04函数的应用-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份04函数的应用-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京房山·高三统考期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023上·北京朝阳·高三统考期末）2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
4．（2023上·北京朝阳·高三统考期末）函数的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2023上·北京海淀·高三统考期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·北京西城·高三统考期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时B．6小时C．7小时D．8小时
7．（2023上·北京石景山·高三统考期末）中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（ ）
A．8B．7C．6D．5
8．（2022上·北京密云·高三统考期末）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022上·北京通州·高三统考期末）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下：
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：
①，②．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（ ）
（参考数据：，）
A．6minB．6.5minC．7minD．7.5min
10．（2022·北京·高三统考期末）已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2022上·北京昌平·高三统考期末）若函数 恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022上·北京丰台·高三统考期末）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．②③④
二、填空题
13．（2024上·北京西城·高三统考期末）设，函数给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③当时，直线与曲线恰有3个交点；
④存在正数及点和，使.
其中所有正确结论的序号是 .
14．（2023上·北京丰台·高三统考期末）已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论：
①函数有零点；
②a的取值范围是；
③；
④．
其中所有正确结论的序号是 ．
15．（2022上·北京大兴·高三统考期末）已知函数若，则函数的值域为 ；若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 .
16．（2022上·北京房山·高三统考期末）设函数 给出下列四个结论：
①函数的值域是；
②对，方程都有3个实数根；
③，使得；
④若互不相等的实数满足，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
17．（2021上·北京·高三统考期末）已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是 .
18．（2021上·北京·高三统考期末）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：
记为月日冰激凌的供应量，为月日冰激凌的销售量，其中.用销售指数,来评价从月日开始连续天的冰激凌的销售情况. 当时，表示月日的日销售指数.给出下列四个结论： ① 在月日至日这天中，最小，最大；② 在月日至日这天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；③；④ 如果月日至日冰激凌每天的供应量和销售量与月日至日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意，都有.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
19．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)判断极值点的个数，并说明理由．
20．（2022上·北京门头沟·高三统考期末）已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)证明：在区间存在唯一极大值点；
(3)证明：当，．
21．（2023上·北京·高三北京育才学校校考期中）已知函数，是常数.
(1)求函数的图象在点处的切线的方程；
(2)证明函数的图象在直线的下方；
(3)讨论函数零点的个数.
22．（2023上·北京通州·高三统考期中）已知函数，.
(1)当时，若，求的值域
(2)若有两个零点，分别为，，且，求的取值范围.
放置时间/min
0
1
2
3
4
5
茶水温度/℃
85.00
79.00
73.60
68.74
64.37
60.43
月日
月日
月日
月日
月日
月日
供应量
销售量
参考答案：
1．A
【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案.
【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．
再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．
故选：A.
2．A
【分析】令，的，设，转化为在区间上只有一个解，结合二次函数的性质，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，
显然m为0时，函数在区间内有且只有一个零点，满足；
令，可得，即，
设，
要使得函数在区间上只有一个解，
则满足或，解得或，
即函数在区间上只有一个零点时，可得，
所以“”是“在区间内有且仅有一个零点”的充分不必要条件.
故选：A.
3．C
【分析】由题及图象关系可知，在中，当一定时，越大，则越大，
当一定时，越小，则越大，代入对应的，逐项判断选项即可得到答案.
【详解】由题及图象关系可知，在中，当一定时，越大，则越大，
当一定时，越小，则越大，
对于A，当时，，故A错误.
对于B，当时，，故B错误.
对于C，当时，，故C正确.
对于D，因为，令,， ，故D错误.
故选：C.
4．C
【分析】分别求出和时，的零点个数即可得出答案.
【详解】当时，令，
则，解得：（舍去）或，
当时，令，解得：，
所以的零点个数为2.
故选：C.
5．D
【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案.
【详解】定义域为，在定义域上连续且单调递增，
其中，，，
，，
由零点存在性定理可得：包含零点的区间为.
