广东省2024届高三下学期开学考试数学试题

这是一份广东省2024届高三下学期开学考试数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自已的姓名，为生号，考场号，座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A.8 B.9 C. D.
4.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（居民消费水平：）
A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B.2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为27504元
D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
5.已知，则（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.
6.某班级举行“变废为宝”手工活动，某学生用扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，在它的轨截面中，，则原扇形纸壳中扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
7.过原点的直线与圆交于两点，且，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
8.已知函数，若任意在上有零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，直线与双曲线的渐近线交于点（在第二象限，在第一象限），下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为4
D.若的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为8
10.如图，三角形数阵由一个等差数列排列而成，按照此规律，下列结论正确的是（ ）
A.数阵中前7行所有数的和为1190
B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101
C.数阵中第10行的第1个数是137
D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146
11.已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.是奇函数 D.在上单调递增
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则__________.
13.甲､乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为__________，本次比赛甲获胜的概率为__________.
14.如图，将正四棱柱斜立在平面上，顶点在平面内，平面.点在平面内，且.若将该正四棱柱绕旋转，的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知正项等比数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）记的前项中最大值为，最小值为（规定：），令，求数列的前项和.
16.（15分）
将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.
（1）求数字2填在第2个空格中的概率；
（2）记数字2填在第个空格中的概率为，求的最大值.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.
（1）证明：平面.
（2）若，求二面角的余弦值.
18.（17分）
已知椭圆的方程为，右焦点为，且离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，证明，圆恒与以弦为直径的圆相切.
19.（17分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
高三数学参考答案
1.B .
2.D .
3.C 令，可得，则.
4.D 2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高，A错误.2019年的城镇居民消费水平比2020年的城镇居民消费水平高，B错误.2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为元，错误.设我国农村人口数为，城镇人口数为，则，化简得，所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.
5.C 因为，所以，则，即，所以.
6.B 延长交于点，设圆台上､下个底面的闪心分别为.连接，
设.因为，所以，
则.设所求圆心角为，则，所以.
7.A 圆，即圆，圆心到直线的距离为的中点为.因为，所以.因为，所以.又因为，所以，解得，所以直线经过圆心，所以.
8.C 令，由题意可得在上有解.
因为在内有解的最短区间长度为.所以，解得.
9.AC ，点在以为圆心，为半径的圆上，所以，A正确.直线的斜率为，直线的斜率为与不一定相等，所以直线与直线不一定平行，B错误.的面积为，双曲线的焦距为，当且仅当时，等号成立，所以双曲线的焦距的最小值为正确，错误.
10.ACD 设等差数列的通项公式为.数阵中前7行共个数，数阵中前7行所有数的和为，A正确.
令，解得，前7行共28个数，第8行有8个数，所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数，B错误.记每一行的第1个数组成数列，则，累加得，所以，C正确.数阵中第10行从左至右的第4个数是，D正确.
11.ACD 令，可得.
令，可得.因为当时，，所以.
令，可得.
因为，所以当时，.
又因为当时，，所以当时，.
令，可得，①
所以，两式相加可得.
令，可得.②
①-②可得，化简可得，所以是奇函数，正确.
由，可得，B错误.
由可得解得正确.
令，可得.
令，则.
因为当时，，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确.
12.4 ，解得.
13.；（本题第一空2分，第二空3分） 到第3局才分出胜负，则前两局甲､乙各赢一局，其概率为.
若甲获胜，分2种情况：
①甲连赢2局，其概率为，
②前两局甲､乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为.
故甲获胜的概率为.
14. 过点作，垂足为，连接.易得平面，
所以点到平面的距离为
.过点作平面，垂足为（图略）.当三点共线，且时，取得最大值，最大值为.
15.解：（1）设的公比为，则
解得或（舍去）.
所以的通项公式为.
（2）因为是递增数列，所以，
.
.
16.解：（1）数字2填在第2个空格中的概率为.
（2）由题意可得，且.
.
当时，取得最大值，最大值为.
17.（1）证明：记.
因为四边形是菱形，所以.
因为平面平面.且，
所以平面.
因为平面，所以.
因为平面平面，且
，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，.
设平面的法向量为，
则令，得.
平面的一个法向量为.
，
易得二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
18.（1）解：由题意得椭圆的半焦距，且，所以.
又因为，所以椭圆的方程为.
（2）证明：当直线的斜率为0时，直线的方程为
此时为椭圆的长轴，以弦为直径的圆的方程为，该圆的半径为2.
圆的半径为，两圆的圆心距为.
满足圆恒与以弦为直径的圆相切.
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为的中点为.
联立得，
所以，
.
.
记圆的圆心为，
.
.
满足圆恒与以弦为直径的圆相切.
综上，圆恒与以弦为直径的圆相切.
19.解：（1）.
曲线在点处的切线方程为.
因为该场线过点，所以，解得.
（2）因为，所以，且.
两边平方可得.
令函数.
令函数，所以是增函数.
令，得.
下面比较与的大小.
令函数是减函数.
因为，所以存在，使得当时，，
即.当时，，即.
当时，
当时，，即；
当时，，即.
所以在上单调递减，在上单调递增.
.
令函数，所以是增函数.
由题意可得，又因为，所以.
当时，，符合题意.
综上，的取值范围为.