07平面向量-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份07平面向量-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，若，则 （ ）
A．B．C．D．
2．若，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若，则
A．1B．2C．3D．4.
4．正三角形中，是线段上的点，，，则
A．3B．6C．9D．12
5．已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
6．已知点，，点的坐标，满足，则的最小值为
A．B．C．D．
7．已知的外接圆半径为2，为该圆上的一点，且，则的面积的最大值为
A．3B．4C．D．
8．已知，若与共线，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
9．已知的外接圆半径为2，为该圆上的一点，且，则的面积的最大值为
A．3B．4C．D．
10．已知，，，则向量与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知向量，若，则的值可以是 ．
12．已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数的值为 .
13．已知向量，且，则 .
14．已知向量，，若，则的值可以是 ．
15．已知平面向量，若与平行，则 .
16．若向量，满足，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
17．已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为 .
18．已知正方形ABCD的边长为4，M是AD的中点，动点N在正方形ABCD的内部或其边界移动，并且满足，则的取值范围是 ．
19．已知向量的夹角为，若，则 ．
20．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题
21．两非零向量满足：垂直，集合是单元素集合．
（1）求的夹角；
（2）若关于t的不等式的解集为空集，求实数的值．
22．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，.
(1)求的面积；
(2)设为线段上一点，且，求的值.
23．在中，内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，点在边上，且，求面积的最大值．
24．记的内角的对边分别为，且.
(1)证明：为等腰直角三角形；
(2)已知，直线与相交于点，求的余弦值.
25．已知向量，函数.
(1)求函数的最大值及相应自变量的取值；
(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及数量积的坐标运算求解.
【详解】因为，所以即，所以，
所以，
故选:D.
2．C
【分析】根据已知条件和向量的有关概率、运算，逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为，，所以，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为，，所以，所以与不垂直，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以D正确，
故选：C
3．D
【解析】根据两向量垂直的坐标表示直接求解.
【详解】
，
解得：.
故选：D
【点睛】本题考查向量垂直的数量积的坐标表示，意在考查基本公式和计算，属于基础题型.
4．B
【解析】以为原点建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】如图建立以为原点的空间直角坐标系,易得,,.
故,,
故
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算,可以选择建立平面直角坐标系求解,属于中等题型.
5．A
【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围.
【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，
，
，且，
时，取最小值时，取最大值，
∴的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题.
6．A
【分析】利用平面向量的数量积的坐标运算法则将化为与距离有关的最值问题，进而利用线性规划方法求得最小值.
【详解】画出出可行域如图所示:
，
表示点到可行域内的点的距离的平方减去8的最小值，
到的最小距离即为到直线的距离，
则的最小值为
故选:A.
【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，线性规划思想方法求距离最值问题，属中档题.
7．B
【详解】解析：由题设可知四边形是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知，且当时，四边形的面积最大，则的面积的最大值为，应选答案B．
8．B
【分析】先求出的坐标，然后利用共线向量的关系列方程求解即可
【详解】因为，所以，
因为与共线，
所以，解得，
故选：B
9．B
【详解】解析：由题设可知四边形是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知，且当时，四边形的面积最大，则的面积的最大值为，应选答案B．
10．B
【分析】利用向量模的平方转化为模与数量积的关系，再由向量的数量积的定义求向量的夹角.
【详解】设向量与的夹角为，
则，
，由，则.
故选：B.
11．（答案不唯一）
【分析】由垂直的坐标表示求解．
【详解】因为，所以，
，∴，取，，
故答案为：（答案不唯一）．
12．/0.2
【分析】根据向量的模长公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】，
由于，
故当时，此时取最小值，
故答案为：
13．
【分析】表示出的坐标，根据向量的垂直条件列式计算，求出t的值，再根据向量夹角的计算公式即可求得答案.
【详解】由题意知向量，且，
故，则，
故，
则，
故答案为：
14．（或答案合理即可）
【分析】根据，由求解.
【详解】解：因为向量，，且，
所以，
则，即，
所以的值可以是（或答案合理即可），
故答案为：（或答案合理即可）
15．
【分析】计算出，根据向量平行得到方程，求出.
【详解】，
由题意得，解得.