故选：D
6．C
【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.
【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
即当小于等于200时,适宜开展户外活动,
即,
因为,
所以当时,
只需,
解得:,
当时,
只需,
解得:,
综上: 适宜开展户外活动的时间段为,
共计7个小时.
故选:C
7．B
【分析】根据题意代入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得.
【详解】由题意降至时口感最佳，即，带入函数关系式即得，
即，两边同时取对数，得，
所以.
故选：B
8．A
【分析】先根据题意解方程，解出，在和端点值比较大小，由函数单调性和函数连续得到结果.
【详解】将代入，解得：，其中单调递减，而，，而在上单调递减，所以，结合单调性可知，即，而，其中为连续函数，故记忆率所在区间为.
故选：A
9．B
【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模型①为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得和的值，进而将最佳口感温度代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得的值，即可做出判断.
【详解】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为6,5.4,4.86,4.37,3.94,
呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型①为更符合实际的模型.
由时，，代入，得,解得.
∴.
由时,可得，解得,
∴,
由,得,∴,
,
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为6.5min,
故选:B.
10．A
【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义和零点的存在性定理分析判断即可.
【详解】解：因为函数在区间上连续不断，由，
可知中可能有两正一负、两负一正、一正一负一零和，
所以函数在区间上存在零点；
由在区间上有零点且连续不断，不能推出“”，如函数在区间上单调递增且时，则，，
则，
所以 “”是“在区间上存在零点”的充分不必要条件.
故选：A.
11．D
【分析】分两种情况，第一种是与在各自定义域内各有一个零点；第二种是在定义域内没有零点，在定义域内有两个零点.
【详解】因为单调递增，先减后增，故①当时，有一个零点，当时，有一个零点，则要求，解得：；
②当时，没有零点，当时，有两个零点，则要求或，解得：；综上：实数的取值范围是
故选：D
12．B
【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.
【详解】由函数，
令，则
函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，
即，，故③正确；
对于①，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期，由，则，，
又，所以的最小正周期可能是，故②正确；
对于④，，，又，
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
【点睛】方法点睛：函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴，由求对称中心.
(4)由求增区间；由求减区间.
13．①②④
【分析】对于①，分成，两种情况讨论在区间上单调性；对于②，结合函数的单调性求函数的最值；对于③，当时，结合函数与的单调性得出此时无交点，当时，设，利用特殊值，得出交点个数进行判断；对于④，令，，进行验证.
【详解】对于①，当时，在上单调递减，此时.
当时，在区间上单调递减显然成立；
当时，当时，在单调递减，此时，所以在区间上单调递减，故①成立；
对于②，如图，当时，
当时，在单调递减，在单调递增，此时的最大值为；
当时，在上单调递减，此时的最大值为，
所以存在最大值，最大值为，故②正确；

对于③，当时，在R上单调递减，当时，，
当时，在单调递增，此时的最大值为，
所以直线与曲线没有交点；
当时，，设，
由，解得，
当时，，如图，此时直线与曲线恰有2个交点，故③错误；
对于④，当时，当时，，
当时，；
当时，，，
如图，取，时，
，
所以存在正数及点和使成立，故④正确.

故答案为：①②④.
【点睛】求分段函数的最值方法：根据每一段函数的单调性求出各自的最值或者范围，再进行对比求出最终的最值.
14．①④
【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，解出，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得，即④正确.
【详解】由已知可得，定义域为，.
对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确；
对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解，
则应满足，解得，故②错误；
对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误；
对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减.
由③知，所以，故④正确.
故答案为：①④.
15．
【分析】利用函数的单调性可求值域，利用函数零点与方程的解的关系即可求解.
【详解】（i）若，当时，

当时，是单调递增函数，
所以，
所以的值域为：.
（ii）由题可知，当时，
，
解得：，由此可知有一个解，
则当时，必定有两个解，
即必有两个解，
此时只需满足
解得：.
