05圆锥曲线方程（椭圆）-重庆市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，20

这是一份05圆锥曲线方程（椭圆）-重庆市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，20，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的点，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·重庆·高二统考期末）已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若的中点恰好在轴上，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·重庆·高二重庆十八中校考期末）已知椭圆的一个焦点坐标，则（ ）
A．B．5C．5或3D．3
6．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于 两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不能确定
8．（2024上·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校联考期末）已知椭圆标准方程为，则此椭圆的短轴长为（ ）
A．6B．3C．8D．5
9．（2024上·重庆·高二统考期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024上·重庆·高二校联考期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023上·重庆长寿·高二统考期末）下列椭圆中最接近于圆的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022上·重庆·高二统考期末）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2024上·重庆·高二重庆十八中校考期末）已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为 ．
14．（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，P为C上异于顶点的一点，的平分线PQ交x轴于点Q.若，则椭圆C的离心率为 .
15．（2024上·重庆·高二统考期末）己知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆的离心率为 ．
16．（2024上·重庆·高二校联考期末）如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .

17．（2024上·重庆·高二统考期末）已知直线和椭圆，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的的一个值为 ．
18．（2023上·重庆·高二统考期末）已知直线l：经过椭圆C：的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，为椭圆的右焦点，的周长为16，则此椭圆的短轴长为 ．
19．（2023上·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）椭圆的左，右焦点分别是，，椭圆上存在一点，满足，，则椭圆的离心率 .
20．（2023上·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）设椭圆的左、右焦点分别为、，点M、N在C上（M位于第一象限），且点M、N关于原点O对称，若，则C的离心率为 .
三、解答题
21．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）已知点在椭圆上，椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，求面积的取值范围（为坐标原点）.
22．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
23．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆的短轴顶点到长轴顶点的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆左顶点的直线与椭圆相交于另一点，设点为线段的中点，点，求的取值范围．
24．（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）已知椭圆C：（）的离心率为，焦距为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与C交点P，Q两点，O为坐标原点，且，求实数k的值.
参考答案：
1．D
【分析】由圆的性质将求的最大值转化为求的最大值，再设点，由在椭圆上消，建立关于的函数关系式求解最值即可.
【详解】由圆的圆心，半径为.
连接，则，且，
则，
故当取最大值时，最大.
由在椭圆上，设，则，
则，
，
则当时，取最大值，最大值为，此时
所以.
故选：D.
2．A
【分析】设为的圆心，利用椭圆定义和勾股定理得到，设，得到单调递增，从而求出最值，得到取值范围.
【详解】设为椭圆的右焦点，由题知，
故，显然为的圆心，
则，
由椭圆定义得，
故，
令，理由如下：
设，，则，，
故
，
因为，所以，
，
函数均单调递增，故在上单调递增，
所以.
故选：A．
3．B
【分析】先根据中位线的性质得到，进而可得，则根据通径的长度可求出，再根据直线的斜率为代入数据计算即可.
【详解】设的中点为，恰好在轴上，又点为的中点，
则，又
所以，则
直线的斜率为.
故选：B.
4．C
【分析】根据椭圆离心率求得，设，表示出的表达式，结合椭圆方程化简，即可得答案.
【详解】由题意知椭圆C：的离心率为，
即，
设，则，又，
故，
又，故，
故选：C
5．B
【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和几何性质，准确计算，即可求解.
【详解】由椭圆的一个焦点坐标，
可得椭圆的焦点在 轴，所以，解得.
故选：B.
6．C
【分析】根据得到，结合点差法相关知识计算求得，进而求得离心率.
【详解】如图所示，
因为，所以，
所以，
设，
则，两式相减得，
则，
因为直线，为线段中点，，
所以，，
代入上式得，则，
所以椭圆的离心率.
故选：C.
7．B
【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系.
【详解】，即，令，解得，
则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内，
则直线与椭圆的位置关系为相交.
故选：B.
8．A
【分析】根据椭圆的标准方程，求得b的值，即得答案.
【详解】由题意知椭圆标准方程为，
设椭圆的短轴长为2b，则，，
所以此椭圆的短轴长为，
故选：A
9．A
【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得.
【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即，
由消去并整理得：，
则，即，
设，则，而弦的中点为，即，
于是，解得，此时
所以椭圆的离心率.
故选：A
10．B
【分析】在使用余弦定理后用椭圆的基本定义化简即可计算出结果.
【详解】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆
故.
根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点 有：
……①，……②
由题知……③
在中使用余弦定理有：
……④
将①②③代入④式得到：……⑤
现在我们可以计算三角形的面积：
因此， 的面积是 .
故选：B.
11．D
【分析】计算出各选项中椭圆的离心率，根据椭圆离心率与圆的关系可得出结论.
【详解】因为椭圆的离心率为，
对于椭圆而言，若椭圆的离心率越接近于零，则该椭圆越接近于圆.
对于A选项，椭圆的离心率为，
对于B选项，椭圆的离心率为，
对于C选项，椭圆的离心率为，
对于D选项，椭圆的离心率为，
因为，故D选项中的椭圆越接近于圆.
故选：D.
12．D
【分析】根据方程表示椭圆的条件即可求解.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，解得且，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
13．
【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程，由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标 坐标，求得垂直平分线方程，当时，即可求得点坐标，代入即可求得，即可求得，即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率.
【详解】因为倾斜角为的直线过点，即直线的斜率为1，
可知直线必与椭圆C相交，
设直线的方程为: ，，线段的中点，
联立方程 ，化为，
则，
可得，
且，，即，
可得的垂直平分线为:，
令 ，解得 ，即，
可知，
由题意可得：，则 ，
所以椭圆的离心率为.
故答案为: .
【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
14．
【分析】根据角平分线性质定理结合椭圆定义即可得到关于的方程，则得到离心率的值.
【详解】设，则，则，
根据角平分线性质定理得，即，解得，
则根据椭圆定义得，，
故答案为：.
15．
【分析】求出，由椭圆定义得到，求出离心率.
【详解】因为，所以，
由椭圆定义得，即，
故离心率.
故答案为：
16．或
【分析】设切点为，与圆柱面相交于，由题意即为椭圆的长轴，椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，分析即得解.
【详解】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于，
此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中，
,又，
所以，
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即，
所以椭圆的标准方程为或，
故答案为：或.

