为，所以，即：，又因为，所以根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，，求的值；（2）填空：若，则______；（3）如图所示，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，分别以、作正方形和正方形，长方形的面积是12，则的值为______．【答案】（1）12；（2）6；（3）5【分析】（1）求出，利用完全平方公式展开即可求出的值；（2）类比（1）先求出的和，再利用完全平方公式求解即可；（3）结合图形，得出，，参照题目给出的方法求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，即，又∵，∴，∴（2）∵，∴，，∵，∴，答案为：6（3）∵，，∴∴∴∴或（舍去）故答案为5．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，充分理解题意，树立数形结合思想是正确解答的关键．18．（2021·安徽阜南·七年级期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1可以求出阴影部分的面积是________；（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_______，长是________，面积是________；（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式________；（用含a，b的式子表示）（4）小明展示了以下例题：计算：．解：原式= ……．在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：．【答案】（1）a2-b2；（2）a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）332【分析】（1）阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，即可得出答案；（2）根据长方形的面积＝长×宽即可得出答案；（3）根据图1与图2面积相等，则列出等式即可得出答案；（4）参考例题，应用平方差公式找出规律即可得出答案．【详解】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，阴影部分面积=a2-b2，故答案为：a2-b2；（2）拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）因为图1的阴影部分与图2面积相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）； （4）原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（34-1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（38-1）（38+1）（316+1）+1=（316-1）（316+1）+1=332-1+1=332.故答案为：332．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，把2写成3−1，变成平方差公式的形式是本题的关键．19．（2021•十堰期末）阅读、理解、应用．例：计算：20163﹣2015×2016×2017．解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．请你利用上述方法解答下列问题：（1）计算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；（3）计算：．【分析】（1）仿照例题的思路，设123＝x，则124＝x+1，122＝x﹣1，然后进行计算即可；（2）仿照例题的思路分别计算出M，N的值，然后进行比较即可；（3）仿照例题的思路，设...x，然后进行计算即可．【解析】解：（1）设123＝x，∴1232﹣124×122＝x2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x2+1＝1；（2）设123456786＝x，∴M＝123456789×123456786＝（x+3）•x＝x2+3x，N＝123456788×123456787＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，∴M＜N；（3）设...x，∴＝（x）（1+x）﹣（1+x）•x＝x+x2x﹣x﹣x2x．20．（2021·广东禅城·八年级期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一： ；方法二： ．（2）根据（1）中面积相等的关系，你能得出怎样的等量关系？（用含m的等式表示）（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝10，ab＝8，求a﹣b的值．（4）根据图③，写出一个等式： ．【答案】（1）方法一：（m﹣n）2，方法二：（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）；（4）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2【分析】（1）图2中阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，可根据正方形面积公式表示出来，也可以从边长为（m+n）的大正方形减去图1的面积即可；（2）由（1）的两种计算方法可得等式；（3）整体代入计算即可；（4）根据正方体的体积的计算方法，用两种不同的方法表示即可．【详解】解：（1）方法一：图2中阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，因此面积为（m﹣n）2，方法二：图2中阴影部分可以看作边长为（m+n）的大正方形减去图1的面积，即（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）由（1）可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，当a+b＝10，ab＝8时，（a﹣b）2＝102﹣4×8＝68，∴a﹣b＝±2；（4）正方体的棱长为（a+b），因此体积为（a+b）3，大正方体的体积也可以表示为8块体积的和，即为a3+b3+3a2b+3ab2，所以有（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2．【点睛】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．21．（2021·隆昌市知行中学八年级月考）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1： ；方法2： ．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，ab之间的等量关系： ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求ab的值；②已知，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①7；②16【分析】（1）方法1：利用整个大的图形是正方形可得边长为 可得面积，方法2：再利用大的正方形由两个小的正方形与两个长方形组成，可得面积；（2）利用图形面积相等，可得公式；（3）①由，可得，再整体代入求值即可；②设，则，，再求解，从而整体代入可得答案.