12平面解析几何（圆锥曲线）-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，

这是一份12平面解析几何（圆锥曲线）-重庆市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设抛物线的准线与轴的交点为N，O为坐标原点，经过O、N两点的圆C与直线相切，圆C与抛物线E的另一个交点为P，若，则（ ）
A．2或B．2或4C．或D．2或
2．已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
3．设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（ ）
A．2B．C．D．
4．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
5．几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点是椭圆族上任意一点，如图所示，椭圆族T的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点；③过定点，则的最大值是（ ）
A．5B．7C．9D．11
6．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
7．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．已知斜率为2的直线与双曲线 的左､右两支分别交于两点，且､，都垂直于轴(其中､分别为双曲线的左､右焦点)，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
9．抛物线的焦点为坐标为
A．B．C．D．
10．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，其焦点到渐近线的距离为，过点的直线与双曲线交于，两点.若是的中点，则直线的斜率为（ ）
A．2B．4C．6D．8
12．已知双曲线C：1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，双曲线C与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点为P，∠PF1F2的角平分线与PF2交于点Q，若4|PQ|＝3|F2Q|，则双曲线C的离心率为（ ）
A．6+2B．3C．6﹣2D．4
13．已知抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线分别交抛物线C与M，N两点，若，则
A．1B．C．D．
二、填空题
14．已知，分别是双曲线C：（）的左、右焦点，过作一直线交C于M，N两点，若，且的周长为1．则C的焦距为 ．
15．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则点到双曲线的渐近线的距离为 ..
16．如图，过抛物线的焦点作直线交C于A，B两点，过A，B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1，B1，已知与的面积分别为9和1，则的面积为 .
17．已知为双曲线与圆的一个公共点，分别为双曲线的左右焦点，设，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为 ．
19．如图所示，过抛物线的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线作垂线，垂足为，已知四边形的面积分别为15和7，则的面积为 .
三、解答题
20．已知，B，C是抛物线E：上的三点，且直线与直线的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若直线，均与圆M：（）相切，且直线被圆M截得的线段长为，求r的值．
21．已知以原点O为中心的椭圆标准方程的离心率为，焦点F为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过焦点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求的面积．
22．已知曲线过点和．
(1)求曲线C的方程，并指出曲线类型；
(2)若直线2x－y－2＝0与曲线C的两个交点为A，B，求△OAB的面积（其中O是坐标原点）．
23．已知为椭圆C：1(a>b>0)的一个焦点，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P(m，0)为椭圆C的长轴上一动点，过P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证|PA|2+|PB|2为定值.
24．已知点，是坐标轴上两点，动点满足直线与的斜率之积为（其中为常数，且）.记的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）过点斜率为的直线与曲线交于点，点在曲线上，且，若，求的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】由题意知圆C的圆心在直线上，由正弦定理得，解得，利用相交弦性质用表示圆的坐标，再由直线与圆相切点到直线的距离公式建立关于的等量关系，求解可得.
【详解】由抛物线方程，得准线方程为，
则，
设圆心，半径为，，
在中，由正弦定理得，
，.
又圆与直线相切，
当时，
则圆心到直线距离，解得；
当时，
则圆心到直线距离.
即，或（舍），
综上或.
故选：A.
2．B
【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可.
【详解】
由题意得，等于点到准线的距离，
过点作垂直准线于点，则，
设动点，则，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
，
所以当四点共线时，最小，.
故选：B.
3．C
【分析】由双曲线定义和余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由题意得，
由双曲线定义可得，，，
由余弦定理得，
即，解得，
又，解得，
故.