故答案为：；.
16．①③④
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.
【详解】因为
其图象如下图所示：
对于①，由图可知，其值域是，故①正确；
对于②，由图可知，如时，方程只有2个实数根，故②不正确；
对于③，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数满足，当满足时，由图可知，即，
当时，即，解得，
当时，即，解得，
从而可知，
所以，故④正确.
故答案为：①③④
17．
【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.
【详解】，，，
，，
当时，，，
由得，由得，所以在上递减，在上递增，
在处取得最小值，，
，
令，则，
当时，取得最小值，当时，取得最大值0，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导函数研究函数的最值，令，将转化为关于t的二次函数，根据二次函数求最值是解题的关键，考查学生分析试题能力与转化化归能力，属于较难题.
18．①④
【解析】分别计算，，即可判断①；，但是月日月日销售量都为，故②不正确；分别计算、即可判断③，月日至日冰激凌每天的供应量和销售量与月日至日每天的供应量和销售量对应相等，计算，，即可判断④，进而可得正确答案.
【详解】由题意可得：，
，，
，，
，，
所以在月日至日这天中，最小，最大；故①正确；
，但是月日月日销售量都为，故②不正确；
因为，
所以
，
所以，故③不正确；
因为月日至日冰激凌每天的供应量和销售量与月日至日每天的供应量和销售量
所以
，
因为，
所以
，
因为，，，，
所以
，
同理可证：，，，，
故④正确；
故答案为：①④
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解销售指数
的意义，再检验①②③④.
19．(1)
(2)答案见解析
(3)；理由见解析
【分析】（1）求出导数，然后求出，从而求解.
（2）由（1）知，然后求出导数，从而可求解.
（3）根据（2）中分类讨论的情况，然后求出相应的解，从而求出单调区间，从而求解.
【详解】（1）由题意知，定义域为，所以，
所以直线的斜率，，
所以切线方程为，即.
（2）由（1）知，所以，
令，即，解得或，
当，，
当，，
当，，
所以在，单调递增，在单调递减.
（3）个极值点，理由如下：
由（2）知当时，在区间上单调递增，
，，
所以存在唯一，使；
当时，在区间上单调递减，
，，
所以存在唯一，使；
当时，，，所以
所以在区间无零点；
综上，当，，
当，，
当，，
所以当时，取到极小值；当时，取到极大值；
故有个极值点.
20．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）对函数进行求导，求出在处的导函数值和函数值，即可求出答案.
（2）对函数进行求导，由零点存在性定理即可得以证明.
（3）由（2）知函数单调性，求出，即可得以证明
【详解】（1）
，，得切线方程为
（2）由（1）得，时，
时，单调递减，，，
由零点存在定理可得，在存在唯一一个零点，
且当，，
所以，在区间存在唯一极大值点．
（3）由（2）可知，在区间上单调递增，在单调递减，
，，所以，当时，
当时，．
当，．
21．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出的方程；
（2）两函数作差构造新函数，利用导数求最值，可证结论；
（3）把函数零点的个数看作两个函数的公共点的个数，结合图象讨论可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，，，
所以函数在点处的切线的方程为，
即.
（2）证明：令，其中；
，令得.
当时，，为增函数；当时，，为减函数；
所以有最大值，即时，，
所以函数的图象在直线的下方.
（3）令，即，
由（1）知，当时，直线与曲线相切于点，
此时只有一个零点；
作图象，直线恒过.
当时，直线与的图象有且只有一个交点，即只有一个零点；
当时，直线与的图象有两个交点，即有两个零点；
当时，直线与的图象没有交点，即无零点.
综上可知，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；
当时，有两个零点.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得在上单调递减，在上单调递增，从而可求解；
（2）根据题意可得，进而可求解.
【详解】（1）当时，的对称轴为，且开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，
所以当，的值为；
（2）的两个零点分别为，且，
，即，解得或，
故的取值范围为.