【详解】解：（1）根据图形可得图2大正方形的面积表示为或故答案为：，；（2）由（1）题可得，故答案为：；（3）①由，可得∴当，时，②设，则，则可求得由整体思想得，【点睛】本题考查的是利用图形面积证明完全平方公式，完全平方公式的变形，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，熟悉公式变形是解题的关键.22．（2021·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论： 且，，．【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）．【分析】（1）根据材料叙述，结合22＝4，24＝16，26＝64即可得出答案；（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；（3）设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1＝M，ab2＝N，分别表示出MN及b1＋b2的值，即可得出猜想．【详解】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）log24＋log216＝log264；（3）猜想logaM＋logaN＝loga（MN）．证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1＝M，ab2＝N，故可得MN＝ab1•ab2＝ab1＋b2，b1＋b2＝loga（MN），即logaM＋logaN＝loga（MN）．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．
专题03 乘法公式 专项培优训练1．（2021•莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]2．（2021·成都市七年级期中）若x﹣=3，则=（ ）A．11 B．7 C． D．3．（2021•南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．（2021•镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）A．4041 B．2021 C．2020 D．15．（2021·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）A． B． C． D．6．（2021•宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）A．2020 B．2021 C．2022 D．20237．（2021·郑州枫杨外国语学校七年级月考）若x2﹣（2a﹣1）x+25是完全平方式，则a＝__________________．8．（2021·安徽八年级月考）已知，则_____________．9．（2021·福建初一期中）已知：，且则 ．10．（2021·四川成都.初一期中）已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.①；②若，，则；③若，，则；④若，，则；11．（2021·北京平谷.初一期中） 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．有如下四个结论：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．上述结论中，正确的有______（写出序号即可）．12．（2021·四川龙泉驿·七年级期中）根据下列材料，解答问题．例：求1＋3＋32＋33＋…＋3100的值．解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100则3S＝32＋33＋…＋3100＋3101因此，3S﹣S＝3101﹣1，∴S＝，即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝．（1）仿照例题，求1＋5＋52＋53＋……＋52019的值．（2）求证：1＋3＋32＋33……＋363＝（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）．（3）求1＋7＋72＋73＋……＋763的个位数字．13．（2020·吉林长春外国语学校初二期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．14．（2021·福建初二月考）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．例如：求代数式的最小值．当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．15．（2021·浙江七年级期中）（1）若，．请用含x的代数式表示y；如果，求此时y的值（2）已知，判断和的大小．16．（2021·浙江）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．（1）_________；（2）若，求的值；（3）比较大小：，则的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么）17．（2021·吉林铁西·八年级期末）例如：若，，求的值．解：因为，所以，即：，又因为，所以根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，，求的值；（2）填空：若，则______；（3）如图所示，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，分别以、作正方形和正方形，长方形的面积是12，则的值为______．18．（2021·安徽阜南·七年级期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1可以求出阴影部分的面积是________；（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_____，长是_____，面积是_____；（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式________；（用含a，b的式子表示）（4）小明展示了以下例题：计算：．解：原式= ……．在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：．19．（2021•十堰期末）阅读、理解、应用．例：计算：20163﹣2015×2016×2017．解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．请你利用上述方法解答下列问题：（1）计算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；（3）计算：．20．（2021·广东禅城·八年级期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一： ；方法二： ．（2）根据（1）中面积相等的关系，你能得出怎样的等量关系？（用含m的等式表示）（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝10，ab＝8，求a﹣b的值．（4）根据图③，写出一个等式： ． QUOTE 21．（2021·隆昌市知行中学八年级月考）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1： ；方法2： ．