09等式与不等式-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份09等式与不等式-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若实数满足成等差数列，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．已知集合，，则
A．B．C．D．
5．已知实数、满足不等式组，若的最大值为，则实数（ ）
A．B．C．D．
6．不等式的解集是
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为
A．4B．8C．12D．16
8．已知，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
9．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为（ ）

A．2B．4C．6D．8
10．已知点，，点的坐标，满足，则的最小值为
A．B．C．D．
二、填空题
11．设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，且有，则的最小值为 ．
12．已知x，，且，则的最大值为 ．
13．已知集合，，则 .
14．正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值是 .
15．已知，，且，则的最小值为 .
16．为了给市民提供健身场所，某市因地制宜计划在-一个圆形的区域内修建一个如图所示的内接四边形健身步道，其中A，B，C，D为休息点，AC，BD为便捷通道，现已知，，则的最小值为 ；若，则的最小值为 .
17．已知命题:关于的函数有两个零点；命题: ，则：①命题成立的充分必要条件是 ；②当命题“”为真时，的取值范围是 .
18．已知直线（其中a，b是正实数）过点（1，1），则的最小值是 ..
19．关于的不等式的解集为，则 ..
20．已知，则的最小值为 ．
三、解答题
21．已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
22．已知，其中.
(1)求在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
23．在中，内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，点在边上，且，求面积的最大值．
24．在中，角，，的对边分别是，，，且已知的外接圆半径为，已知________，在以面下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：
①，②，③．
问题：（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．
25．已知正实数a，b满足.
（1）证明：；
（2）证明：.
参考答案：
1．B
【分析】首先求解集合，再根据交集的定义，即可求解.
【详解】，
解得：，即，又，
所以.
故选：B
2．A
【分析】根据不等式恒成立，分离参数，可得，对恒成立，构造函数，结合函数的单调性求得其最小值，即可求得答案.
【详解】由题意知函数，对都有成立，
即对恒成立，
即，对恒成立，
设，由于在上单调递减，在上单调递增，
则，则，当且仅当时等号成立，
故，即实数的取值范围为，
故选：A
3．D
【解析】由题意可知，再根据基本不等式求的取值范围.
【详解】由题意可知 ，
，，
，
，
，
等号成立的条件是.
故选：D
【点睛】本题考查根据基本不等式求的取值范围，意在考查转化与化归的思想，和基本不等式的简单应用，属于基础题型.
4．C
【解析】首先求集合，再求.
【详解】
.
故选：C
【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.
5．D
【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义，作出直线，可知直线经过直线与直线的交点，再将点的坐标代入直线的方程，即可求出实数的值.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域表示：
由得，平移直线，
的最大值是，作出直线，设直线与直线交于，联立，解得，则点，
由图形可知，直线过点，则有，解得.
检验：当时，如图所示，平移直线，可知，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，合乎题意.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
6．A
【分析】先通分，然后将分式不等式转化为整式不等式求解集.
【详解】因为，所以，所以，
如图：
由数轴穿根法可解得：，
故选A.
【点睛】本题考查分式不等式的解法，难度一般.解分式不等式时，首先通分，然后将分式转化为整式，最后如果是一元二次不等式可借助一元二次不等式的解法完成求解，如果是更高次的情况可以利用因式分解然后使用数轴穿根法求解集.
7．B
【分析】作出不等式组表示的平面区域，确定其形状结构，然后计算出面积．
【详解】画出不等式组表示的区域如图阴影部分，结合图形可知不等式组表示的区域和，它们是两个斜边长为的全等等腰直角三角形（直线与垂直且易得，，，，），则其面积，
故选：B．
8．C
【分析】配凑出定值后，由基本不等式求最小值．
【详解】,当且仅当时等号成立，此时，最小值为4，
故选：C.
9．B
【分析】画出不等式组表示的区域，两两联立求出各个交点的坐标，然后利用三角形面积公式即可
【详解】解：
画出不等式组表示的区域如图，
由可得，可得，可得，
所以，点到直线的距离为，
则的面积为，
故选：B．
10．A
【分析】利用平面向量的数量积的坐标运算法则将化为与距离有关的最值问题，进而利用线性规划方法求得最小值.
【详解】画出出可行域如图所示:
，
表示点到可行域内的点的距离的平方减去8的最小值，
到的最小距离即为到直线的距离，
则的最小值为
故选:A.
【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，线性规划思想方法求距离最值问题，属中档题.
11．3
【分析】由函数的奇偶性和单调性求出关系，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以关于轴对称，
又因为在单调递减，所以在单调递增，
因为，且有，
所以，
则，
，
当且仅当时取等号，
所以.
故答案为：3
12．/
【分析】设，代入，由判别式不小于0可得.
【详解】设，
由得，
，解得，
时，，
故答案为：.
13．
【分析】利用三角不等式及一元二次不等式的解法，结合交集的定义即可求解.
【详解】由，得，所以，
由，得，所以，
所以，
故答案为：
14．16
【分析】由基本不等式得，由此可求得m的范围得其最大值．
【详解】解：因为正数，，
所以，当且仅当，即时取等号，
又不等式对任意实数恒成立，所以，则实数的最大值是16.
