12平面解析几何（圆锥曲线）-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，

这是一份12平面解析几何（圆锥曲线）-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版，，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ）
A．B．4C．5D．
4．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·北京大兴·高三统考期末）已知定点和拋物线是抛物线的焦点，是抛物线上的点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2023上·北京·高三校考期末）正方体棱长为，是棱的中点， 是正方形及其内部的点构成的集合．设集合，则集合表示的区域面积是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·北京·高三校考期末）已知双曲线过抛物线的焦点，虚轴端点是圆与坐标轴的交点，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023上·北京通州·高三统考期末）设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（ ）
A．最大值，最小值B．最大值，最小值1
C．最大值2，最小值D．最大值2，最小值1
10．（2023上·北京朝阳·高三统考期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
11．（2023上·北京东城·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为4，则的焦距为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023上·北京海淀·高三统考期末）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，点为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于两点.若，则圆的方程为 ；若，则 .
14．（2024上·北京丰台·高三统考期末）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线过原点；
②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形；
③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线围成区域的面积大于．
则所有正确结论的序号是 ．
15．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 .
16．（2024上·北京西城·高三统考期末）已知抛物线：.①则的准线方程为 ；②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 .
17．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为 .
18．（2024上·北京东城·高三统考期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 .
三、解答题
19．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知椭圆的短轴长为2，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的上､下顶点分别为点，过点的直线与椭圆交于不同两点，且，直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上.
20．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知椭圆．
(1)求椭圆的离心率和焦点坐标；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
21．（2024上·北京石景山·高三统考期末）已知椭圆，离心率为，短轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过坐标原点且不与坐标轴重合的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：为直角三角形．
22．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，原点到直线的距离为，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点.判断点是否为线段的中点，说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定最小时，点的位置，进而求出的关系即得.
【详解】双曲线C：的渐近线为，由对称性不妨令点在第二象限，
由双曲线定义得，当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号，
因此的最小值为的最小值与的和，显然当与渐近线垂直时，
取得最小值，而平行于渐近线，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即，
则双曲线的渐近线方程为，显然选项ABD不满足，C满足，
所以双曲线C的方程可能是.
故选：C
2．A
【分析】根据双曲线方程，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．
【详解】由已知可得双曲线的焦点在轴上时，，，
所以
，由，解得.
故选：A.
3．D
【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出.
【详解】设，，
又因为，所以，
故.
故选：D.
4．A
【分析】由题意可设双曲线标准方程为，进而确定的值，求得，即得答案.
【详解】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c，
则由双曲线的左､右焦点分别为，可知，
由，知，故，
故双曲线的标准方程为，
故选：A
5．D
【分析】先设，分别表示出和即可.
【详解】抛物线的焦点为，
点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为，
点在上，设为，若，则，
且，则.
故选：D.
6．C
【分析】根据抛物线定义，数形结合即可求出的最小值.
【详解】
由题拋物线是抛物线的焦点，
则，准线方程为，
是抛物线上的点，过作垂直准线于，
过作垂直准线于交抛物线于，
则由抛物线定义知，
由图像可知,
即的最小值的最小值为，
由，准线方程为，
所以.
故选：C
7．A
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，，根据可得出点的轨迹，进而可求得集合的面积.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、，设点，其中，，
由可得，可得，
所以，点的轨迹是底面内以点为圆心，半径为的扇形（不包括圆弧），
故集合表示的区域的面积为.
故选：A.
8．D
【分析】求出抛物线的焦点坐标，以及圆与轴的交点坐标，可得出、的值，由此可得出该双曲线渐近线的方程.
【详解】抛物线的焦点坐标为，由于双曲线过点，则，
圆与轴的交点坐标为，由题意可知，
所以，该双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
9．B
【分析】由题设明确点到原点距离为，结合曲线方程，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案.
【详解】由题意知点到原点距离为 ，
由于点是曲线上任意一点，可得，
当且仅当时取等号，即曲线上的点到原点距离最小，最小值为1；
又因为,所以，
当且仅当时取等号，
故，即，当且仅当时取等号，
即点到原点距离的最大值为，
故选：B
10．D
【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即，从而求出离心率.
【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率，
所以双曲线离心率.
故选：D
11．C
【分析】由双曲线的渐近线方程为，所以.再结合题意可得到，解出，即可求得的焦距.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，所以，
因为，的面积为4，
所以，解得，，
所以，即的焦距为.
故选：C.
12．B
【分析】由条件求出椭圆的长半轴长和短半轴长，由此可求，再求离心率，再求圆柱侧面展开图的底边边长，由此可得正弦型函数的周期.
