02等比数列-重庆市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份02等比数列-重庆市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·重庆·高二重庆十八中校考期末）设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．54B．53C．52D．51
2．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．25C．或D．或0
3．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）在等比数列中，若，则（ ）
A．6B．9C．D．
4．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知为数列的前项和，若且，设，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·重庆·高二重庆十八中校考期末）若数列满足，，，，则称数列为数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论错误的是（ ）
A．
B．数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列的前n项和为，则
C．记，则数列的前2021项的和为
D．
6．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）等比数列的前项和为，若且，则（ ）
A．6B．6或14C．-6或14D．2或6或14
7．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）是各项均为正数的等比数列，是的前项和，若且，，成等差数列，则（ ）
A．15B．30C．45D．60
8．（2024上·重庆·高二校联考期末）等比数列满足：，，则（ ）
A．7B．8C．14D．56
9．（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）若等比数列各项均为正数，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
10．（2024上·重庆·高二统考期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（ ）
A．兔尘B．羊尘C．兔尘D．羊尘
11．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自信，五日织五尺，问日织几何？“意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？按此条件，若织布的总尺数不少于25尺，该女子需要的天数至少为（ ）
A．7B．8C．9D．10
12．（2023上·重庆长寿·高二统考期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．3B．C．9D．
二、填空题
13．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）在等比数列 中，，则 ．
14．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则 .
15．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是 .
16．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知等比数列的前3项和为84，，则公比 .
17．（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）已知数列是正项等比数列，且，，则 .
18．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）已知数列满足，则数列的前8项和 ．
19．（2024上·重庆长寿·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则 .
20．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知为等比数列，且，则 .
三、解答题
21．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足：，且，求数列的前项和.
22．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）已知数列的首项，设为数列的前项和，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
23．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）已知等差数列的公差与等比数列的公比相同，，为数列的前项和，.
(1)求和的通项公式；
(2)记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列（相同的数排列两次），求数列前50项的和.
24．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，为数列的前项和，若对任意的正整数都成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】由题意结合等比数列及其前项和的基本量的计算即可得解.
【详解】由题意等比数列的前n项和为，所以，（是公比），
同理，所以.
故选：C.
2．A
【分析】由可判断，分和讨论，结合等比数列前n项和公式求解运算.
【详解】由，，
当时，，成立，，
当时，由，得，即，
解得或（舍），又，此情况不合题意，
综上，，.
故选：A.
3．B
【分析】利用等比数列性质得到，进而求出答案.
【详解】由等比数列性质得，
又，所以.
故选：B
4．D
【分析】根据的关系求得以及，再利用裂项求和法即可求得结果.
【详解】由题可知：，，当时，，
两式做差可得：；
对，令，故可得，即可的，
故数列是从第二项起，公比为的等比数列，则；
又，则；
故
.
故选：D.
5．C
【分析】利用斐波那契数列的性质逐项判断即可求解.
【详解】对于A：因为，，，，
所以
，故A正确；
对于B：显然，由（，）可知，
（，）可由判断，
若，则，
若或，则，
由此可得，，，，，，，（，），
所以，故B正确；
对于C：因为，，，，
所以
，
又由选项B，易知，
所以，
则，故C错误；
对于D：（，）
，
又因为，所以，
故，故D正确.
故选：C.
【点睛】关键点晴：本题选项B的解决键是，利用斐波那契数列的性质确定数列是以为周期的周期数列，利用周期性求出数列的前项和.
6．D
【分析】根据已知条件及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，则
当时，则，
所以；
当时，若，则，
所以，
，即，
又因为
所以，解得，
所以
所以或14，
综上：或6或14，
故选：D.
7．B
【分析】设出数列公比，由等比数列的性质及等差数列的性质可得公比，结合等比数列的前项和公式即可得.
【详解】设，由，，成等差数列，
即有，又，
故，
即，
由各项均为正数，故，故，
则.
故选：B.
