03指数和指数函数-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份03指数和指数函数-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·北京延庆·高一统考期末）的值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．（2022上·北京大兴·高一统考期末）已知，则 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·北京房山·高一统考期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·北京通州·高一统考期末）若且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·北京石景山·高一统考期末）若则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·北京石景山·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2024上·北京石景山·高一统考期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·北京平谷·高一统考期末）已知实数满足，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022上·北京·高一北京师大附中校考期末）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知函数，给出下列四个结论：
①在定义域上单调递增；
②存在最大值；
③不等式的解集是；
④的图象关于点对称．
其中所有正确结论的序号是 .
12．（2024上·北京大兴·高一统考期末）已知函数对任意的，都有成立.给出下列结论：
①；②；③；④.
其中所有正确结论的序号是 .
13．（2024上·北京大兴·高一统考期末）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 .
14．（2024上·北京石景山·高一统考期末）写出一个值域为的偶函数 .
15．（2023上·北京房山·高一统考期末） ．
16．（2021上·北京房山·高一统考期末） ； ．
17．（2024上·北京西城·高一统考期末）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.
①所有偶函数都具有性质；
②具有性质；
③若，则一定存在正实数，使得具有性质；
④已知，若函数具有性质，则.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
18．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知函数是奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
(3)解关于t的不等式.
19．（2024上·北京密云·高一统考期末）已知函数.
(1)若为奇函数，
（ⅰ）求的值，并说明理由；
（ⅱ）比较与的大小；（结论不要求证明）
(2)若，使得，求的取值范围.
20．（2024上·北京通州·高一统考期末）函数，.
(1)若为偶函数，求的值及函数的最小值；
(2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围.
21．（2024上·北京房山·高一统考期末）若，对，都有成立，则称函数在上具有性质.
(1)分别判断函数与在区间上是否具有性质，如果具有性质，写出的取值范围；
(2)若函数在上具有性质，求实数的取值范围.
22．（2024上·北京丰台·高一统考期末）已知函数.
(1)画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间；
(2)解不等式；
(3)若恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据根式的运算求得正确答案.
【详解】.
故选：C
2．B
【分析】将根式转化为分数指数幂，然后根据幂的运算性质即可求解.
【详解】解：因为，所以，
故选：B.
3．A
【分析】利用分数指数幂与根式的互化可得结果.
【详解】利用分数指数幂与根式的互化可得.
故选：A.
4．C
【分析】依据不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可．
【详解】因为且，
对于A选项：当时不成立；
对于B选项：单调递减，所以不成立；
对于C选项：在单调递增，成立；
对于D选项：举反例，不成立．
故选：C．
5．C
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，以及特例法，结合指数函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，例如，此时满足，但，所以A错误；
对于B中，当时，，所以B不正确；
对于C中，由指数函数为单调递增函数，因为，可得，所以C正确；
对于D中，例如，此时满足，但，所以D不正确.
故选：C.
6．D
【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.
【详解】A.因为，则，则，故A错误；
B. 因为，所以，故B错误；
C.在R上单调递增，当时，，故C错误；
D.因为，所以和都大于0，则，
当时，即时等号成立，所以“=”不能取到，所以，故D正确.
故选：D
7．A
【分析】首先求解的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】由，得，
因为，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8．D
【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.
【详解】函数在R上单调递减，A不是；
函数在上单调递减，在上单调递增，则在上不单调，B不是；
函数的R上单调递减，C不是；
函数在R上单调递增，在上单调递增，D是.
故选：D
9．C
【分析】ABD错误的选项可以取特殊值进行判断，C选项可以利用指数函数的性质判断.
【详解】对于A选项，例如，则，不满足，A选项错误；
对于B选项，例如，，，不满足，B选项错误；
对于C选项，由可知，，结合指数函数在上递增可知，，C选项正确；
对于D选项，例如，，，不满足，D选项错误.
故选：C
10．B
【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.
【详解】不等式，
∴，即．
∴或，
解得：或，
∴解集是．
故选：B．
11．①③④
【分析】根据给定的函数，分析单调性判断①；利用指数函数值域判断②；解指数不等式判断③；探讨函数图象的对称性判断④即得.
【详解】函数的定义域为R，函数在R上单调递减，因此在R上单调递增，①正确；
由于，则，，函数不存在最大值，②错误；
不等式，即，整理得，解得，的解集是，③正确；
由于，因此的图象关于点对称，④正确，
所以所有正确结论的序号是①③④.
故答案为：①③④
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
12．①③④
【分析】令可判断①，取特殊函数利用特例可判断②，根据所给函数性质推出可得即可判断③，利用均值不等式及③可判断④.