【详解】设截口椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距长为，
因为圆柱的底面直径为2，所以，故，因为椭圆截面与底面的夹角为，所以，所以，所以，所以，所以，
观察图4知，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以.
故选：B.
13．
【分析】先根据点的纵坐标代入抛物线方程求出其横坐标，再求得圆心和半径即得圆的方程；根据可判断得到正三角形，利用其高长与边长的关系列方程解得.
【详解】
如图，当时，把代入中，解得：，因点在第一象限,故得，
依题意，圆心为，圆的半径为,故圆的方程为：.
当时，依题，，即为正三角形，因 ，则，
由解得：或.
因当时，,此时，以点为圆心，为半径的圆与准线不相交，不合题意舍去，
而显然满足题意.故.
故答案为：；.
14．①③④
【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.
【详解】设，则，到直线l的距离，
由题意可知，，
，，
当时，，
则；
当时，，则，，.
可作图如下：
由图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；
曲线经过4个点，没有其它整点，故③正确；
由，，，
四边形的面积，，
，
多边形的面积
曲线W围成区域的面积大于，故④正确.
故答案为：①③④.
15．或
【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得.
【详解】设点，依题意，，即，整理得，
所以的轨迹方程是或.
故答案为：或
16．
【分析】根据抛物线方程求得准线方程，利用以及抛物线的焦半径公式求得点的横坐标.
【详解】抛物线，，所以准线方程为，焦点，
设，则，
由于轴，平分，所以，
所以，即，，
所以的横坐标为.
故答案为：；
17．2
【分析】由双曲线方程可得其渐近线方程,从而得关于的方程,再结合离心率公式求解即可.
【详解】由题意得，易知双曲线，即的渐近线方程为得
所以该双曲线的离心率
故答案为：.
18．
【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离.
【详解】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，，
即，，所以双曲线的渐近线方程为；
当时，，
设，则，所以.
故答案为：；.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由短轴长及离心率和之间的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立得到韦达定理，求出直线，再求两条直线的交点的坐标；
【详解】（1）因为椭圆的短轴长为2，
所以.所以.
因为离心率为，所以.
所以，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）①若直线的斜率不存在，不符合题意.
②若直线的斜率存在，设为，所以直线的方程为.
联立方程组消去，化简得.
所以，得，或.
因为，且，
所以.
直线的方程为，即.
直线的方程为，即.
因为直线与直线交于点，
所以点的纵坐标.
所以
.
所以点在直线上.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.
20．(1)离心率为，焦点坐标分别为，
(2)
【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；
（2）根据直线与椭圆相切求出坐标并得到，
法一：设直线的方程为，由韦达定理求出证得结论．
法二：记，由点差法求可证得结论．
【详解】（1）由题意得，解得．
所以椭圆E的离心率为，焦点坐标分别为，．
（2）由消去y并整理得： ①
其判别式得，化简为．
此时方程①可化为，解得， (由条件知异号) ．
记，则，所以，即点．
所以OP的斜率．
法一：因为，所以可设直线的方程为．
由消去y并整理得：．
当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，
设，则．
因为C是A关于原点O的对称点，所以点C的坐标为．
所以直线BC的斜率
．
所以．
法二：记，
因为点C与点A关于原点对称，所以．
因为，所以直线AB的斜率为，所以．
因为点在椭圆上，所以，．
两式相减得：．
所以，即，所以．
所以．
【点睛】方法点睛：将P视为与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得，设中点为M，由中点弦定理得，由得，故.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可计算出、、，即可得方程；
（2）设出直线的斜率、、的坐标，由轴，可得点坐标，从而得到直线的方程，联立曲线，即可得、两点的横坐标的关系，作出的中点，由，从而得到，可得，即可得证.
【详解】（1）由题意知，解得 ,
所以椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，交椭圆于，，
由题意知，所以，
直线的方程为，
联立 ，消去得 ，
，
所以 ，设的中点为，
则，
，
所以，
因为在中，，所以．
所以，即，
所以为直角三角形.
22．(1)
(2)是，理由见解析
【分析】（1）利用点到直线距离和三角形面积构造方程组可解得，可得椭圆的方程为；
（2）设出直线的方程为，与椭圆方程联立并设，，求出直线和的方程，解得和，利用韦达定理化简可证明，即可得出结论.
【详解】（1）由题可知.
因为的面积为，所以.
因为点到直线的距离为，所以.
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）点为线段的中点，理由如下：
由题知直线的斜率存在，如下图所示：
设过点的直线的方程为，即.
联立，整理得.
由，得.
设，，
则.
直线的方程为，
令，得点的纵坐标.
直线的方程为，
令，得点的纵坐标.
要证点为线段的中点，只需证明，即.
因为
，
即，
所以点为线段的中点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.