06圆锥曲线方程（双曲线）-重庆市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2

这是一份06圆锥曲线方程（双曲线）-重庆市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，2，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·重庆九龙坡·高二统考期末）已知点分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·重庆·高二重庆十八中校考期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·重庆·高二统考期末）已知双曲线的两个焦点分别是和，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·重庆·高二统考期末）若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·重庆·高二统考期末）已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·重庆·高二统考期末）与圆：及圆：都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上B．双曲线的一支上C．抛物线上D．圆上
8．（2023上·重庆·高二校联考期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A．B．C．或D．不确定
9．（2022上·重庆·高二统考期末）双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线的右支上存在一点，使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
11．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，倾斜角为且过点的直线与双曲线的右支交于两点，设内切圆的半径为的内切圆的半径为，则圆心的横坐标为 （填或），若，则双曲线离心率的最小值为 .
14．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为 .
15．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是 ．
16．（2024上·重庆九龙坡·高二统考期末）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，已知点坐标为，双曲线上点满足，设的内切圆半径为．则 ； ．
17．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）双曲线的离心率为 .
18．（2024上·重庆长寿·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为，则左焦点到双曲线的渐近线的距离为 .
19．（2024上·重庆·高二校联考期末）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 .
20．（2023上·重庆·高二统考期末）写出一个离心率为且焦点在x轴上的双曲线的标准方程 ．
三、解答题
21．（2024上·重庆·高二重庆十八中校考期末）已知双曲线的右焦点，渐近线方程．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围．
22．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线交双曲线右支于两点，当直线与轴垂直时，．过作直线分别交双曲线两支于两点，且的最小值为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设线段的中点分别为，记的面积为，的面积为（为双曲线的中心），若直线的斜率分别为且，求证：为定值，并求出这个定值．
23．（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）已知点，动点到直线l：的距离为d，且，记S的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若，分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线上，且.连接，分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.
24．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值.
参考答案：
1．D
【分析】根据椭圆和双曲线相关基本知识直接求解即可.
【详解】设椭圆焦距为，
则，则，所以椭圆 的左焦点为，
所以双曲线 的左顶点为，
所以，所以，
所以双曲线 的渐近线为.
故选：D
2．C
【分析】取的中点，令，则，由双曲线定义及所给条件可得，得，再结合直线的斜率为，即可求解.
【详解】取的中点，连接，令，则，如图，
因点为双曲线左右两支上的点，
由双曲线定义得，，
则，
令双曲线的半焦距为，
直角中，，
直角中，，
则有，即，
因直线的斜率为，即，即，
于是有，则，解得，
因此双曲线的离心率.
故选：C.
3．A
【分析】设，利用点差法求解.
【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点，
且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3，
设 ，则，
两式相减得 ，则 ，
解得 ，即 ，
所以双曲线C的渐近线方程为，
故选：A
4．D
【分析】根据题意写出点的坐标，利用向量的坐标运算以及双曲线方程，建立方程组，可得答案.
【详解】由，则，
所以，设，
则，
由，，即，
，，，，
，点到轴的距离.
故选：D.
5．D
【分析】若方程表示的曲线是双曲线，即或，等价于，从而得到m的取值范围。
【详解】因为方程表示的曲线是双曲线，
所以，即或.
故选：D
6．C
【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可.
【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，
又因为，且分别为，的中点，所以,
所以到渐近线的距离为，
所以，，结合，可得：①
因为，所以即，
整理得：，将①代入，，所以.
故选：C.
7．B
【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.
【详解】设所求圆的半径为，圆心为，
圆：的圆心，半径，
圆化为标准方程得，则圆心，半径，
因为，所以两圆相离，
由题意可得，两式相减得，
所以圆心在双曲线的一支上.
故选：B.
8．C
【分析】根据双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设双曲线的左、右焦点为，则；
则，
由双曲线定义可得，即，
所以或，由于，
故点到它的左焦点的距离是或，
故选：C
9．B
【分析】当时，．因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以，结合的关系求解即可．
【详解】当时，．
因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以，
即，所以，结合，解得．
故选：B.
10．A
【分析】对点的位置进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得的值.
【详解】在双曲线中，，，，设点，易知，
若点在双曲线的右支上，则，
，
由双曲线的定义可得，可得，不合乎题意；
若点在双曲线的左支上，则，
，
由双曲线的定义可得，可得，合乎题意.
综上所述，.
故选：A.
11．B
【分析】设双曲线的标准方程为，求出圆与双曲线在第一象限内的交点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的标准方程为，
设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，则，
因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，
故点，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以，，
所以，该双曲线的离心率为.
故选：B.
12．C
【分析】根据方程表示双曲线，由求解.
【详解】解：因为方程表示双曲线，
所以，即，
解得或，
所以实数的取值范围为，
故选：C
13．
【分析】对于第一空，由双曲线的定义、平方关系以及以及切线长定理即可得解；对于第二空，由解直角三角形知识，得到结合以及离心率公式即可得解.
【详解】如图所示，

