02函数的概念与基本性质、幂函数-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，

这是一份02函数的概念与基本性质、幂函数-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·重庆·高一统考期末）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（2024上·重庆·高一统考期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
3．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·重庆·高一校联考期末）是幂函数在上单调递减的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要件
7．（2024上·重庆·高一校联考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024上·重庆·高一校联考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023上·重庆·高一统考期末）函数，则（ ）
A．3B．2C．6D．5
12．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）若，则（ ）
A．2B．1C．0D．
二、填空题
13．（2024上·重庆·高一统考期末）已知幂函数是奇函数，且在上单调递减，则实数a的值可以是 ．
14．（2024上·重庆·高一重庆一中校考期末）若，则方程在内的所有实根之和为 .
15．（2024上·重庆·高一校联考期末）形如的函数被我们称为“对勾函数”.具有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数.已知函数在上的最大值比最小值大，则 .
16．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则 .
17．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为 .
18．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 .
19．（2024上·重庆·高一校联考期末）求的定义域 .（写成集合的形式）
20．（2023上·重庆·高一统考期末）已知幂函数的图像经过和，则 ．
三、解答题
21．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知幂函数的图象关于轴对称．
(1)求的值及函数的解析式；
(2)设函数，求在区间上的值域．
22．（2024上·重庆·高一统考期末）己知定义在上的函数满足，且对任意．
(1)证明：在上单调递减；
(2)解不等式．
23．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数，且．
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(3)求函数在上的值域．
24．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知函数.
(1)判断的奇偶性；
(2)用单调性定义证明在上单调递减；
(3)若的定义域为，解不等式.
参考答案：
1．A
【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值.
【详解】因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，即，
从而，得 ，
所以以4为周期的周期函数，
，
，
所以．
故选：A
2．D
【分析】根据的单调区间，分、、和讨论即可.
【详解】因为在单调递减，在单调递增，
若，即 时，则在上单调递减，
所以，此时的最小值为1．
若，即 ，则在上单调递增，
所以，此时的最小值为．
若且，即，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，此时的最小值为．
若且，即 ，则在上单调递减，
在上单调递增，所以，此时的最小值为．
综上，的最小值为．
故选：D
3．C
【分析】利用函数平移得到是奇函数，再利用对称性和奇偶性得到的周期为8，且在上是增函数，从而利用的性质即可得解.
【详解】因为关于中心对称，
所以对称中心是，故，即是奇函数，
因为是偶函数，所以，则，
所以，因此的周期为8，
所以，，
因为在上是增函数且是奇函数，所以在上是增函数，
所以，则.
故选：C.
4．B
【分析】当时，结合不等式求得其最小值为；当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】当时，，
当且仅当时，即时等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，
则满足，解得，即实数的取值范围是.
故选：B.
5．B
【分析】根据题意，推得函数的周期为 ，令，得到且，进而求得，，再由，即可求解.
【详解】由为奇函数，则，即
又由为偶函数，可得，即，
可得，即，所以
所以函数是以为周期的周期函数，
因为且
令，可得且，
又因为，即，即
因为时，，可得，解得，
再令，可得，即，所以，可得，
所以，则.
故选：B.
6．C
【分析】利用幂函数的定义及性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由幂函数在上单调递减，得，解得，
反之，，幂函数在上单调递减，
所以是幂函数在上单调递减的充要条件.
故选：C
7．D
【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】要使函数有意义，则应有，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
8．B
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足：
分母不为零：……①
负数不能开偶次方根：……②
由①②得：的定义域为.
故选：B.
9．A
【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解.
【详解】因为，
令，则可化为，
当时，，即，解得（负值舍去），即，
当时，，即，
而，故上述不等式无解；
综上，，
若，则，解得（负值舍去）；
若，则，解得（舍去）；
综上：.
故选：A.
10．B
【分析】由被开方数大于等于零求出定义域.
