01集合与常用逻辑用语-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新

这是一份01集合与常用逻辑用语-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·北京昌平·高三统考期末）设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（ ）
A．充分必要条件B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知，，则“”是“”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2024上·北京石景山·高三统考期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024上·北京东城·高三统考期末）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．（2024上·北京大兴·高三统考期末）能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数的值依次为 .
14．（2023·北京顺义·高三统考期末）若存在使得，则m可取的一个值为 ．
15．（2023上·北京丰台·高三统考期末）已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是 ．
16．（2022上·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期末）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为 ．
17．（2022上·北京朝阳·高三统考期末）已知圆：，直线：，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“ ”．
18．（2019上·北京丰台·高三统考期末）能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为 ．
三、解答题
19．（2024上·北京顺义·高三统考期末）给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．
(1)分别判断集合与是否具有性质；
(2)若集合具有性质，求的值；
(3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．
20．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
(1)若，写出及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，求证：且.
21．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．
(1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；
(2)若，证明：；
(3)设，若，求的最小值．
22．（2024上·北京大兴·高三统考期末）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值；
(2)当时，求的零点个数；
(3)证明：是为单调函数的充分而不必要条件.
参考答案：
1．A
【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.
【详解】当，且时，
，充分性满足；
当时，
，当，时，
是可以大于零的，
即当时，可能有，，必要性不满足，
故“，且”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
2．C
【分析】根据给定条件，可得函数是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.
【详解】由函数满足，得函数是R上的偶函数，而在上单调递减，
因此，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
3．B
【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可.
【详解】若，则，
作出函数图象，
，
由图象可知成立，但显然不为减函数；
若为减函数，又，则，
所以“”是“为减函数”的必要不充分条件.
故选：B
4．C
【分析】计算出集合后由交集定义运算可得.
【详解】，故.
故选：C.
5．B
【分析】根据基本不等式可知当时，；反之不成立，即可得出结论.
【详解】若“”，可知当时，不成立，即可知充分性不成立；
若，可得，即可得，即必要性成立，
因此可得“”是“”的必要不充分条件；
故选：B
6．D
【分析】先求集合，再根据集合间的关系和运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
所以之间没有包含关系，且，故ABC错误，D正确；
故选：D.
7．B
【分析】由题意首项得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.
【详解】由题意两直线均有斜率，所以，
若取，则有，但；
若，又，
所以，而，
综上所述，“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
8．A
【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.
【详解】由题意集合，，，则，.
故选：A.
9．A
【分析】根据直线和圆的位置关系、充分不必要条件等知识确定正确答案.
【详解】圆，即，
所以圆心为，半径为，
若直线与圆有两个不同交点，
则，，
符合题意的只有.
故选：A
10．A
【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论.
【详解】由题意，在中，对称轴，
∴当时，，解得：，
∴“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
11．D
【分析】应用集合的并运算求集合.
【详解】由题得，所以.
故选：D
12．C
【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，结合逻辑用语判断即可.
【详解】，，
函数在单调递增，函数在上单调递减，
由得，得，满足充分性；
由得，得，满足必要性.
“”是“”的充要条件.
故选：C.
13．（答案不唯一）
【分析】利用列举法，写出满足题意的结果即可.
【详解】当时，满足，但是，.
故答案为：（答案不唯一）
14．（内的任一值均可）
【分析】根据题意可知：函数有零点，则，解之即可，在所得到的范围内任取一个值即可求解.
【详解】因为存在使得，
也即函数有零点，则有，解得：，
所以可取内的任意一个值，取，
故答案为：.（内的任一值均可）
15．
【分析】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.
【详解】集合表示直线上的点，
集合表示圆上的点，圆心为，半径，
为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即，
解得.
故答案为：
16．
【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式的符号做出判断即可求出实数的取值范围
【详解】由题意可知，
①若，即或，
当时，不等式为，显然不成立；当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意；
②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件；
③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上，
若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根，
即，解得，
即满足条件时；
综合①②③可得，实数的取值范围为
故答案为：
17．3
【分析】先分析圆C上恰有3个点到直线l的距离都是1，再利用充分条件的定义即可求解.
