07平面向量-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版）

这是一份07平面向量-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京通州·高三统考期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知向量，，且与的夹角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·北京东城·高三统考期末）已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024上·北京石景山·高三统考期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024上·北京大兴·高三统考期末）设向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2021上·北京海淀·高三统考期末）已知向量，，满足，，且，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
12．（2023上·北京通州·高三统考期末）已知向量，满足，，则等于（ ）
A．B．13C．D．29
二、填空题
13．（2024上·北京丰台·高三统考期末）矩形中，，，且分为的中点，则 ．
14．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知点，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 ；点到直线的距离为 .
15．（2024上·北京大兴·高三统考期末）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆，外框是以为中心，边长为2的正六边形，则到线段的距离为 ；若是圆上的动点，则的取值范围是 .

16．（2023上·北京海淀·高三统考期末）设为原点，双曲线的右焦点为，点在的右支上.则的渐近线方程是 ；的取值范围是 .
17．（2022上·北京密云·高三统考期末）已知直线过定点，圆，若直线与圆相切于点，则的值为 ；使得直线与圆相交的的取值可以是 （写出一个即可）．
18．（2022上·北京门头沟·高三统考期末）在梯形中，，，，，是的中点，则=
三、解答题
19．（2015上·北京石景山·高三统考期末）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．
20．（2015上·北京朝阳·高三统考期末）已知平面向量，，，，函数.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若f(α2)=22，求的值.
21．（2023上·北京海淀·高三统考期中）某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）

(1)求两点之间的距离；
(2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由．
22．（2020上·北京东城·高三北京市第六十六中学校考期中）已知向量，.
（1）若，，求；
（2）设，求的单调减区间；
参考答案：
1．B
【分析】由图可求得，根据向量积即可知.
【详解】如图所示：当点与点重合时，此时最长，
易知，且相似比为，
，在中，由余弦定理得：
，
所以，此时满足，所以，
所以，此时，
由图可知，，
则.
故选：B.
2．A
【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.
【详解】当，且时，
，充分性满足；
当时，
，当，时，
是可以大于零的，
即当时，可能有，，必要性不满足，
故“，且”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
3．C
【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得.
【详解】如下图所示：
在直线上取一点，使得，
所以，当时，取得最小值为，即；
又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形，
建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又可得为的中点，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
则，
令，由可得，
所以，，
由二次函数在上单调递增可得，.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果.
4．B
【分析】先表示出，然后根据求解出的值.
【详解】因为，，
所以，所以，
解得或（舍去），
故选：B.
5．C
【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解.
【详解】已知向量,,所以，
因为与共线，所以，解得：.
故选：C
6．D
【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.
【详解】设，因点的坐标为，所以，
则，
设，即，
依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围，
即圆心到的距离，解得，
所以的取值范围为，
故选：D.
7．B
【分析】根据向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】非零向量，，满足，且，
对于A，不恒为，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，不恒为，故C错误；
对于D，不恒为，故D错误.
故选：B.
8．B
【分析】求出，利用即可得出的值.
【详解】由题意，，
∴，
∵，
∴，解得：，
故选：B.
9．D
【分析】求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用圆上点到定点距离的最值求法可得结果.
【详解】设，易知，
由可得，整理得，
即动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
又，可得的最大值为到圆心的距离再加上半径，
即.
故选：D
10．D
【分析】根据向量的数乘公式和模的公式代入即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以.
故选：D
11．C
【分析】求出的模，利用即可求出的值.
【详解】由题意，
，，且，
∴，
，
解得：，
故选：C.
12．C
【分析】先求得向量，，进而求得.
【详解】依题意，，
两式相加得，
所以，
所以.
故选：C
13．/-1.75
【分析】以为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示求解即可.
【详解】以为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，
，
所以，
.
故答案为：.
14． /
【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意，所以，
而直线的表达式为，即所以点到直线的距离为.
故答案为：，.
15． 1
【分析】根据正六边形的性质即可求解空1，利用向量的坐标运算即可由三角函数的性质求解.
【详解】取中点为，
由于正六边形的边长为2，所以,
因此到线段的距离为,
建立如图所示的直角坐标系，则,
，
，
由于,
故，
故答案为：1；

16．
【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线的渐近线方程；求出的取值范围，可得出，结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】在双曲线中，，，，则，
所以，双曲线的渐近线方程为，
直线的倾斜角为，由题意可知，则，
所以，.
故答案为：；.
17． 16 4（答案不唯一）
【分析】利用数量积的定义及圆的性质可得，然后利用切线长公式即得.
【详解】由直线，可知定点，
圆，得，圆心，半径为1，
∴，又直线与圆相切于点，
则AP⊥CP,,
∴，
当在直线上时，直线与圆相交，此时，即，
故答案为：16；4（答案不唯一）.
18．14
【分析】把看成基底，将用基底表示，然后利用数量积运算律求解即可
【详解】因为是的中点，
所以，
因为，，，
所以
，
故答案为：14
19．（1）；（2）
【分析】（1）由题意得关于的方程，解方程求出，进而可求方程；
（2）设，联立直线和椭圆，由直线恒过点椭圆的左顶点结合韦达定理求出坐标，由已知可得，根据向量数量积的坐标表示可得关于k的不等式，求解即可.
【详解】（1）由题意知，解得，则椭圆的标准方程为：．
（2）设，联立得：，，
又直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，①，又②，
可得③，由①②③，，，
由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即．，
则，即，整理得，解得：．
20．，当时，；
当cs(α−π4)=−32时，
【详解】试题分析：（Ⅰ）因为，，，
所以，
=sinx(sinx+csx)+csx(sinx−csx).
则=.
则当时，即时，
函数为减函数，.
所以函数的单调递减区间是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又f(α2)=22，
则2sin(2x−π4)=22，.
因为，所以cs(α−π4)=±32.
.
所以当时，；
当cs(α−π4)=−32时， .
考点：本题考查二倍角公式，降幂扩角公式，用已知角表示未知角
点评：将原函数化成，才能求单调区间，将用表示，再展开求值
21．(1)
(2)直线与直线不垂直，理由详见解析.
【分析】（1）先求得，利用余弦定理求得.
（2）先求得，然后根据向量法进行判断.
【详解】（1）依题意，，，，
所以，
，所以，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得.

（2）在三角形中，由余弦定理得，
，
在三角形中，由正弦定理得，
，
直线与直线不垂直，理由如下：
,
所以直线与直线不垂直.
22．（1）或；（2）.
【解析】（1）由可得，解得，由的取值范围即可解出；
（2）化简得，令即可求出单调递减区间.
【详解】解：（1）若，则，
即，，
又∵，∴，
∴或，或；
（2），
令，
得，
∴的单调减区间是.