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，ab之间的等量关系： ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求ab的值；②已知，求的值．22．（2021·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论： 且，，． 专题03 乘法公式 专项培优训练1．（2021•莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]【分析】能用平方差公式计算式子的特点是：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．【解析】解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．故选：B．2．（2021·成都市七年级期中）若x﹣=3，则=（ ）A．11 B．7 C． D．【答案】C【分析】先由x﹣=3两边同时平方变形为，进而变形为，从而得解．【解析】解：∵x﹣=3，∴，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】此题要运用完全平方公式进行变形.根据a2+b2=(a+b)2-2ab把原式变为，再通分，最后再取倒数.易错点是忘记加上两数积的2倍．3．（2021•南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】逆用平方差公式，进行变形即可得出答案．【解析】解：∵a＝361×918，b＝（888﹣30）×（888+30）＝858×918，c＝（1053+747）×（1053﹣747）＝1800×306＝600×918，∴a＜c＜b，故选：B．4．（2021•镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）A．4041 B．2021 C．2020 D．1【分析】依据完全平方公式求出c1和c2，即可得到c1﹣c2＝20212﹣20202，进而得出结论．【解析】解：∵（2020x+2021）2＝20202x2+2×2020×2021x+20212＝a1x2+b1x+c1，∴c1＝20212，∵（2021x﹣2020）2＝20212x2﹣2×2021×2020x+20202＝a2x2+b2x+c2，∴c2＝20202，∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，故选：A．5．（2021·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．【解析】2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2•29+1=（29+1）2，此时n=9+1=10， 218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2•217+1=（217+1）2，此时n=2×17=34， 1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2•29•2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此时n=-20， 综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．故选：D．【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．6．（2021•宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数．【解析】解：设k是正整数，∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意；∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意，C选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．故选：C．7．（2021·郑州枫杨外国语学校七年级月考）若x2﹣（2a﹣1）x+25是完全平方式，则a＝__________________．【答案】或﹣【分析】先根据确定平方项，再根据平方项确定出一次项即可得到答案．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，∴∴或，故答案为：或．【点睛】此题考查完全平方式，熟记公式是解题的关键，注意一次项应是正负两个结果，这是此题容易忽视的地方．8．（2021·安徽八年级月考）已知，则_____________．【答案】1010【分析】设，，故，原式＝，即可利用完全平方公式进行求解．【详解】解：设，，故，∵ ，即：，∴ ，，∴ ，故答案为：1010．【点睛】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式和换元法是解决此类问题的关键．完全平方公式为：（a±b）2＝a2±2ab＋b2．9．（2021·福建初一期中）已知：，且则 ．【答案】14【解析】因为，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．考点：1．配方法2．非负数的性质．10．（2021·四川成都.初一期中）已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.①；②若，，则；③若，，则；④若，，则；【答案】④【分析】根据新定义进行推理论证便可判断正误．【解析】解：①，，故①正确；②，，，、为整数），由两式相加可得：，为整数），，故②正确；③，，，、为整数），，，由两式相乘可得：，，为整数，， 故③正确；④，，，，，，两式相除得，，，不一定是整数，不一定正确，故④错误．答案为④．【点睛】本题是一个新定义题，关键是根据新定义进行推理计算，主要考查了学生的推理能力和自学能力．11．（2021·北京平谷.初一期中） 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．有如下四个结论：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．上述结论中，正确的有______（写出序号即可）．【答案】①②【分析】根据题中举例说明，明确杨辉三角的与的展开式的系数间的对应关系，据此逐项分析．【解析】∵在杨辉三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，∴在杨辉三角形中第行的个数，对应展开式中各项的系数，①∵展开式中各项的系数，为杨辉三角形中第6行的6个数，∴；②∵各项系数对应杨辉三角中的第4行的4个数，∴，当时，代数式=；③∵各项系数对应杨辉三角中的第5行的5个数，∴，当代数式时，，不一定是；④∵当时，展开式各项之和便是系数之和，∴的展开式中的各项系数之和为，故答案为：①②．【点睛】本题考查了合情推理，由具体举例推广到一般情况下杨辉三角与展开式的系数之间的对应规律，是解题的关键．12．（2021·四川龙泉驿·七年级期中）根据下列材料，解答问题．例：求1＋3＋32＋33＋…＋3100的值．解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100则3S＝32＋33＋…＋3100＋3101因此，3S﹣S＝3101﹣1，∴S＝，即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝．（1）仿照例题，求1＋5＋52＋53＋……＋52019的值．