09三角函数的图象与性质-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019

这是一份09三角函数的图象与性质-重庆市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·重庆·高一校联考期末）下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·重庆长寿·高一统考期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024上·重庆·高一重庆一中校考期末）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·重庆巫山·高一校考期末）给出下列各式的值：①②③④其中符号为负的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
8．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023下·重庆·高一校联考期末）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）下列各组中两个值大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期末）函数为奇函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2024上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）函数，若存在，使得，则的取值范围是
14．（2024上·重庆·高一重庆南开中学校考期末）已知，若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 ．
15．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 .
16．（2024上·重庆·高一重庆八中校考期末）函数的最小正周期为 .
17．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）函数的定义域为 ．
18．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末） .（用“”、“”或“”填空）
19．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）定义在上的函数满足，且，则 ．
20．（2022上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期末）已知函数在上单调，且将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．当时，使得不等式成立的x的最大值为 ．
三、解答题
21．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若方程只有一个解，求的取值范围．
22．（2024上·重庆·高一西南大学附中校考期末）已知函数，.
(1)当时，求函数的对称中心；
(2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
23．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”.
(1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围.
24．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知为奇函数．
(1)求a的值；
(2)若对恒成立，求实数k的取值范围；
(3)设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】结合三角函数图象的对称变换，确定各选项中三角函数的周期性与单调性，一一判断各选项，即可求解.
【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：，
所以AC选项不符合题意；
对于B：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方，
原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：，
且在上单调递增，所以B选项不符合题意；
对于D：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方，
原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：，
且在上单调递减，所以D选项符合题意；
故选：D
2．D
【分析】根据奇偶函数的定义，结合选项，依次判断即可.
【详解】A：函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以该函数为偶函数，故A不符合题意；
B：函数的定义域为R，关于原点对称，且，
则，所以该函数为非奇非偶函数，故B不符合题意；
C：函数的定义域为，不关于原点对称，
所以该函数为非奇非偶函数，故C不符合题意；
函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以该函数为奇函数，故D符合题意.
故选：D
3．B
【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得.
【详解】因为，
由，故，
即.
故选：B.
4．C
【分析】根据对数的性质可将问题转化为，利用三角函数的性质求解即可.
【详解】的定义域满足，
故，由于，所以，
故，解得，
故函数的定义域为
故选：C
5．C
【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案.
【详解】当，，
因为在上单调递增，故，则；
当，，且，，
又因为在上有且仅有1个零点，
故讨论两种情况：
①，
②，
综上：的取值范围为，
故选：C.
6．C
【分析】举例说明即可判断ABD.由指数函数的单调性与不等式的基本性质即可判断C.
【详解】A：当时，令，则，故A错误；
B：当时，，故B错误；
C：当时，，则，即，故C正确；
D：当时，令，则，即，故D错误.
故选：C
7．A
【分析】首先判断出各角所处的象限，再根据不同象限三角函数值的符号即可得出①②③符号为负，利用三角函数单调性即可求得，即可得出结论.
【详解】对于①，易知，即5弧度的角位于第三象限，其正弦值为负，符合题意；
对于②，易知是第二象限角，其余弦值为负，正弦值为正，
所以可得符号为负，符合题意；
对于③，易知弧度的角与弧度的角终边相同，
又弧度的角位于第二象限，其正切值为负，即的符号为负，符合题意；
对于④，由三角函数单调性可知，
所以，符号为正，不符合题意.
所以符号为负的是①②③.
故选：A
8．A
【分析】画出函数图像，设，根据函数图像考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图像讨论的解的情况，计算得到答案.
【详解】当时，，
当时，，，
画出函数图像，如图所示：
函数在有6个不同零点有以下四种可能：
①方程有两个不同的实根和且方程有两个根，
且方程有四个不同的实根，
由函数的图像知，且，令，
则需，解得；
②方程有两个不同的实根和且方程有零个根，
且方程有六个不同的实根，
函数的图像知，且，
由于，则需，解得；
③方程有两个不同的实根和且方程有1个根，
且方程有5个实根成立，则需，此时无解；
④方程有且只有1个根且方程有6个根，
计算得或，或，不合题意；
综上所述：或.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，根据图像分类讨论是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
9．D
【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解.
【详解】令,所以，
当，由于，故D正确，ABC均错误，
故选：D
10．D
【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答.
【详解】对于A，当时，，A不正确；
对于B，当时，，且，若，则，B不正确；
对于C，，则，即C不正确；
对于D，当时，由均值不等式得成立，当且仅当时取等号，则D正确.
故选：D
11．A
【分析】根据三角函数的单调性与诱导公式一一验证即可.
【详解】对于选项A、B：由正切函数的单调性可得，，则A正确，B错误；
对于选项C：，则根据正弦函数的单调性可得，则C错误；
对于选项D：根据余弦函数的单调性可得，则D错误；
故选：A.
12．A
【分析】通过求出，再逐一对照选项即可.
【详解】若函数为奇函数，
则，即
当时，，A正确；
另外不存在整数使，，BC不正确；
是函数为奇函数的充要条件，D不正确.
