07圆锥曲线方程（抛物线）-重庆市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，20

这是一份07圆锥曲线方程（抛物线）-重庆市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版，20，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）设点，抛物线上的点到轴的距离为，若的最小值为4，则（ ）
A．6B．10C．12D．16
2．（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知点满足，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
3．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．0.9B．C．1.2D．1.05
4．（2024上·重庆·高二重庆十八中校考期末）抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·重庆·高二统考期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（2024上·重庆九龙坡·高二统考期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．若，则（ ）
A．B．C．8D．
7．（2023上·重庆·高二统考期末）若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则m的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
8．（2023上·重庆长寿·高二统考期末）已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·重庆·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为F，，则为（ ）
A．B．2C．D．
10．（2022上·重庆·高二统考期末）已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023上·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）已知抛物线，直线l过定点P（0，1），与C仅有一个公共点的直线l有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 .
14．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点，若，则 ．
15．（2024上·重庆·高二重庆十八中校考期末）若抛物线上一点到焦点的距离为，则 ．
16．（2023上·重庆綦江·高二重庆市綦江南州中学校校考期末）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于P，Q两点（点P在第一象限），，则直线的斜率为 若，点为抛物线上的动点，且点在直线的左上方，则面积的最大值为 .
17．（2022上·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）抛物线的通径长为
18．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）双曲线：（，）的渐近线与抛物线的准线交于，两点，为坐标原点，的面积为1，则双曲线的渐近线方程为 ．
19．（2022上·重庆江北·高二校考期末）已知抛物线方程为，则其焦点坐标为 ．
20．（2022上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知为抛物线的焦点，是上的动点，点，则的最小值为 .
三、解答题
21．（2023上·重庆·高二西南大学附中校考期末）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值.
22．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点．
(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)证明：为线段的中点．
23．（2024上·重庆·高二统考期末）已知抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程及准线方程；
(2)过焦点的直线与抛物线相交于，两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长．
条件①：直线的斜率为2；
条件②：线段AB的中点为．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
24．（2023上·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考期末）已知抛物线与直线l：相交于M，N两点，线段MN中点的横坐标为5，抛物线的焦点为F.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)记直线l与x轴的交点为P，过点P的直线m与抛物线交于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D，直线m的斜率为，直线CD的斜率为，求的值.
25．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为1.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程.
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，点到轴的距离为，得到，结合，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点，准线为，
点到轴的距离为，其中，
所以，此时点在直线与抛物线的交点，
所以，
因为，即，解得 .
故选：C.
2．C
【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.
【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离.
因为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，
所以的轨迹为抛物线.
故选：C.
3．A
【分析】根据题意建立平面直角坐标系求出抛物线方程即可得到答案.
【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，
设抛物线方程为，代入，
所以，解得，所以抛物线方程为，
则该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故选：A
4．D
【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而可得准线方程.
【详解】因为抛物线的方程为，即，
可知，即，且焦点在y轴正半轴上，
所以准线方程为.
故选：D.
5．C
【分析】先通过抛物线的定义得到，由，利用点差法得到，通过线段AB的中点，得到AB的斜率，又因为，从而得到及.
【详解】抛物线的焦点为，直线过焦点，
设，，因为在抛物线内部，且直线不包含斜率为0的情况，则直线与抛物线必有两交点，
因为线段AB的中点为，所以
，作差后可以得到，即
可以得到，则
由抛物线定义，得
故选：C
6．B
【分析】根据焦半径公式并结合条件得到点的坐标，即可求得弦长.
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，则，
因为，所以，得①，
因为，所以，即，
则，即②，
由方程①②可得，
所以.
故选：B.
7．A
【分析】找到椭圆的右焦点，利用的准线过焦点，即可求解.
【详解】解：椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的右焦点，可得，解得．
故选：A．
8．D
【分析】求出圆的圆心，的长，设出直线的解析式，令直线和抛物线联立即可求出直线的斜率.
【详解】由题意，
在圆中, ，圆心, 半径为1,
在抛物线中，焦点为，
∴圆的圆心为抛物线的焦点，
∵圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，
∴为圆的直径，即，
∵成等差数列，则，
解得：，
∵直线过，两点是过圆心点的直线与抛物线交点，
设的方程为,，

联立和，并化简得：，
∴，
∴，
∴，解得：，
故选：D.
9．D
【分析】确定焦点，再利用两点间距离公式计算得到答案.
【详解】抛物线，即，焦点，，.
故选：D
10．C
【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.
【详解】方程，得或，
当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合；
当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合，
综上，方程表示的曲线可能是C.
故选：C.
11．C
【分析】根据和抛物线的方程可求得，再联立直线与抛物线的方程根据韦达定理可得，即可求，根据抛物线的定义即可得结果.
【详解】由题意可得：，
设，则有，
∵，则，可得，
又∵在抛物线上，则，
联立，解得或（舍去），
设直线，联立方程，消去y得，
则，即，
故.
故选：C．
12．C
【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.
【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：
当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；
当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相切，易知：是其中一条，
不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：，则有，解得：，
所以过点的直线的方程为：或或，
故选：.
13．
【分析】设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，结合两点间距离公式，可确定的值，从而有，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，求得的最小值，即可得解．
【详解】由题意知，焦点，
设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，
设，则，
由，知，
联立两式，消去可得，
令，则，满足上式，
所以，
所以，
当且仅当，三点共线时，等号成立，
设，则，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题的难点在于在轴上找到点，使得，从而，利用三点共线即可完成，属于难题.
14．2
【分析】根据题意计算得到点坐标，再代入抛物线方程求解答案即可.
【详解】由题意得，直线斜率不为0，设其方程为，，，

