05导数及其应用-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份05导数及其应用-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知是奇函数，则在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．定义在上且周期为4的函数满足：当时，，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．若对任意，总存在两个不同的负实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于的不等式存在唯一的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致是
A．B．
C．D．
7．函数的图象大致是
A．B．
C．D．
8．已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．在区间上有3个零点
B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度
C．的值域为
D．的最小正周期为，最小值为
9．若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4B．5C．6D．7
10．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知两点，和曲线，若C经过原点的切线为，且直线，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题
13．已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为 .
14．由曲线（x≥0）与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为 ．
15．已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是 ．
16．已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是 ．
17．曲线在点处的切线方程为 ．（化为）
18．已知△ABC的面积为1，且AB=2BC，则当AC取得最小值时， BC的长为 .
19．曲线在处的切线的倾斜角为，则 ．
20．已知函数，关于的不等式，的解集是，则 .
三、解答题
21．已知函数．
(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若有两个极值点，，证明：．
22．已知向量，，函数.
(1)求的解析式和单调递增区间；
(2)若是的导函数，，，求函数的值域.
23．已知函数．（e为自然对数的底数）
(1)当时，证明存在唯一的极小值点，且；
(2)若函数存在两个零点，记较小的零点为，s是关于x的方程的根，证明：．
24．已知函数为自然对数的底数.
(1)若是函数的唯一极值点，求正实数的取值范围；
(2)令函数，若存在实数，使得，证明：.
参考答案：
1．A
【分析】根据得，根据奇函数的以及对数的运算即可求解，求导得切线斜率，即可根据点斜式求解方程.
【详解】为奇函数，所以，解得，
所以，，
故，故，故，
解得，
由于，所以，所以，定义域为，关于原点对称，符合题意，
故，则，切点为，
故，故切线方程为.
故选：A
2．B
【分析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数最小值，对于函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.
【详解】由题意可知，因为，
所以，且，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，取得最小值，，
，，
①当时，函数单调递增，，
即，解得：，不成立；
②当时，，
即，解得：或，不成立；
③当时，函数单调递减，，
即，解得：，成立.
综上可知：.
故选：B
3．B
【解析】画出函数在区间上的函数,再分析的交点个数即可.
【详解】由题, 的零点个数即的函数图像交点个数.
画出的图像,同时恒过定点,且函数周期为4.
故..
故临界条件分别为过和与相切.
取值分别为,,.
当与相切时,设切点为,又,故.
,故.故.
故选：B
【点睛】本题主要考查了函数零点的个数问题,需要根据题意画出对应的图像,再分析临界条件求得对应的斜率的值即可.属于中等题型.
4．B
【分析】令，由，可得，令，利用导数分析函数的单调性与极值，并求出的取值范围为，根据题意得出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】令，由，可得，
令，则，令，得，列表如下：
所以，函数在取得极小值，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
，当时，，当时，.
，，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，考查函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．B
【分析】设，，进而得出函数的大致图像，进而分和两种情况，数形结合求解即可.
【详解】解：不等式等价于，设，，
所以，，当，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以，的图像大致如图所示，
又直线恒过定点，
当，如图，不等式不存在整数解，
当时，如图，要使不等式存在唯一的整数解，则不等式的唯一整数解为，
所以，且，即，解得.
所以实数的取值范围是.
综上，实数的取值范围是
故选：B
6．B
【详解】解析：因是奇函数，且当时，都有，函数单调递增，故应选答案B．
7．B
【详解】解析：因是奇函数，且当时，都有，函数单调递增，故应选答案B．
8．D
【分析】利用辅助角公式化简函数，结合函数零点及图象平移变换判断AB；化简函数，借助导数求出值域判断C；化简函数，再利用余弦函数性质判断D.
【详解】对于A，依题意，，由，得，
由，得或，解得或，
所以在区间上有2个零点，A错误；
对于B，由选项A知，，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数，B错误；
对于C，
，
令，，，
求导得，
由，得，于是函数在上单调递增；
由，得或，于是在，上单调递减，
且，，
，，
因此当时，取得最小值；当时，取得最大值，
所以的值域为，C错误；
对于D，依题意，
，
所以的周期，最小值为，D正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：连续函数在闭区间上有最大值和最小值，求函数在闭区间上的最值，求出函数的极值与区间两端点的函数值比较作答.
9．B
【分析】根据时不等式成立得到不等式的-个整数解为1，然后时将不等式变形为，然后根据的单调性得到不等式的两个整数解只能是2,3，最后列不等式求即可.
【详解】不等式可整理为，
当时，成立，所以其它两个整数解大于1，
当时，原不等式可整理为，
令，则，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
又，所以，所以在上单调递增，
所以不等式的两个整数解只能是2,3，
所以不等式的三个整数解为1,2,3，
则，解得，
因为，，，
所以整数.
故选：B.
10．A
【分析】转化为有两个不相等的实数根，构造，分和两种情况，求导，得到函数的单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到实数的取值范围，得到答案.
【详解】由题意得有两个不相等的实数根，
令，
当时，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，当时，恒成立，
当时，，则，
当时，，单调递增，
且，
画出的图象如下：
要想有两个不相等的实数根，则，
故有两个不相等的实数根，则.
故选：A
11．C
【分析】先求原点的切线的斜率，由，得，等价于，有解，结合根的存在性定理即可求解.
