河南省许昌市长葛市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份河南省许昌市长葛市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知m、n是方程的两个实数根，则．．的值为（ ）
A．2B．C．D．1
3．已知反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．该函数的图象过点B．该函数的图象分布在第二、四象限
C．当时，的值随的增大而增大D．当时，的值随的增大而减小
4．如图，是的直径，C是上一点，连接，，过点C作的切线交的延长线于点P．则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
6．一不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中黄球约有（ ）个．
A．6B．9C．12D．15
7．如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在反比例函数的图象上，轴于点H，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点为位似中心，点A，B的坐标分别为．当点的纵坐标是时，与的面积比是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，若将抛物线向上平移个单位长度后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 .．
12．已知二次函数的图象开口向下，则k的取值范围是 ．
13．无色酚酞溶液是一种常用的酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水（中性），白醋溶液（酸性），食用碱溶液（碱性），柠檬水溶液（酸性），火碱溶液（碱性），任取一瓶液体少许，将酚酞试剂滴入后呈现红色的概率是 ．
14．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．线段与弧交于点E，则图中的弧长为 （结果保留）
15．如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点．
(1)求m、k的值．
(2)C是反比例函数图象上一点，连接，当时，求直线的解析式及的面积．
18．2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸、琮琮、莲莲”．我校举办了“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟将一些吉祥物“宸宸、琮琮、莲莲”作为竞赛奖品．主持人在3张完全相同的卡片上分别写上“”后放入一个盒子里．
(1)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“宸宸”的概率为 ；
(2)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回，再随机抽取一张卡片．请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母相同”的概率．
19．如图，与相切于点B，过点A作与相交于点C，点D，是的直径，连接．
(1)求证：；
(2)当，时，的半径____________．
20．某商店经销一种书包，已知这种书包的成本价为每个40元．市场调查发现，这种书包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种书包每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数表达式；
(2)这种书包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种书包的销售单价不高于58元，该商店销售这种书包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？
21．如图，在中，于点D，E是的中点，连接并延长交于点F．，．
(1)求的长及的正切值．
(2)若，则_________．
22．如图，正方形边长为3，M是边一点（不与A，B重合），连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接；与边交于点E．
(1)当平分时，求证：．
(2)当时，求的长．
(3)交于点F，若，则_______（用含n的代数式表示）．
23．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于，两根之积等于．熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，求出的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：、当时，，∴该函数的图象过点，故该选项正确，不合题意；
、∵，∴该函数的图象分布在第二、四象限，故该选项正确，不合题意；
、∵，∴在每一支曲线上，随的增大而增大，故该选项正确，不合题意；
、∵，∴在每一支曲线上，随的增大而增大，故该选项错误，符合题意；
故选：．
4．A
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理，连接、，根据是的直径，求出，根据等腰三角形性质求出，根据为的切线，求出，即可得出答案．
【详解】解：连接、，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段的对应线段成比例是解题的关键；
由得，代入数值求解即可．
【详解】解：，
，
，，，
，
解得：，
故选：C
6．D
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，由概率结果还原事件．解决问题的关键是熟练掌握频率估计概率，利用概率公式构建方程，求出黄球个数．
设黄球有x个，根据口袋中装有10个红球，摸到红球的频率为0.4，根据用频率估计概率得到，解方程即可．
【详解】设黄球有x个，
∵大量重复实验，摸到红球的频率为0.4，
∴摸到红球的概率的估计值为0.4，
∴，
解得，．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴口袋中黄球约有15个．
故选：D．
7．C
【分析】当铅球落地时，高度，代入，求值即可，本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是：函数取值与实际问题之间的关系．
【详解】当时，，
解得：（舍），，
该同学掷实心球的成绩是，
故选：．
8．B
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．利用锐角三角函数的定义求解，为的对边比斜边，求出即可．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
轴于，
，，
，
，
故选：B
9．C
【分析】本题考查的是坐标系中位似变换的性质，根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：点B的坐标分别为．点的纵坐标是，
与位似比为，
与的面积比是，
故选：C
10．B
【分析】本题考查二次函数图象的平移、二次函数与x轴的交点问题，解答的关键是掌握二次函数的性质，以及与方程、不等式的关系．先根据函数图象平移规则“上加下减求得平移后的函数解析式，根据二次函数的性质，结合函数的图象，进而可列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的表达式为，
∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴要使在范围内与x轴只有一个交点，只需时对应图象上的点在x轴下方，时对应函数图象上的点在x轴上或x轴上方，如图，