故选：A.
13．
【分析】根据函数图象与性质得，，对所求表达式消元后得，再根据函数图象求出即可求出取值范围.
【详解】由，得，则，由，得，则，
由图象知，，结合对勾函数单调性知在时单调递减，在时单调递增，
所以当时，取得最小值，当时，当时，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题.
14．
【分析】根据对数函数的定义域、正弦函数的单调性和复数函数的单调性可得函数的单调减区间为，进而，建立不等式组，解之即可求解.
【详解】由题意知，函数的定义域为，
得，得.
又函数的单调增区间为，
由，
，解得，
即函数的单调减区间为，
又函数在上单调递减，所以，
得，解得，
又，所以令，解得.
故答案为：
15．
【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，讨论余弦函数的单调性求得当且时函数图象与直线有2个交点，即可求解.
【详解】，
由，得，
设，则当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，所以，
得，要使方程在上有2个实根，
则函数图象与直线在上有2个交点，
当且，即时，函数图象与直线有2个交点，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
16．
【分析】根据正弦型函数的最小正周期的计算方法，即可求解.
【详解】根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得：
函数的最小正周期为.
故答案为：.
17．
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数有意义，
则需，
由，
，
则，
所以函数定义域为.
故答案为：
18．
【分析】利用诱导公式结合正切函数的单调性可得出结论.
【详解】因为，
当时，随着的增大而增大，
因为，故.
故答案为：.
19．
【分析】根据题意确定函数的周期即可求解.
【详解】因为，
所以
，所以，
所以函数以为周期，
所以，
因为，
令得，
所以，
所以，
故答案为: .
20．
【分析】根据单调函数知到此区间在相邻两个对称轴之间，求出的范围，根据平移得到的表达式，继而确定的值，再画给定区间的图像，可得.
【详解】
函数在上单调
所以
将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．
所以
所以，当时，
如图，满足不等式成立的
x的最大值满足：
故答案为：
21．(1)
(2)或
【分析】（1）将分别代入函数解析式，得到不等式，利用对数函数的性质，解不等式即可；
（2）先分析函数的定义域，方程化简可得，再将方程等价于方程，讨论一元二次方程的解即可.
【详解】（1）由于，
则，
需要保证，得，
若，则，
对数函数在区间上单调递增，
所以，且，解得，
结合正弦函数的性质，且，
不等式的解集为：.
（2）的定义域为，
对于函数，
当时，的定义域为，此时；
当时，的定义域为，此时；
方程，即为
得：，即，
构造函数，其中，
当时，方程只有一个解等价于只有一个小于的正零点即可，
此时，，
开口向下的抛物线在区间可能无零点、两个零点，或抛物线的顶点恰在区间对应的横轴上，
若抛物线的顶点在区间对应的横轴上时，
抛物线对称轴满足：，解得，
有两个相等实根，，
解得（舍去）或，
故；
当时，方程只有一个解等价于只有一个大于的零点即可，
，函数有两个异号零点，
且，函数正零点大于，此种情况成立；
综上，若方程只有一个解，则或.
22．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由题设列求x即可得对称中心；
（2）由已知得，问题化为在上恒成立，结合正弦型函数性质求参数范围；
（3）由已知得，将问题化为，根据三角函数及二次函数性质研究最值，进而求参数范围.
【详解】（1）由题设，令，可得，
所以函数的对称中心为.
（2）由题设，，又，则，故，
由，
又，则，故，
所以，
当，只需，可得；
当，只需，可得；
当，则，，此时满足题设；
综上，.
（3）由题设，又，则，
对任意的，有，即，
所以，则，有，故，
，
又，则，
当时，；
此时，即；
当时，；
此时，即；
当时，；
此时，即；
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为在上恒成立为关键；第三问，问题化为为关键.
23．(1)不是“三倍函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）假设是“三倍函数”，得到，从而得以判断；
（2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，分析可得，从而得解.
【详解】（1）不是“三倍函数”，理由如下：
因为，，
假设是“三倍函数”，
则存在实数，使得，都满足，
即，即，
因为的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是“三倍函数”.
（2）因为，为“三倍函数”，
所以存在，，都，有，
即，
当时，的值域是，
则在的值域包含，
当时，，则，
若，即，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不满足题意；
于是，即，，
要使在的值域包含，
则在的最小值至少要小于等于，
又时，在上单调递减且，
故有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，满足题意；
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，从而得解.
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据得到，再验证得到答案.
（2）变换，构造新函数，根据函数的单调性计算最值得到答案.
（3）根据函数单调性计算，考虑和两种情况，根据值域的包含关系计算得到答案.
【详解】（1）的定义域为，且为奇函数，则，从而，
，，故函数为奇函数，满足；
（2），得在上恒成立，
设，令，，
，函数单调递增，，故；
（3）当时，,函数单调递增，故，
当时，，故，由题意，
①当，，有，
则，得；
②当时，，有，
则，解得；
综上所述：或.