11平面解析几何（直线与方程、圆与方程）-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（

这是一份11平面解析几何（直线与方程、圆与方程）-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·北京昌平·高三统考期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知直线，直线，且，则（ ）
A．1B．C．4D．
5．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知直线与圆相切，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·北京朝阳·高三统考期末）过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则k的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
7．（2023上·北京东城·高三统考期末）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·北京西城·高三统考期末）已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
9．（2023上·北京丰台·高三统考期末）已知抛物线过点，焦点为F．若点满足，则m的值为（ ）
A．2B．C．2或D．或
10．（2023上·北京石景山·高三统考期末）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024上·北京通州·高三统考期末）现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知直线与圆相切，则实数（ ）
A．或B．或C．或D．或
13．（2024上·北京西城·高三统考期末）已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空题
14．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，点为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于两点.若，则圆的方程为 ；若，则 .
15．（2023上·北京东城·高三北京市第一六六中学校考期末）已知正方体的棱长为，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的是
①若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆
②若三棱柱的表面积为定值，则点的轨迹为椭圆
③若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线
④若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
16．（2023·北京顺义·高三统考期末）已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为 ．
17．（2023上·北京丰台·高三统考期末）已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是 ．
18．（2022上·北京丰台·高三统考期末）已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，
给出下列四个结论：
①的最小值是4；
②点的轨迹是一个圆；
③若点，点，则存在点，使得；
④△面积的最大值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
19．（2023上·北京朝阳·高三统考期末）抛物线的准线l的方程为 ．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则（O是坐标原点）的最大值为 ．
20．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知点，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 ；点到直线的距离为 .
三、解答题
21．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，原点到直线的距离为，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点.判断点是否为线段的中点，说明理由.
22．（2022上·北京朝阳·高三统考期末）已知曲线：（，，且）．
(1)若曲线是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
(2)当时，过点作斜率为的直线l交曲线于点A，B（A，B异于顶点），交直线于P．过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求线段CD中点M的坐标．
23．（2022上·北京石景山·高三统考期末）已知椭圆，为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆在轴上的两个顶点为，点满足，直线交椭圆于两点，且，求此时的大小.
24．（2021上·北京昌平·高三校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，与圆相交于两点，求的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值作答.
【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为正方体棱长为1，，
所以，
不妨设，
所以，
而，
所以点到直线的投影数量的绝对值为，
所以点到直线距离，
等号成立当且仅当，即点到直线距离的最小值为.
故选：C.
2．D
【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.
【详解】设，因点的坐标为，所以，
则，
设，即，
依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围，
即圆心到的距离，解得，
所以的取值范围为，
故选：D.
3．B
【分析】由题意首项得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.
【详解】由题意两直线均有斜率，所以，
若取，则有，但；
若，又，
所以，而，
综上所述，“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
4．B
【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可.
【详解】由题意直线，直线，且，所以，解得.
故选：B.
5．B
【分析】根据题意可得圆心到的距离等于半径1，即可解得的值．
【详解】直线即，
由已知直线与圆相切可得，
圆的圆心到的距离等于半径1，
即，解得，
故选：B．
6．A
【分析】根据题意，设为直线上任意一点，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值.
【详解】设为直线上任意一点
因为过直线上任意一点，总存在直线与圆相切
所以点在圆外或圆上，
即直线与圆相离或相切，
则，即，解得，
故的最大值为.
故选：A.
7．B
【分析】将点代入直线方程中得出点为圆上的动点，
结合图像分析即可求出直线的斜率的取值范围.
【详解】因为点在直线上，
所以，
即，
则表示圆心为，半径为1的圆上的点，
如图：

由图可知当直线与圆相切时，直线的斜率得到最值，
设，
由圆与直线相切，故有圆心到直线的距离为半径1，
即，
解得：，
由图分析得：直线的斜率的取值范围是.
故选：B.
8．B
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性,取其中一个焦点坐标和渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可.
【详解】解:由题知双曲线,
即,
故焦点坐标为,
渐近线方程为:,
即,
由双曲线的对称性,
不妨取焦点到渐近线的距离,
故焦点到其渐近线的距离为.
故选:B
9．C
【分析】由抛物线过点，可求出，即可表示出，再由，即可求出m的值.
【详解】因为抛物线过点，
所以，
所以抛物线，则，
又因为，所以，解得：或.
故选：C.
10．A
【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】由，圆心坐标为，
由，所以直线的斜率为，
因此直线的垂直垂直平分线的斜率为，
所以直线的垂直垂直平分线方程为：，
故选：A
11．B
【分析】由题意可知，的最大值为这8个圆的直径之和，然后利用等比数列求和公式可求得结果
【详解】由题意可知，这12个圆的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，
所以，
的最大值为这8个圆的直径之和，
由等比数列前项和公式可得，的最大值为.
故选：B.
12．D
【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数的值.
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，则，即，解得或.
故选：D.
13．C
【分析】根据直线和圆的位置关系求得正确答案.
【详解】由于，所以是单位圆上的点，
由于，其中，所以是直线上的点，
画出图象如下图所示，由图可知，的最小值为.
故选：C