由，得，
当时，，
因为，所以，代入上式解得，
因为，所以，
代入抛物线方程，得，
化简得，，又因为，所以.
故答案为：2
15．
【分析】利用焦半径公式求解.
【详解】点到焦点的距离为,则，解得
故答案为：
16．
【分析】空1：设直线的方程为，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据线段比例关系得到两交点纵坐标关系，联立即可解出斜率；
空2：根据三角形底为弦长，若面积最大，则高最大，则点到直线的距离最大，则转化为直线与抛物线相切的问题.
【详解】设直线的方程为，，，
联立抛物线方程得，
故①，②，，
则，代入②式得，解得，
在第一象限，故在第四象限，故，
故，，则，
解得，故直线的斜率，
，即，则，
若，则，则，
故抛物线方程为，此时，，，
而，
若要的面积最大，则只需将直线沿着左上方平移直至与抛物线相切，
此时切点位置即为点位置，
故设切线方程为：，，
将切线方程与抛物线方程联立得，
则，解得，此时切线方程为：，
直线的方程为，则两直线的距离，
此时面积最大值为.
故答案为：；.
【点睛】结论点睛：设抛物线方程为，若倾斜角为直线经过焦点交抛物线于，则有以下结论：
（1） ；（2）；（3）.
17．/
【分析】根据抛物线的通径的定义进行求解即可.
【详解】由，所以该抛物线的焦点坐标为，
把代入中，得，
所以抛物线的通径长为，
故答案为：
18．或
【分析】求出抛物线的准线及双曲线的渐近线，再联立求出线段AB长，结合三角形面积，求出作答.
【详解】双曲线：的渐近线方程为：，抛物线的准线为直线：，
联立与得：，因此有，
而的面积，即，
所以双曲线的渐近线方程为或.
故答案为：或
19．
【分析】将抛物线方程化为标准方程即可确定焦点坐标.
【详解】将抛物线方程化为标准方程得：，其焦点坐标为.
故答案为：.
20．
【分析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足点为，结合图形可知，当与直线垂直，且点为线段与抛物线的交点时，取得最小值，即可得解.
【详解】将代入抛物线方程，可得，，在抛物线的内部，
过点作抛物线的准线的垂线，垂足点为，
由抛物线的定义可知，所以，，
当与直线垂直，且点为线段与抛物线的交点时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）求出渐近线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式求出和的坐标，并得到的中垂线方程，得到，表达出，求出的最小值.
【详解】（1）的焦点为，
双曲线的渐近线方程为，
不妨取，即.
由点到直线的距离公式得，得，
所以抛物线的方程为.
（2）由(1)知，，.
当直线斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
直线斜率不为0，故设直线的方程为，
联立消去并整理，得，，
设，，则，，
，
∴.
易得点的坐标为，
∴的中垂线方程为，
令得，
∴，
从而，
∴，
∴当且仅当时，取最小值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
22．(1)抛物线的方程为，焦点，准线
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线过点代入求出抛物线方程，再求焦点和准线即可；
（2）设，由题意得到，再计算验证即可.
【详解】（1）因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点为，准线为
（2）设，
因为过点作直线与抛物线交于不同的两点，直线斜率存在，
所以，即，
所以，则，
因为，所以，又由，得
则过点作轴的垂线为，直线，，
所以，，
所以，
所以，
又因为三点都在上，所以为线段的中点得证
23．(1)，准线方程为
(2)选择①、②，
【分析】（1）点M代入抛物线得p值，求得方程和准线.
（2）选①：设直线与抛物线联立，利用焦点弦长公式求解；选②:由中点坐标公式求出，再利用焦点弦长公式求解.
【详解】（1）将代入抛物线,可得，所以，故抛物线的标准方程，准线方程为；
（2）由（1）可得，
若选条件①：直线的斜率为，则直线的方程为，设，，，，
联立，整理可得：，
显然成立，且，
由抛物线的性质可得；
若选条件②：线段的中点为，设，，，，
则，，即，
因为直线过焦点的弦长，
所以弦长．
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法，建立方程，可得答案；
（2）设点，利用斜率公式整理，根据直线与抛物线联立，写韦达定理，运算可得答案.
【详解】（1）设，将点代入抛物线方程可得：，
两方程作差可得，整理可得，
将代入可得：，则，
由在直线上，则，故，解得，
综上，抛物线的标准方程为.
（2）设，
则，
设直线的方程为，代入抛物线中，
整理可得：，则，同理可得，
故，
设直线的方程为，代入中，
整理可得，则，
所以.
25．(1)椭圆的方程为，抛物线的方程为
(2)或
【分析】（1）由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出、、，即可得出椭圆的标准方程和抛物线方程；
（2）设直线方程为设，解出、两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.
【详解】（1）解：设，，
依题意可得，，，解得，，，于是，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故，
将与联立，消去整理得，解得，或，
由点异于点，可得点，
由，可得直线的方程为，
令，解得，故，
所以，
又因为的面积为，故，
整理得，解得，所以，
所以直线的方程为或.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．