（2）求证：1＋3＋32＋33……＋363＝（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）．（3）求1＋7＋72＋73＋……＋763的个位数字．【答案】（1）；（2）见解析；（3）0【分析】（1）模仿例题计算即可；（2）分别计算出左边和右边，即可得证；（3）先探索出个位数字的循环规律，再把所有数的个位数字相加即可得到答案．【详解】解：（1）令S=1+5+52+53+……+52019，则5S=5+52+53+……+52019+52020，∴5S-S=52020-1，∴S=；（2）证明：设S=1+3+32+33……+363，则3S=3+32+33……+363+364，∴3S-S=364-1，∴S=，设T=（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=…=（364-1），∴S=T．（3）∵1=1，7=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，..．∴每四个数字的末尾按1，7，9，3循环，∵（63+1）÷4=16，∴（1+7+9+3）×16=320，∴1+7+72+73+……+763的个位数字是0．【点睛】本题主要考查了平方差公式，探索规律，探索出个位数字的循环规律是解题的关键．13．（2020·吉林长春外国语学校初二期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ；（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．【答案】（1）4；（2）M的最小值为﹣3；（3）a+b+c=.【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；（2）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案；（3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．【解析】（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2故答案为：4； （2）M＝+2a+1＝（a2+8a+16）﹣3＝（a+4）2﹣3∴M的最小值为﹣3（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0∴a＝b＝1， ，∴a+b+c=.．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．14．（2021·福建初二月考）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．例如：求代数式的最小值．当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17．【分析】（1）根据完全平方公式将写成，然后利用非负数的性质进行解答；（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答.【解析】（1）原式 当时，代数式有最小值为1；（2）原式 代数式有最小值为3．（3）原式 当，时，多项式有最大值为17．【点睛】本题考查了配方法和完全平方公式的应用，以及偶次方非负性的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.15．（2021·浙江七年级期中）（1）若，．请用含x的代数式表示y；如果，求此时y的值（2）已知，判断和的大小．【答案】（1）y＝x2−2x＋4，当x＝4时，y＝12；（2）ab＝a＋b，理由见详解．【分析】（1）利用整体代入的思想即可解决问题；（2）根据幂的乘方，可得2ab＝10b，5ab＝10a，根据积的乘方2ab×5ab＝（2×5）ab＝10ab，再结合2ab×5ab＝10a×10b＝10a＋b，根据等量代换，可得答案．【详解】（1）解：∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m＋1，∴2m＝x−1，∵y＝4m＋3，∴y＝（x−1）2＋3，即y＝x2−2x＋4．当x＝4时，y＝42−2×4＋4＝12；（2）解：∵2a＝10，∴（2a）b＝10b，即：2ab＝10b①；∵5b＝10，∴（5b）a＝10a，即：5ab＝10a②，②，得：2ab×5ab＝（2×5）ab＝10ab，又∵2ab×5ab＝10a×10b＝10a＋b，∴ab＝a＋b．【点睛】本题考查幂的乘方、积的乘方的逆运用，解题的关键是灵活运用幂的乘方和积的乘方公式，学会用整体代入的思想解决问题．16．（2021·浙江）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．（1）_________；（2）若，求的值；（3）比较大小：，则的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么）【答案】（1）1；（2）；（3）．【分析】（1）根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答； （2）转化为同底数幂进行计算，即可解答； （3）转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．【详解】解：（1）故答案为：1（2）∵，∴，∴，即，∴，解得；（3）由题可得：，，，，∵，∴，即．【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用．17．（2021·吉林铁西·八年级期末）例如：若，，求的值．解：因为，所以，即：，又因为，所以根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，，求的值；（2）填空：若，则______；（3）如图所示，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，分别以、作正方形和正方形，长方形的面积是12，则的值为______．【答案】（1）12；（2）6；（3）5【分析】（1）求出，利用完全平方公式展开即可求出的值；（2）类比（1）先求出的和，再利用完全平方公式求解即可；（3）结合图形，得出，，参照题目给出的方法求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，即，又∵，∴，∴（2）∵，∴，，∵，∴，答案为：6（3）∵，，∴∴∴∴或（舍去）故答案为5．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，充分理解题意，树立数形结合思想是正确解答的关键．18．（2021·安徽阜南·七年级期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1可以求出阴影部分的面积是________；（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_______，长是________，面积是________；（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式________；（用含a，b的式子表示）（4）小明展示了以下例题：计算：．解：原式= ……．在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：．