17．3（答案不唯一）
【分析】由题意将直线与椭圆方程联立，令，求出的范围即可得解.
【详解】由题意联立直线与椭圆方程有，即，
消去化简并整理得，，
由题意若直线与椭圆有两个公共点，
则当且仅当，解得或.
故答案为：3（答案不唯一）.
18．
【分析】确定，根据周长确定，得到答案.
【详解】直线l：经过椭圆的左焦点，则，，

的周长为，解得，故，椭圆的短轴长为.
故答案为：.
19．/0.8
【分析】根据已知可得，解出的值.又由题意可推得，进而可得出，求出，即可得出离心率.
【详解】因为，，
又，
联立，解得或.
设椭圆的上顶点为，则，则.
因为椭圆上存在一点，满足，
所以.
即，即，即，所以.
所以，.
故答案为：.
20．
【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率.
【详解】依题意，作图如下，
因为点关于原点对称，所以为的中点，
且为的中点，，所以四边形为矩形，
由，设
由椭圆的定义知，解得：
所以
整理得：，因为，
所以，
故答案为：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）代入点坐标结合离心率即可得到方程组，解出即可；
（2）将直线与椭圆联立得到韦达定理式，再计算出斜率之和表达式，化简变形将韦达定理式代入得到关系式，最后计算面积表达式，求解其最值即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）联立，消元整理得，
时
设，，则，，
由
得
所以
所以
化简得，即，所以或
当时过点，不合题意，舍去，所以，即，
此时，所以，设到直线的距离为，
则，
当且仅当时，当时
所以.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是联立椭圆与直线方程得到伟大定理式，再计算化简斜率之和的表达式，从而得到，最后计算面积表达式即可.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由中垂线的性质及椭圆定义可得结果；
（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及两点间距离公式化简可得结果.
【详解】（1）如图，易知圆E的半径为4，线段的垂直平分线交线段于点，
由中垂线的性质可知：，所以，
即动点Q到定点的距离和为定值4，且,
根据椭圆定义可知：，所以，
即曲线C的方程为：.
（2）由题意可得直线l的斜率存在．设直线l的方程为，
代入椭圆方程，整理得，
设，则，，
由，
得,
化简得，
当时，因，化简得，与直线l的斜率存在矛盾，不合题意；
当时，化简得
即，化简得，
又，所以，化简得，
所以点在直线上.
【点睛】解决本题第二问关键联立直线与椭圆方程，利用两点间距离公式及韦达定理化简条件可得结果.
23．(1)
(2)
【分析】（1）由题意根据已知条件以及平方关系求出即可.
（2）通过三角代换设点的坐标，从而得点的坐标，结合两点间距离公式以及三角函数值域即可求解.
【详解】（1）由题意椭圆的一个焦点为，
不妨设它的标准方程为，
所以，
又椭圆的短轴顶点到长轴顶点的距离为，
所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
由题意设，所以点，
又因为，
所以，
所以.
24．(1)
(2)
【分析】（1）由焦距及离心率求出椭圆的方程；
（2）联立直线和椭圆的方程，得，，由得，求得k的值.
【详解】（1）由题，，所以，，
椭圆的方程为.
（2）
设，，
联立方程组，得，
则，即，
，，
因为，所以，
即，得，满足，合题意.
所以.