【详解】由，，设切点为
则过原点的切线的斜率为，所以切线方程为：，
代点，则，解得，即斜率为
由，得，
结合图形知．令，，
则，所以在上单调递减，在单调递增．
因为，，所以．
故选：C

12．D
【分析】令，进而得，再构造函数研究其最值即可得答案.
【详解】解：令，即，
所以，，，
令，则，
所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，
所以，
所以，的最小值是.
故选：D
13．2
【解析】根据奇函数在关于原点对称位置的切线斜率相等,直接求解在处的导函数即可.
【详解】因为当时,故.根据奇函数的图像知, 在点处的切线斜率等于在点处的切线斜率为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了奇函数对称性的应用以及导数的几何意义.属于中等题型.
14．
【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，作出对应的图像，利用积分的几何意义即可求出区域的面积.
【详解】解：
,当x=1时，y=1，,
在点（1，1）处的切线的斜率为k=，可得切线的方程为y=3x-2，
直线y=3x-2与x轴的交点坐标为（），
可得围成图形的面积：S====，
故答案：.
【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上的某点的切线方程及定积分在求面积中应用，属于基础题型.
15．或
【详解】因为，所以令，可得函数的两个极值点分别为，由题意，即，解之得或，应填答案．
点睛：本题的求解思路是先求函数的导数，再求出其极值点分别为，最后再依据题设条件是函数的极小值点建立不等式，通过解此二次不等式使得问题获解．
16．或
【详解】因为，所以令，可得函数的两个极值点分别为，由题意，即，解之得或，应填答案．
点睛：本题的求解思路是先求函数的导数，再求出其极值点分别为，最后再依据题设条件是函数的极小值点建立不等式，通过解此二次不等式使得问题获解．
17．
【分析】利用导数求得斜率后可得切线方程．
【详解】，时，，
切线方程为，即．
故答案为：．
18．
【分析】记，由面积得，由余弦定理得，结合导数可得．
【详解】记，由已知，，
，
令，则，
所以当时，，当时，，
设，则时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当即时，，即AC取得最小值，
此时，.
故答案为：．
19．/
【分析】求导，根据导数的几何意义可得，再结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为，可得，
由题意可知：，
所以
，
即.
故答案为：.
20．
【分析】由题知为偶函数，且在上单调递增，进而得，再分和讨论得的解集是时，，且，再求解即可.
【详解】解：函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
因为，
所以，当时，，函数为增函数，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，
当时，，
令，则，
所以，函数在单调递减，在上单调递增，
所以，即在时恒成立，
当时，，
令，则，
所以，函数在单调递增，
因为
所以存在，使得，且时，，
综上，的解集是时，，且，
所以，.
故答案为：
21．(1)；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求出；
（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；
（3）由题意得，，，而，只需证明，即证：，即证：对任意的恒成立即可．
【详解】（1）由题可知，当时，，
，，切点为，切线的斜率为，
切线方程为：，即；
（2）对函数求导可得，．
当时，．则在上单调递增．
当时，．则，．
令，则，或．，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
（3）有两个极值，，
，是方程的两个不等实根，
则，，，
．
要证：．即证：．
不妨设，即证：．
即证：对任意的恒成立．
令，．则．
从而在上单调递减，故．
所以．
【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，训练了构造函数法证明不等式的成立，属难题.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先求出，即可得到的解析式，再根据正切函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，且，
所以
，
令，，
解得，，
则函数的单调增区间为；
（2）∵，
∴，
∴，
而，则，所以，
∴，
由得，即.
则函数的值域为.
23．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导函数的单调性，结合零点存在性定理推理即得.
（2）利用函数零点的意义结合同构思想可得为两根中较小的根，且，再结合已知构造函数，借助单调性推理即得.
【详解】（1）当时，，求导得，
显然函数在上单调递增，且，
则存在，使得当时，，当时，，且，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，存在唯一的极小值点，
而，所以.
（2）令，得，设，显然在定义域上单调递增，
而，则有，于是，
依题意，方程有两个不等的实根，即函数在定义域上有两个零点，
显然，当时，的定义域为，在上单调递增，
最多一个零点，不符合题意，因此，的定义域为，
求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
要有两个零点，必有，即，此时，即在有一个零点，
，令，求导得，显然在上递增，
，函数在上递增，，
于是，则函数在上存在唯一零点，
由为的两个根中较小的根，得，
又，从而，则有，
设，
当时，，有，符合題意，
当时，，则在上单调递增，，不合题意，
因此，设，求导得，
当时，令，则，
于是在上单调递增，从而，即，
从而，即在单调递增，则，
于是，即有，所以.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，令，要使是函数的唯一极值点，即，利用导数研究的单调性即可得出答案；
（2）令，将函数变形为，设，要证明，即证明，不妨设，结合的单调性即证明，构造函数，研究其单调性即可证明.
【详解】（1）
，
令，则，令，解得，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
.
因为是函数的唯一极值点，又，
所以，即时，恒成立，
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
故有且仅有一个极值点.
所以正实数的取值范围为.
（2）证明：的定义域为，
令，则上述函数变形为，
对于，则，
即在上单调递增，
由已知存在实数使得，
不妨设，所以存在对应的，使得，
对于，则，
因为，所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的唯一极小值点，
所以，则，
令，
则
，
所以在上单调递减，所以，
即，又，所以，
又由的单调性可知，即有成立，
所以.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解极值点问题、证明不等式问题；本题证明不等式的基本思路是：证明，即证明，再将所证不等式构造为的形式，从而将多变量问题转化为单一变量问题.
极小值