∴，解得，
故选：B．
11．1
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴∆=0，
∴4﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为1．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象开口向下，可得二次项系数小于0，据此即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
13．/
【分析】本题主要考查了简单概率的计算．熟练掌握概率定义，利用概率公式求概率，是解决问题的关键．根据5瓶溶液中有2瓶溶液的碱性，计算任取一瓶液体少许，将酚酞试剂滴入后呈现红色的概率是．
【详解】∵5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水（中性），白醋溶液（酸性），食用碱溶液（碱性），柠檬水溶液（酸性），火碱溶液（碱性），其中是碱性溶液的有食用碱溶液（碱性），火碱溶液（碱性），共2瓶，
∴任取一瓶液体少许，将酚酞试剂滴入后呈现红色的概率是，．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解答的关键．本题求得该圆弧的半径为和即可求解．
【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，，设与交点为F，
∵，
∴为直径，点O为圆心，
∵，
∴该圆弧的半径为，
∵，，
∴，
∴，
∴弧长为，
故答案为：．
15．8
【分析】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出．
【详解】解：过点A作于M，
是等边三角形，边长为6，
，
，
，
，
，
在中，，
当点E在DA延长线上时，，此时取最小值，
在中，，
正方形的边长为6，
，
在中，，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
16．
【分析】先根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角锐角函数值化简，再计算，即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了零指数幂，二次根式的性质，特殊角锐角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）把代入，即可求出m的值，得出点B的坐标，再把点B的坐标代入，即可求出k的值；
（2）先求出，则，过点C作轴于点D，得出，设，则，求出，则，用待定系数法求出直线的解析式为，进而得出，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
综上：，；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴，则，
过点C作轴于点D，
∵，轴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由（1）可得：
把代入得：，
解得：（舍去），
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
令直线与x轴相交于点E，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴
．
18．(1)
(2)
【分析】此题考查了列表法与树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，符合题意的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“宸宸”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，“两次抽取卡片上字母相同”的结果有3种，
（两次抽取卡片上字母相同）．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
（2）连接，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
在中，，
由勾股定理得：．
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴的半径长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．(1)
(2)当时，有最大值，最大值是400元
(3)该商店销售这种书包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为50元
【分析】（1）根据利润=（进价成本价）×销售数量，计算即可．
（2）二次函数进行配方，根据二次函数的最值计算即可．
（3）时，构造一元二次方程求解即可．
【详解】（1），
即与之间的函数表达式．
（2）根据题意得：，
，
∴当时，有最大值，最大值是400（元）．
（3）当时，，
解得，
，
不符合题意，舍去，
答：该商店销售这种书包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为50元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的最值，解方程，理解方程根的取舍，是解题的关键．
21．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，结合勾股定理和平行线分线段成比例求解是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出，再求出，即可得到结果；
（2）过F作交于点G，根据，对应边成比例即可求得结果；
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，，
由勾股定理得： ，
∵E是的中点，
∴，
∴；
（2）解：过F作交于点G，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
，
，
，
，，
即，
解得，
，，
解得，
经检验，是方程的解，
故答案为．
22．(1)证明过程见详解；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先证明，再证明；
（2）先用勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长；
（3）作于P，作于Q，证明，得对应成比例的线段即可得出．
【详解】（1）
证明：∵四边形是正方形，
，，
，
∵将绕点D逆时针旋转得到，
，，
，
，
，，
；
，
，
，
，
平分，
，
，
，
∴，
（2）解：在中，
，
，
，
在中，．
的长为．
（3）解：，
，
，正方形边长为3，
作于P，作于Q，
，
，
，
同理，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．(1)；6m
(2)
(3)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标；
（3）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为6m；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为；
（3）解：∵，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴，解得，
∵，
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则 ，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．