14．
【分析】先根据点的纵坐标代入抛物线方程求出其横坐标，再求得圆心和半径即得圆的方程；根据可判断得到正三角形，利用其高长与边长的关系列方程解得.
【详解】
如图，当时，把代入中，解得：，因点在第一象限,故得，
依题意，圆心为，圆的半径为,故圆的方程为：.
当时，依题，，即为正三角形，因 ，则，
由解得：或.
因当时，,此时，以点为圆心，为半径的圆与准线不相交，不合题意舍去，
而显然满足题意.故.
故答案为：；.
15．①③④
【分析】根据圆的定义判断①，根据椭圆的定义判断②，根据抛物线定义判断③，根据圆锥曲线定义判断④.
【详解】由题知，如图，建立空间直角坐标系，
设，则，，
为与平面所成的角，
所以，
化简得，所以的轨迹为圆，①正确；
易知当三棱柱的侧面积为定值时，点的轨迹为椭圆，
表面积比侧面积增加了上下底面，
而底面积是变化的，所以②错；
对于③，因为点到直线与相等，
所以点的轨迹为点到点与直线距离相等的轨迹，
即抛物线，所以③对；
对于④，因为、，
所以，于是满足条件的运动成圆锥面，
其与平面的交线为双曲线，所以④对.
故答案为：①③④
16．
【分析】根据垂径定理得到，根据两直线垂直时斜率的关系得到，
然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可.
【详解】可整理为，
所以圆心为，根据垂径定理可得，，
所以，直线AB的方程为整理得.
故答案为:
17．
【分析】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.
【详解】集合表示直线上的点，
集合表示圆上的点，圆心为，半径，
为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即，
解得.
故答案为：
18．①②④
【分析】①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；④当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△面积最大，求出最大值.
【详解】点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确；
设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确；
为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误；
当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.
19． ；
【分析】由定义直接求准线方程；由导数法求出抛物线过点A的切线方程，即可求得切线倾斜角，此时取最大值.
【详解】抛物线即的准线l的方程为；
l与y轴交于点A，则有，则当AP与抛物线相切时最大，
设切点为，，∴切线方程为，切线过点A，则，解得.
∴切线斜率为，即倾斜角为或，故的最大值为.
故答案为：；.
20． /
【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式以及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意，所以，
而直线的表达式为，即所以点到直线的距离为.
故答案为：，.
21．(1)
(2)是，理由见解析
【分析】（1）利用点到直线距离和三角形面积构造方程组可解得，可得椭圆的方程为；
（2）设出直线的方程为，与椭圆方程联立并设，，求出直线和的方程，解得和，利用韦达定理化简可证明，即可得出结论.
【详解】（1）由题可知.
因为的面积为，所以.
因为点到直线的距离为，所以.
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）点为线段的中点，理由如下：
由题知直线的斜率存在，如下图所示：
设过点的直线的方程为，即.
联立，整理得.
由，得.
设，，
则.
直线的方程为，
令，得点的纵坐标.
直线的方程为，
令，得点的纵坐标.
要证点为线段的中点，只需证明，即.
因为
，
即，
所以点为线段的中点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的标准性质列关于m的不等式组，解之得解.
（2）设直线l方程为，求出坐标，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，求出直线，的方程，进而得到坐标，利用中点坐标公式即可得解.
所以直线
【详解】（1）由题意可得，解得
所以实数m的取值范围为
（2）当时，曲线为椭圆：，设直线l方程为
联立，整理得
设，则，
直线l交直线于，则
所以直线的方程为，
令，解得，则
所以直线的方程为，
令，解得，则
所以线段CD中点M的坐标为
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率可求解；
（2）分析可知直线斜率存在，设为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理弦长公式可知直线的方程为，再利用，知点在以原点为圆心，半径为的圆上，利用点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系，进而求解.
【详解】（1）因为右焦点为，所以，
因为离心率，所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线垂直于轴时，（舍）.
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
由整理得，
设，由题意恒成立，
所以，，
利用弦长公式知
，解得，
所以直线的方程为.
因为为椭圆在轴上的两个顶点，不妨设，
因为，设，
所以，即，
即点在以原点为圆心，半径为的圆上.
因为原点到直线的距离，
所以直线与圆相切，
所以.
24．（1）；（2）．
【分析】（1）由题设焦点坐标、在圆上，结合椭圆参数关系求、，写出椭圆方程即可；
（2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求、，进而可得关于k的表达式，利用圆中的弦长与半径、圆心到直线的距离为之间的关系得到关于k的表达式，即可求的范围.
【详解】（1）由题设知：，解得，，
椭圆的标准方程为；
（2）设、，联立并消去得，
∴，，则，
设圆的圆心到直线的距离为，则．
，即，
，
的取值范围为．