8．C
【分析】先利用等比数列的性质求出，再代入计算即可.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，
所以，
所以.
故选：C.
9．D
【分析】由等比中项可知的值.
【详解】因为数列是等比数列，所以是和的等比中项，
所以，又因为各项均为正数，所以.
故选：D.
10．A
【分析】设1微尘为，求出1兔尘为，1羊尘为，1指节为，从而可得答案.
【详解】设1微尘为，
因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度，
构成了公比为7的等比数列，
所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为，
1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为，
因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确；
因为，所以1指节是羊尘，BD不正确；
故选：A.
11．B
【分析】设女子第一天织布尺，则数列是公比为2的等比数列，由题意得，解得，即可得到，再解不等式即可．
【详解】设女子第一天织布尺，则数列是公比为的等比数列，
由题意得，解得，
，解得，
因为，，
该女子所需的天数至少为天．
故选：B
12．A
【分析】设等比数列的公比为，然后由已知条件列方程求出，从而可求出.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，
所以，
故选：A
13．12
【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，，所以，
所以，
故答案为：12.
14．
【分析】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可.
【详解】由已知，，
所以.
故答案为：.
15．/
【分析】由等差数列下标和性质可求，由等比中项性质可求，则结果可知.
【详解】因为，，，成等差数列，所以，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
故答案为：.
16．/0.5
【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式和等比数列的前项和公式化简两式并联立即可求解.
【详解】设数列的公比为，由可知，
因为等比数列的前3项和为84，，有，
化简有：，解得.
故答案为：
17．/
【分析】根据等比数列的性质可求出公比的平方，结合，即可求得答案.
【详解】由题意知数列是正项等比数列，且，，
设数列的公比为q，则，
则，
故答案为：
18．502
【分析】根据取倒数构造等比数列，结合等比数列求和公式即可得到答案.
【详解】由，取倒数得，
所以，
因为，所以，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，则，
所以数列的前8项和.
故答案为：502
19．
【分析】结合已知条件，利用等比数列通项公式解出首项和公比，可求前5项的和.
【详解】设等比数列的公比为，则有，解得，
.
故答案为：
20．
【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由等比数列的性质可得：，
又因为，所以.
故答案为：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）当时求出，当时利用进行求解即可；
（2）由所给等式可知的奇数项和偶数项分别成等差数列，利用等差数列的通项公式分别求出及的通项公式，分类讨论利用错位相减法进行求和.
【详解】（1）当时，，所以，
当时，因为①，
所以②，
①-②得，即，
所以，当时，满足上式，
所以.
（2）因为，所以，两式相减得，所以的奇数项和偶数项分别成等差数列，
当为奇数时，，令，则，
所以，此时；
当为偶数时，，令，则，
所以，此时；
记的前项和为，
当时，
令①，
所以②，
①-②得，
所以，
令，
发现，
所以，
所以当为偶数时，；
当为奇数时，为偶数，
所以，
所以
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，两式相减构造常数列即可求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和方法进行求和即可
【详解】（1）由，
当时，，
两式相减，得，即，
即对恒成立，所以是常数列，
所以，所以
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
两式相减，得，
所以
23．(1)，
(2)
【分析】（1）先求解等差数列的基本量，再利用通项公式分别求等差、等比通项即可；
（2）先列举两个数列寻找各项大小规律，再确定两数列的项数，再分组求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
因为，
所以，则，
所以，
由等差数列的公差与等比数列的公比相同，
则等比数列的公比为，，则.
（2）数列中的项从小到大依次为1，4，16，64，256，…，
而，，
依题意，新数列的前50项中，数列的项只有前4项，数列有46项，
又，
所以.
24．(1)
(2)或
【分析】（1）令原递推式中的为，然后两式做差可得数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法可得，并观察出，进而转化为，解不等式即可.
【详解】（1）因为①，
所以当时，②,
①－②，得，得，
当时，满足，
所以；
（2），
故
，
明显，所以，
∴，即或.