故选：C
4．A
【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，，进而在焦点三角形中运用余弦定理即可得，再结合均值不等式即可求解.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，得，，
所 以，，
设，，
则在△中由余弦定理，得，
化简得：，即，
又，，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆与双曲线的定义得到，，从而利用余弦定理构造得关于的齐次方程，由此得解.
5．A
【分析】根据已知条件及椭圆的定义，结合两点间的距离的公式即可求解.
【详解】如图所示
设点所在椭圆的另一焦点为，则
.
故选：A.
6．B
【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.
【详解】设双曲线的半焦距为， 离心率为，
由，则，，
因为是的平分线，
所以,
又因为，
所以，
所以，解得，即，
所以双曲线的离心率取值范围为.
故选：B
7．D
【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从而进一步解出答案.
【详解】依题意得, 以线段 为直径的圆的方程为 ,
双曲线 的一条渐近线的方程为 .
由 以及
解得 或
不妨取 , 则 .
因为 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以该双曲线的离心率 .
故选：D.
8．D
【解析】由题意可知两点关于原点对称，即直线的方程是，根据条件可知两点的横坐标分别是，代入椭圆方程和直线方程，求纵坐标，建立方程求双曲线的离心率.
【详解】直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且､，都垂直于轴，
根据双曲线的的对称性，设点， ，
则 ，即
根据双曲线的对称性可知，直线过原点，直线的方程是，
，
，整理得，两边同时除以，
可得： ，
解得.
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的离心率，意在考查转化与化归和数形结合的思想，和计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.
9．B
【解析】抛物线化简为标准方程，再求焦点坐标.
【详解】抛物线化简为标准方程
抛物线的焦点坐标是.
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，属于简单题型.
10．A
【解析】把中的线段根据已知条件和双曲线的定义用表示出来，然后通过建立等式，变形后可求得离心率．
【详解】解：，，得，，故，，
，
，
，
，，或（舍）．
故选：A.
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于的等式．本题结合已知条件分析，在中利用可建立关系式．
11．C
【解析】根据离心率与焦点到渐近线的距离可求得双曲线的方程,再根据点差法求解斜率即可.
【详解】由题,双曲线中,又焦点到渐近线的距离,且,解得.故双曲线.
设则,两式相减得
.又中点,
故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了双曲线的方程求解以及点差法求解中点弦的斜率,属于中等题型.
12．A
【分析】由题意画出图形，设，则，则有，求解，再由解得，然后结合隐含条件求解双曲线的离心率.
【详解】解：如图，
设，则，
，，则，
所以，，即，解得.
又，解得，
，整理得，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查三角形内角平分线定理的应用，考查计算能力，是中档题.
13．D
【分析】设A()，B(),P(0,-2),可得，同时可得，，联立直线与方程可得，，，代入可得k的值.
【详解】解：设A()，B(),P(0,-2),
A、B、P三点共线，可得，整理可得…①，
由抛物线关于y轴对称及焦半径公式可得：
，,
,可得…②,
由①②可得，即:…③
由直线的方程：y=kx-2，抛物线，可得，
，,代入③式可得，
，可得，
故选D.
【点睛】本题直线与抛物线的综合，联立直线与方程灵活利用抛物线的性质是解题的关键.
14．/
【分析】设，求出直线的方程，并与双曲线方程联立，利用弦长公式求出，结合双曲线定义求出三角形周长即得.
【详解】设双曲线的焦距为，点，由双曲线方程知，
显然直线的倾斜角为，斜率为，方程为，
由消去y并整理得，，
则，，，
显然，则的周长，解得，
所以双曲线C的焦距.
故答案为：
【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用并结合解三角形知识求解.
15．1
【分析】根据抛物线的准线方程可求得，则可求得双曲线方程，继而求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】因为抛物线的准线方程为，
根据题意可得，
即双曲线中，
则，所以，
双曲线方程为，
其渐近线方程为，
若取一条即，
则点到直线的距离为：
，
故答案为：1.
16．6
【分析】直线代入抛物线方程，利用韦达定理，计算，相乘化简可得，由三角形面积公式可得.
【详解】设直线，
代入抛物线方程，消元可得，
设，则，
，
，
，
，
.
故答案为：
17．
【详解】由题知，又，
所以，
两式做比值可得：，
而，
又，，
故，.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
18．/
【分析】设，由求得，然后求得点坐标代入双曲线方程可求得离心率．
【详解】，，设，则，，由题设可得，解之得，
所以，由可得代入双曲线方程可得，
即，
故答案为：．
19．6
【详解】首先证，
然后有题意有
两式作积得
解这个方程得
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意首先根据求得抛物线方程，然后由得，结合斜率公式即可得解.
（2）由题意得若，则，，再结合点到直线距离公式以及圆的弦长公式即可列方程求解.
【详解】（1）由题意是抛物线E：上的点，所以，解得，
所以抛物线方程为，不妨设，
由题意，所以，即，
所以直线的斜率为.
（2）
由题意设过点且斜率为的直线与圆M：（）相切，
所以，所以，
而直线，的斜率均是方程的根，
令，则，，
又直线的方程为，
所以圆心到直线的距离为，
又直线被圆M截得的线段长为，
所以，即，
又因为，所以解得.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是发现若，则，，由此即可顺利得解.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆离心率以及焦点坐标，列方程求解，即可得答案.
（2）写出直线方程，联立直线和椭圆方程，可得根与系数的关系式，求出弦长以及原点到直线AB的距离，即可求得答案.
【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知：，
所以椭圆方程为.
（2）由题意知直线AB的方程为，设，
联立，，
则，
故
，
点O到直线AB的距离为：，
故的面积为.
22．(1)曲线的方程为，表示椭圆
(2)
【分析】（1）点代入解方程组即可得出结果.
（2）利用弦长公式计算即可.
【详解】（1）曲线C过点和，
则解得
∴曲线C的方程为，表示椭圆．
（2）由得，．
设，，则．
又O到直线2x－y－2＝0的距离为，
∴△OAB的面积为．
23．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题得到关于的方程组，解方程组即得解；
（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理，过作轴交轴于点，过作轴交轴于点，再利用直角三角函数得解.
【详解】（1）由题意：，1，a2=b2+c2，解得：，
故椭圆C的方程为；
（2）证明：设直线l的方程：，与椭圆联立，消去整理得：，，
如图：过作轴交轴于点，过作轴交轴于点，

，
所以，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.
24．（1），曲线表示去掉左右顶点，焦点在轴上的椭圆 （2）
【解析】（1）直接设点，由斜率之积列式得轨迹方程，根据参数范围得曲线，注意范围．
（2）的方程为，与椭圆方程联立求出点坐标，同理可得点坐标，由得出的关系．由可得的范围．
【详解】解（1）设点，，，，整理即，得，因直线与的斜率存在，故
为所求轨迹方程；
因为，曲线表示去掉左右顶点，焦点在轴上的椭圆
（2）的方程为，联立并整理得解得或，
的方程为，同理可得，把带入得
因为，所因，，整理得
而，则，．
，，，，
，，得，，，得，解得.
【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，考查直线与椭圆相交问题．本题在直线与椭圆相交时，直接由直线与椭圆方程联立解方程组得交点坐标，计算弦长．考查了学生的运算求解能力．