设，其中.
设.过分别作的垂线，垂足分别为R､S､T，
所以由切线长定理有，
则，
又因为，所以.
又，所以，同理可得.
所以在直线上，所以，
过作，直线倾斜角为，
由题可知，
所以，
，
所以，化简为，
所以，又因为，解得.
故答案为：，.
【点睛】关键点睛：第二空的关键是得到，由此结合已知条件即可顺利得解.
14．
【分析】根据题意求得点坐标，结合双曲线定义，求得，在三角形中，使用两次余弦定理，求得满足的等量关系，即可求得结果.
【详解】根据题意，不妨设点在第一象限，过点的垂线与的平分线交于,
连接，作图如下：
对，令，故可得，故点坐标为；
易知三角形与三角形全等，则，
由双曲线定义可得：，即，即；
在中，，
在中，由余弦定理得：；
则，整理化简可得：，，
也即，则，
解的，又，故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用利用双曲线的定义与垂直平分线的性质求得，从而利用与中利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解.
15．/
【分析】根据求出，进而可得的值，再根据的关系求出，则离心率可求.
【详解】，
，则，
即，，
又，
，
.
故答案为：.
16． 2 8
【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.
【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于，

由切线长相等，得，
又双曲线定义得，
则，
又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为，
由，得，
化简得，即，即是的平分线，
而点，且，于是点为的内心，且半径，
所以.
故答案为：2；8
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用双曲线定义及面积公式即可求解.
17．
【分析】由双曲线的离心率定义即可求得.
【详解】因为，所以，.
故答案为：.
18．2
【分析】求出双曲线的左焦点的坐标及渐近线的方程，再借助点到直线距离求出答案.
【详解】由双曲线得，，
∴双曲线的渐近线方程为，即
∴左焦点到双曲线的渐近线的距离为，
故答案为：2.
19．
【分析】根据双曲线焦点在x轴上有，求解即可得出参数m范围.
【详解】因方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则有，解得，
故答案为：.
20．（答案不唯一）；
【分析】由双曲线的离心率可得，即可得出答案.
【详解】由，所以，即，
又因为，所以，则，
取，
所以离心率为且焦点在x轴上的双曲线的标准方程为：（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）.
21．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程及求得，写出双曲线方程；
（2）联立直线：与双曲线方程得韦达定理，由，用表示，将韦达定理代入后计算为定值；
（3）将表示为的函数，分析单调性求范围.
【详解】（1）依题意，，渐近线方程．
所以，又因为，解得：，
所以双曲线的方程为.
（2）
由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
依题意，直线的斜率存在，且，
设直线的方程为：，
由，消去并整理得：，设，
则，
而点，则，
因为，则有，即，同理，
所以，为定值.
（3）由（2）知，点，，，
因为，令，而函数在上单调递减，即，
因此，所以.
所以三角形的面积的取值范围.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
22．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据和的最小值为可求出，则双曲线的方程可求；
（2）设出直线和的方程，结合题目所给信息，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出中点的坐标，推出直线的方程，此时问题转化为点与点到直线的距离之比即可解决.
【详解】（1）由已知当直线与轴垂直时，，即①，
又的最小值为，即②，
所以由①②得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）得，
因为，所以，
设直线的方程为，设直线的方程为，
联立，消去并整理得
此时，
不妨设，
则，
此时，，
所以，同理得，
设直线的斜率为，
则
所以直线的方程为，
即
所有直线恒过点，
所以点与点到直线的距离之比为
所以.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
23．(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据，分别表示出，，化简即得曲线C的方程；
（2）根据题意，表示出，的直线方程，与曲线联立，表示出，两点坐标，求出直线方程，进而得到直线恒过定点.
【详解】（1）因为点，动点到直线l：的距离为d，
所以，又因为，
所以，
两边同时平方得，
整理得，
所以曲线C的方程.
（2）
由（1）可得，,
设，因为，则，，，
将与联立，消去整理得，
所以，即，，
所以，
所以，，故，
将与联立，消去整理得，
所以，即，，
所以，
所以，，
所以，
当时，直线方程为，所以直线PQ过定点，定点坐标，
当时，两点分别为或，所以直线PQ过定点坐标，
所以直线PQ过定点，定点坐标为
【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法，一般有直接法，转移法以及交轨法．其中转移法适用于两个动点的情形，一个是已知曲线上的动点，另一个是所求动点，先通过条件用所求动点坐标表示已知动点坐标，再代入已知动点所在曲线方程，化简可得所求动点轨迹方程.
24．(1)
(2)或
【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解；
（2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由及双曲线的定义知，，即，
所以双曲线的方程为：.
（2）由题意可知，作出图形如图所示

设，由题可知，
联立，
所以，
点到直线的距离，
所以
，
令，化简得：，解得：或，
所以或.