【详解】令，则，故①正确；
由可得，
用换可得，
令，则满足，而，
，则不恒相等，故②错误；
由，用代替可得，
又由对任意实数成立知，所以，故③正确；
由③知，，所以，
用替换可得，，
所以，当且仅当时等号成立，故④正确.
故答案为：①③④
13．2
【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程，求出.
【详解】当时，单调递增，故，解得或（舍去），
当时，单调递减，故，无解，
综上，等于2.
故答案为：2
14．（答案不唯一）
【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解的解析式.
【详解】设，
函数的定义域为，且，即函数为偶函数，
，所以，即函数的值域为,
所以满足条件的一个函数.
故答案为：
15．/2.5
【分析】根据根式与指数幂的运算律化简运算即得.
【详解】原式.
故答案为：.
16．
【解析】（1）根据分数指数幂、根式的计算可得答案；
（2）根据分数指数幂的运算计算可得答案.
【详解】（1）；
（2）.
故答案为：①6；②.
17．①②④
【分析】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④.
【详解】对于①，设函数是定义在上的偶函数，
对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对；
对于②，对任意的，，
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
又因为，故对任意的，，
所以，具有性质；
对于③，因为，
且函数的值域为，所以，不存在实数，使得，③错；
对于④，，
因为，易知，因为，则，则，
所以，，即，所以，，
要使得恒成立，则，
又因为，则，
所以，若函数具有性质，则，④对.
故答案为：①②④.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
18．(1)；
(2)单调递减，理由见解析；
(3).
【分析】（1）利用奇函数的定义求出a的值.
（2）利用指数函数的单调性判断在上的单调性即得.
（3）由奇函数的性质及函数的单调性解不等式即得.
【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得，
因此，解得，
所以实数a的值为.
（2）由（1）知，函数在上单调递减.
函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
函数在上单调递减，所以函数在上单调递减.
（3）因为函数是上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减，
显然当时，，当时，，
不等式，
于是或或，
解，得，解，得无解，解，得，
所以不等式的解集为.
【点睛】易错点睛：借助函数单调性求解在定义域上不单调的函数不等式，必须分成在同一单调区间内和在不同单调区间内两大类求解.
19．(1)（ⅰ），理由见详解；（ⅱ）.
(2)
【分析】（1）（ⅰ）由奇函数的定义即可得到结果. （ⅱ）分别计算出与的值进行比较即可.
（2）换元令，，，使得利用分离参数法可转化为，只需即可.
【详解】（1）（ⅰ），理由如下：
因为为奇函数，所以，即，化简得，所以.
（ⅱ）,故.
（2），，使得
令，所以，可转化为
只需即可，
令，图象开口向下，对称轴
当时，，所以.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数计算，利用换元法，结合基本不等式进行最小值的求解即可.
（2）由于函数图像恒在轴上方，所以函数，进行参数分离，得到恒成立，结合换元法进行讨论即可.
【详解】（1）因为函数为偶函数.
所以恒成立，即恒成立.
即恒成立，解得，
所以，令，
，当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值为.
（2）当时，函数的图象恒在轴上方，
故当时恒成立.
即恒成立.
令，令，.
因为，对称轴为，
故当即时，取最大值4，故.
21．(1)详见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意结合调性与最值分析判断；
（2）令，由题意可得对，都有.方法1：利用参变分类结合恒成立问题分析求解；方法2：先取特值，求得，进而根据二次函数分析求解；方法3：分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，结合恒成立问题分析求解.
【详解】（1）因为在上是单调递增的函数，在上是单调递减的函数，
则在上是单调递增的函数，可得，
任意，当时，，
所以函数在区间上不具有性质.
因为在区间上单调递减，
由可得，则，所以，
所以，对，，
即函数在区间上具有性质，且的取值范围是.
（2）因为函数在上具有性质，
即对，都有，
且，
令，
可得对，都有，
方法1：，都有，
设，，可得，，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递增.
则，.可得，
所以的取值范围为.
方法2：对，都有，
可得，解得，
若，函数的对称轴为，
则在上单调递减，
所以，即，
所以的取值范围为.
方法3：函数的对称轴为，
以对称轴与区间的关系分，，三种情况.
（i）当时，，解得；
（ⅱ）当时，，不合题意，舍去；
（ⅲ）当时，，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围为.
22．(1)图象见解析，值域为，单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数，即可画出对应的图象，从而求解.
（2）利用指数函数的单调性可求解不等式，从而求解
（3）由恒成立，即得，结合（1）中结论即可求解.
【详解】（1）由题意知函数，从而可画出图象如下：
当时，且单调递减，当时，且单调递增，
所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由，即，
可得，即或.
所以该不等式的解集为.
（3）由恒成立，即，
又，所以，解得.
所以的取值范围为.