【详解】若圆C与直线相切，或相离都不可能有3个点到直线的距离为1，
故圆C与直线相交，即圆心C到直线的距离，
要使圆C上恰有3个点到直线l的距离是1，需，即
圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1，则
根据充分条件的定义知使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“”
故答案为：3
18．（答案不唯一）
【分析】要使“设是任意非零实数．若，则”是假命题，只需满足 且 即可，
【详解】要使“设是任意非零实数．若，则”是假命题，
只需满足 且 即可，
可取，
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】此题考查不等式性质的应用，考查假命题的判断方法，属于基础题.
19．(1)集合不具有性质，集合具有性质
(2)
(3)，，或
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【详解】（1）集合中的，，
所以集合不具有性质，
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；
（2）若集合具有性质，记，则，
令，则，从而必有，
不妨设，则，且，
令，，则，且，且，
以下分类讨论：
1）当时，若，此时，满足性质；
若，舍；若，无解；
2）当时，则，注意且，可知无解；
经检验符合题意，
综上；
（3）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，
不妨设，其中，，
根据题意，
且，从而或，
1）当时，，
并且，，
由上可得，并且，
综上可知；
2）当时，同理可得，
据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，，或.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
20．(1)，，，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据集合新定义求出前几项判断即可；
（2）通过集合新定义结合等差数列性质求出，然后利用反证法结合数列的单调性求得，利用等差数列定义求解通项公式即可；
（3）先利用集合性质得数列是递增数列，然后利用反证法结合数列的单调性证明，由集合新定义及集合相等证明．
【详解】（1）因为，所以，
则，所以，，
又，所以，，所以；
（2）由题可知，所以，所以.
若，则，，所以，，与是等差数列矛盾.
所以.设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.
假设存在使得.设，由得.
由得，，与是等差数列矛盾.
所以对任意都有.所以数列是等差数列，.
（3）因为对于，，所以.
所以，即数列是递增数列.
先证明.假设，设正整数.
由于，故存在正整数使得，所以.
因为是各项均为正整数的递增数列，所以.所以，.
所以，.
又因为数列是递增数列，所以，矛盾.所以.
再证明.由题可知.
设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，
所以存在正整数，使得.令.
若，则，即，所以.所以，所以.
若，则，所以.
所以，所以.
因为，所以.所以.
综上，且.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
21．(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)8
【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；
（2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明；
（3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
【详解】（1）31是，1024不是，理由如下：
由题意可知，
当时，有，
显然若时，，
而，
故31是可表数，1024不是可表数；
（2）由题意可知若，即，
设，即使得，
所以，且成立，故，
所以若，则，
即中的元素个数不能超过中的元素，
对于确定的，中最多有个元素，
所以；
（3）由题意可设，使，
又，
所以，即，
而，
即当时，取时，为可表数，
因为，
由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，
使，
所以
，
令，则有，
设，
由的任意性，对任意的，
都有，
又因为，所以对于任意的，为可表数，
综上，可知的最小值为，其中满足，
又当时，，
所以的最小值为.
【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
22．(1)
(2)3个
(3)证明见解析
【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；
（2）结合函数的单调性与零点的存在性定理去研究函数零点个数问题即可得；
（3）当时去推导为单调函数可证明充分性，找出不在该范围内的亦能使为单调函数即可证明不必要条件.
【详解】（1），
则，即；
（2）当时，，则，即，
又，
故为奇函数，
，，
令，即，解得，
令，即或，
故在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
由，则，又，
故在上必有一零点，
由为奇函数，则在上亦有一零点，
故当时，的零点个数为3个；
（3），，
由，故，
，即
当时，，即，
故，即此时在上单调递减，
故是为单调函数的充分条件；
当时， ，即，
故，即此时在上单调递增，
故不是为单调函数的必要条件；
综上所述，是为单调函数的充分而不必要条件.
【点睛】关键点睛：本题（2）问中讨论函数零点问题，需要注意结合函数的单调性与零点的存在性定理去研究.