【详解】由已知可得，
所以定义域为.
故选：B
11．C
【分析】直接根据分段函数解析式，代入计算即可．
【详解】由分段函数解析式得，，
故选：C．
12．C
【分析】构造函数，可得，根据函数的奇偶性及单调性即可求解.
【详解】构造函数，
由，
可得，
，且定义域为
是奇函数，
∴，
又易得为上的单调递增函数，
.
故选:C.
13．（答案不唯一）
【详解】举例，则，根据反比例函数的性质知其为奇函数，
且在上单调递减，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
14．
【分析】根据条件，直接求出在上的解析式，再联立方程，求出所有实根，即可求出结果.
【详解】因为，
当时，，由，得到，
即，解得或（舍），
当时，，由，得到，
即，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或（舍），
当时，，，
由，得，解得或（舍），
综上所述，方程在内的所有实根之和为，
故答案为：.
15．1
【分析】由奇偶性和单调性的综合性得到在上的最大值比最小值大，根据函数的单调性，讨论相对于区间的位置关系来求得最值差构建关于的方程，求解即可.
【详解】,为奇函数，
且在上的最大值比最小值大，
所以在上的最大值比最小值大.
由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增.
当时，即时，
在上单调递增.
则，
解得.
当时，即时,
在上单调递减，在上单调递增.
，
因为，所以，
所以，
解得（舍去）或9（舍去）.
综上，
故答案为：1.
【点睛】方法点睛：根据已知给出的性质，先证明奇偶性再结合单调性，确定最值的差求参即可.
16．2
【分析】先求出，再根据奇函数的概念求解即可.
【详解】因为当时，，所以，
又因为是定义在上的奇函数，所以.
故答案为：2
17．
【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可.
【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需，
设，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
因为，
所以，
当时，即时，
，此时，
因此由，而，
所以；
当时，即当时，
此时，此时，
因此由，而，
所以，
若时，即时，
若，即当时，
显然此时，
由，显然，
若，即当时，
显然此时，
因此由，而，
综上所述：实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用对钩函数的单调性求出的最值，再结合最值的正负性分类讨论.
18．
【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数的对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，所以，
因为存在，使得不等式成立，
所以有，或，
因此实数的取值范围为，
故答案为：
19．
【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.
【详解】因为，则，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
20．2
【分析】设，结合经过，求出，再将代入，即可求解．
【详解】设，由经过，则，解得，
所以，则，
故答案为：．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得；
（2）首先得到解析式，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为为幂函数，
所以，解得或，
当时，，函数图象关于轴对称，符合题意；
当时，，函数图象关于原点对称，不符合题意；
综上可得，.
（2）因为，，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，
即在区间上的值域为.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用单调性的定义证明即可；
（2）首先求出，则得到，根据（1）中的结论即可得到不等式，解出即可.
【详解】（1）任取，且．
因为，即，令，
则．
因为，所以．
由题意，
所以．
故在上单调递减．
（2），令，得．
因为，
所以．
由（1）得，，
解得．
23．(1)
(2)函数在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由条件代入运算得解；
（2）根据函数单调性定义可判断证明；
（3）利用函数的单调性可求解.
【详解】（1）∵，且，
，
.
（2）函数在上单调递增．
证明：任取，且，
则
∵，
,
即,
∴函数在上单调递增．
（3）由（2）得在上单调递增，
∴在上单调递增，
又，
∴在上的值域为．
24．(1)函数为奇函数，判断见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可判断；
（2）根据函数的单调性的定义，结合作差法即可得证；
（3）结合（1）（2）中结论，将问题转化为，解之即可得解.
【详解】（1）函数为奇函数，判断如下：
因为，其定义域为，
又由，
所以为奇函数.
（2）任取，
则
，
因为，所以，
可得，即，
故在上单调递减.
（3）因为为奇函数，
所以由，得，
因为在上单调递减，
所以，即，解得，
所以原不等式的解集为.