故答案为：．
15．/
【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】由题设知：，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故答案为：
16． 4
【分析】设，，则，在中利用余弦定理结合基本不等式可求得，当时，可得为该四边形外接圆的直径，然后利用正弦定理可求得答案
【详解】设，，则，在中，
（当且仅当时取等），，
四边形内接于圆，且，则，
则为该四边形外接圆的直径，
由，所以.
故答案为：，4
17． （0，3）
【分析】若函数有两个零点，即函数与直线有两个交点，作出的图像，分析可得的取值范围， 解可得的取值范围，即可得命题为真时的取值范围，若命题“”为真，即、同时为真，然后可得答案．
【详解】根据题意，若函数有两个零点，即函数与直线有两个交点，
，其图像如图：
若函数与直线有两个交点，
必有，即的取值范围为，
故命题成立的充分必要条件是；
根据题意，对于，变形可得，解可得，
所以若命题为真，则有，，
若命题“”为真，即、同时为真，
则有，则有，
即的取值范围为，．
故答案为：；.
18．9
【分析】直线过点（1，1），可得，再由基本不等式“1”的代换求解即可求出答案.
【详解】直线过点（1，1），
所以，即，
因为，所以
，
当且仅当，即时取等，
所以的最小值是.
故答案为：9.
19．
【分析】由题意可得为方程的根，再由根与系数的关系求解即可.
【详解】由的不等式的解集为，
可得为方程的根，
所以，解得：，
所以.
故答案为：.
20．9
【分析】根据对数的运算性质可得x＋2y＝xy，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】因为，
所以x＋2y＝xy，x＞0，y＞0，所以，
则，
当且仅当且，即x＝y＝3时取等号．
故答案为：9
21．（1）5；（2）或.
【分析】（1）先求解出集合，再结合，即可求解的值；
（2）根据，列出实数满足的条件，即可求解实数的取值范围.
【详解】（1）由题知，，，
所以由，得，解得.
（2），
可得或，所以或.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义可得；
（2）先取特殊值得不等式恒成立的必要条件，再证明充分性.利用与的符号一致性，利用放缩法将不等式转化为三次不等式的证明，再利用主元变换，以为主元转化为二次不等式的证明即可.
【详解】（1）
故，又，
故在处的切线方程为：，
即：；
（2）一方面，由在上恒成立，
则当，有，解得.
另一方面，我们证明当，在上恒成立.
注意到当时，
由，，，
则有恒成立，
即恒成立，
故只需证，其中，
只需证，
将上式左边看作关于的函数，令，
下面证明：当，时，.
①若，则成立；
②若，此时，.
又为关于的开口向下的二次函数，，故，
③若，此时为关于的开口向上的二次函数，对称轴为
（i）若对称轴，又，解得，
此时在单调递减，所以，
又由②知，
所以
（ii）若对称轴，又，解得，
则有，注意到此时对应的判别式
故此时恒成立.
综上，当，时，.
故的取值范围为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数问题求解的常见方法有分离参数转化为最值，或者直接分类讨论探求最值，但当问题中具有区间端点（或定义域内一点）的函数值恰好为不等式恒成立时的临界值这一显著特征时，常采用必要性探路的方法，通过参数范围的界定，再证明充分性即可.在充分性的证明中，往往以参数为主元的函数更易求解最值，从而使问题的处理更简捷.
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及二倍角公式化简即可得，即可知；
（2）结合（1）中结论，由余弦定理可得，利用不等式即可求出，再由向量比例关系可知，即可求出结果.
【详解】（1）根据，由正弦定理可得，
由二倍角公式可得，又因为，
所以，即可得，
即，所以，即；
（2）如下图所示：

由（1）可知，即，可得
又，解得，当且仅当时，等号成立；
所以，
由可得，
所以面积的最大值为.
24．（1）；（2）.
【分析】（1）若选①，运用正弦定理边化角，再将B+C转化为A，最后用两角和差公式展开即可求得；
若选②，运用正弦定理边化角，再将C转化为A+B，最后用两角和差公式展开即可求得；
若选③，运用正弦定理边化角，再将A转化为B+C，用两角和差公式展开，化简后再结合辅助角公式即可求得；
（2）由（1）可以算出，用正弦定理求出b，再用余弦定理，结合基本不等式即可求得.
【详解】解：（1）选条件①：
由题知，
∴，
∴，
∴，又，则，
∴，又，∴．
选条件②：
由题知，
∴，又，
∴，
∴，又，则，
∴，又，∴．
选条件③：
由题知，
∴，
∴，又，则，
∴，
∴，又，
∴，∴．
（2）由正弦定理知，∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（当且仅当时取等号），
∴的最大值为．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由已知得，再利用基本不等式和不等式，即可证出；
（2）用分析法，结合，分析出要证原不等式只需证，因为，所以原不等式得证．
【详解】证明：（1）由已知，
均值不等式，
由均值不等式，
结合，
可知.
（2）欲证，
只需证，
只需证，
即证，
结合，
只需证，
即，
即证，
因为，从而原不等式得证.
【点睛】本题主要考查对数的运算性质，以及利用基本不等式证明不等式，是中档题．