【答案】（1）a2-b2；（2）a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）332【分析】（1）阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，即可得出答案；（2）根据长方形的面积＝长×宽即可得出答案；（3）根据图1与图2面积相等，则列出等式即可得出答案；（4）参考例题，应用平方差公式找出规律即可得出答案．【详解】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，阴影部分面积=a2-b2，故答案为：a2-b2；（2）拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）因为图1的阴影部分与图2面积相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）； （4）原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（34-1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（38-1）（38+1）（316+1）+1=（316-1）（316+1）+1=332-1+1=332.故答案为：332．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，把2写成3−1，变成平方差公式的形式是本题的关键．19．（2021•十堰期末）阅读、理解、应用．例：计算：20163﹣2015×2016×2017．解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1）•x•（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．请你利用上述方法解答下列问题：（1）计算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；（3）计算：．【分析】（1）仿照例题的思路，设123＝x，则124＝x+1，122＝x﹣1，然后进行计算即可；（2）仿照例题的思路分别计算出M，N的值，然后进行比较即可；（3）仿照例题的思路，设...x，然后进行计算即可．【解析】解：（1）设123＝x，∴1232﹣124×122＝x2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣x2+1＝1；（2）设123456786＝x，∴M＝123456789×123456786＝（x+3）•x＝x2+3x，N＝123456788×123456787＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，∴M＜N；（3）设...x，∴＝（x）（1+x）﹣（1+x）•x＝x+x2x﹣x﹣x2x．20．（2021·广东禅城·八年级期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一： ；方法二： ．（2）根据（1）中面积相等的关系，你能得出怎样的等量关系？（用含m的等式表示）（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝10，ab＝8，求a﹣b的值．（4）根据图③，写出一个等式： ．【答案】（1）方法一：（m﹣n）2，方法二：（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）；（4）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2【分析】（1）图2中阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，可根据正方形面积公式表示出来，也可以从边长为（m+n）的大正方形减去图1的面积即可；（2）由（1）的两种计算方法可得等式；（3）整体代入计算即可；（4）根据正方体的体积的计算方法，用两种不同的方法表示即可．【详解】解：（1）方法一：图2中阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，因此面积为（m﹣n）2，方法二：图2中阴影部分可以看作边长为（m+n）的大正方形减去图1的面积，即（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（2）由（1）可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，当a+b＝10，ab＝8时，（a﹣b）2＝102﹣4×8＝68，∴a﹣b＝±2；（4）正方体的棱长为（a+b），因此体积为（a+b）3，大正方体的体积也可以表示为8块体积的和，即为a3+b3+3a2b+3ab2，所以有（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2．【点睛】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．21．（2021·隆昌市知行中学八年级月考）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1： ；方法2： ．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，ab之间的等量关系： ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求ab的值；②已知，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①7；②16【分析】（1）方法1：利用整个大的图形是正方形可得边长为 可得面积，方法2：再利用大的正方形由两个小的正方形与两个长方形组成，可得面积；（2）利用图形面积相等，可得公式；（3）①由，可得，再整体代入求值即可；②设，则，，再求解，从而整体代入可得答案.【详解】解：（1）根据图形可得图2大正方形的面积表示为或故答案为：，；（2）由（1）题可得，故答案为：；（3）①由，可得∴当，时，②设，则，则可求得由整体思想得，【点睛】本题考查的是利用图形面积证明完全平方公式，完全平方公式的变形，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，熟悉公式变形是解题的关键.22．（2021·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论： 且，，．【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）．【分析】（1）根据材料叙述，结合22＝4，24＝16，26＝64即可得出答案；（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；（3）设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1＝M，ab2＝N，分别表示出MN及b1＋b2的值，即可得出猜想．【详解】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）log24＋log216＝log264；（3）猜想logaM＋logaN＝loga（MN）．证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1＝M，ab2＝N，故可得MN＝ab1•ab2＝ab1＋b2，b1＋b2＝loga（MN），即logaM＋logaN＝loga（MN）．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．
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