故答案为：
16．
【分析】利用向量数量积的定义及运算律求解即得.
【详解】由与的夹角为锐角，得，而，，
因此，
所以的取值范围是.
故答案为：
17．/
【分析】令，进而根据向量模的不等式关系得，且，再求向量的模，并结合二次函数性质即可得答案.
【详解】设，则，
所以，
，
由二次函数性质可得，，即：
所以，
所以的最小值为
故答案为： .
18．
【分析】以A为原点建立直角坐标系，可得A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),M(0,2)，可得N满足的方程（x≥0），同时可得=，设z=，求出其取值范围可得答案.
【详解】解：
如图以A为原点建立直角坐标系，可得A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),M(0,2)
设N点坐标N（x，y），可得=(x，y-2)，=（x，y），由，可得N满足的方程（x≥0）…①，可得=(4-x,-y),=(4-x,4-y),可得==…②,将①代入②可得=，
即求z=的取值范围，
可得（x，y）满足（x≥0），由图像可知当N取（0，0）点的时候z最大，，当直线z=与圆（x≥0）相切时候，z取最小值，
设直线为y=-2x+b，则z=-2b+16，
联立方程可得，可得，由其只有一个交点可得：
△=0，即:，解得：b=或b=（b＞0，舍去），
z=-2b+16=14-2，即:，
可得的取值范围：.
【点睛】本题考查动点的轨迹问题及向量的数量积的取值范围，灵活建立直角坐标系，数形结合是解题的关键.
19．3
【详解】由题意可得：，
整理可得：，
据此可得：.
20．/
【分析】设，由求得，然后求得点坐标代入双曲线方程可求得离心率．
【详解】，，设，则，，由题设可得，解之得，
所以，由可得代入双曲线方程可得，
即，
故答案为：．
21．（1）；（2）.
【分析】（1）根据两个向量垂直列方程，求得式，根据一元二次方程只有唯一解，用判别式列方程，求得，利用向量的角叫公式列式，求得夹角的余弦值，进而求得夹角的大小.（2）将原不等式解集为空集，转化为的解集为，两边平方去绝对值后，化为关于的一元二次不等式恒成立问题，结合判别式为非正数列不等式，解不等式求得的值.
【详解】（1）由与垂直得，
由是单元素集合得
，
设向量，的夹角为，则
∴夹角为．
（2）关于的不等式解集为
故的解集为
从而对一切恒成立．
将，代入上式得：对一切恒成立．
∴．
【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查还有绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的方程，结合可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积；
（2）利用平面向量数量积的定义可求出的长，利用余弦定理可求得的长，利用勾股定理可推导出，即可得出的大小，并求出的长，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】（1）解：由余弦定理得，整理得.
因，解得，
所以，.
（2）解：因为，可得，
由余弦定理可得，
所以，，即，故，
且，
，
故.
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及二倍角公式化简即可得，即可知；
（2）结合（1）中结论，由余弦定理可得，利用不等式即可求出，再由向量比例关系可知，即可求出结果.
【详解】（1）根据，由正弦定理可得，
由二倍角公式可得，又因为，
所以，即可得，
即，所以，即；
（2）如下图所示：

由（1）可知，即，可得
又，解得，当且仅当时，等号成立；
所以，
由可得，
所以面积的最大值为.
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理及正弦和角公式求出，，从而得到，，得到为等腰直角三角形；
（2）由平面向量基本定理得到，求出，，利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】（1）证明：因为，且，
所以，即①，
由正弦定理及，得②，
由①②得，因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即为等腰直角三角形.
（2）如图，不妨设，所以，
因为，且为中线，

则，
所以，
，
，
所以，
，
所以.
25．(1)；
(2)
【分析】(1)利用向量坐标运算，二倍角公式和辅助角公式表示出，即可求出其最大值以及相应自变量的取值；
(2)结合(1)中的，求出，再利用余弦定理和基本不等式变形即可求出结果.
【详解】（1）由题知，
，
所以当，
即时，最大，且最大值为；
（2）由(1)知，，
则，
解得或，
所以中，，又，
则，
整理得，
则，
当且仅当时，等号成立，
整理可得，
又在中，所以，
即的取值范围为.