山东省德州市武城县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)

这是一份山东省德州市武城县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．B．3C．或3D．都不对
3．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．已知一元二次方程的两根为，则的值是（ ）
A．B．3C．D．6
5．如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．2B．-2C．4D．-4
6．关于圆有如下的命题：①平分弦的直径垂直于弦；②不在同一直线上的三个点确定一个圆；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④圆的切线垂直于半径；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．其中命题正确的是有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
7．如图，已知正五边形，，A、B、C、D、E均在上，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（ ）
A．6B．12C．15D．30
10．已知函数（其中）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（ ）
A．2B．4C．5D．7
12．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，正确的有（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的相似比是，则点的对应点F的坐标为 ．
14．如图，，为的两条弦，D，G分别为，的中点，的半径为2．若，则的长为 ．
15．定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ．
16．如图，，以为直径的半圆绕点逆时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是 ．

17．如图，在中，，分别与、相交于点D、E，若，，则的值为 ．
18．如图，点，，…在反比例函数的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是 ．

三、解答题
19．计算题：
(1)；
(2)
20．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：级为优秀，级为良好，级为及格，级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______名；
(2)扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是______，并把条形统计图补充完整；
(3)某班有4名优秀的同学（分别记为、、、，其中为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
22．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
23．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
24．如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F．
(1)如图1，直按写出的值_______；
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值．
25．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，对称轴上是否存在点，使周长最小，求出此时点的坐标和周长最小值；
(3)如图2，点为第二象限抛物线上一动点连接交于点，，是否存在点，使取最大值，如果存在求出此时点的坐标和最值；若不存在，请说明理由．
售价x（元/件）
55
60
65
销售量y（件）
700
600
500
参考答案：
1．C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【详解】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2．A
【分析】根据一元二次方程定义可得，，求解即可．
【详解】由题意得：，，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，将二次函数一般式化成顶点式求出对称轴，判断出抛物线开口方向向上，求出B，C两点关于对称轴对称的坐标，根据当时，随的增大而增大，即可求出结果．
【详解】解：，
二次函数的对称轴，，
关于对称轴对称点是，关于对称轴对称点是，
当时，随的增大而增大，
，
，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由是方程的两根，则，，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴由根与系数的关系，得：，，
∴；
故选：B．
5．D
【分析】要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点、作轴，轴，分别于、，根据条件得到，得到：，然后用待定系数法即可.
【详解】过点、作轴，轴，分别于、，
设点的坐标是，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
因为点在反比例函数的图象上，则，
点在反比例函数的图象上，点的坐标是，
.
故选：.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.
6．A
【分析】根据垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，切线的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②不在同一直线上的三个点确定一个圆，故②正确；
③三角形的内心到三角形三条边的距离相等，故③正确；
④圆的切线垂直于过切点的半径，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误；
所以正确的命题有②③，共2个．
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，切线的性质，熟练掌握垂径定理，切线的性质，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．
7．A
【分析】连接，，，根据，得出，根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：连接，，，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆心角，弦之间的关系，解题的关键是求出．
8．D
【分析】连接．根据格点先求出，再利用正方形对角线的性质判断与关系、的形状，最后求出的余弦值．
【详解】解：如图，连接．则，．
都是正方形的对角线，
．
∴，．
，是直角三角形．
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
9．C
【分析】延长CD到G，使DG=BE，连接AG，易证所以AE=AG， ， 证，所以 GF=EF，设BE=DG=x，则EF=FG=x+2，在中，利用勾股定理得 解得求出x，最后求问题即可求解．
【详解】解：延长CD到G，使DG=BE，连接AG，
在正方形ABCD中，AB=AD，
，
，
，
，
，
，
，
又，
(SAS)，
，
设BE=DG=x，则EC=6-x，FC=4，EF=FG=x+2，
在中，，
，
解得，x=3，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.
10．C
【分析】本题考查抛物线与x轴交点问题、一次函数和反比例函数图象的性质．根据二次函数图象可知，，再根据一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．
【详解】解：根据二次函数图象与x轴的交点位置，可确定，，
∴一次函数的图象y随x增大而减小，且与y轴交于点，
排除选项A、B；
，
∴反比例函数的图象在二、四象限，
故选：C．
11．A
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图所示
，
，
，
，
点在以为直径的上，当、、共线时最小，
在中，，，
，
，
．
最小值为．
故选：A．
12．C
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，可得①正确；设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12−x，通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，即BG＝2AG，可得②正确；根据△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，可得③错误；求出S△GBE，根据可求得S△BEF，可得④正确．
【详解】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
又∵DG＝DG，
∴△ADG≌△FDG（HL），①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12−x，
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即（x＋6）2＝62＋（12−x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，
∴BG＝2AG，②正确；
∵BE＝EF＝6，
∴△BEF是等腰三角形，
易知△GED不是等腰三角形，故③错误；
∵S△GBE＝×6×8＝24，，
∴，④正确；
故选：C．
【点睛】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，勾股定理，三角形的面积计算等知识，能够灵活运用各性质是解题的关键．
13．或
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，相似比是，点，
∴点C的对应点F的坐标为或，即或，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查圆周角定理，三角形中位线定理及勾股定理，根据圆周角与圆心角关系得到，从而求出，再根据中位线求出；
【详解】解：连接，，，
∵，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∵D，G分别为，的中点，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积的应用，
根据题意得出，，根据图形得出图中阴影部分的面积，求出即可；
掌握旋转的性质以及扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：
，，
图中阴影部分的面积是：
．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出，推出是解题关键．
【详解】解：∵，，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等，
∴
故答案为：
18．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的解法，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．先求出的坐标，由题意容易得到是等腰直角三角形，想办法求出，，,…，探究规律， 利用规律解决问题即可得出结论.
【详解】解：联立，
解得，
∴，，
由题意可知，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过作交轴于，则容易得到，

设，则，
∴，
解得，（舍去），
∴，，
∴，
同理可得，
则，
即，
∴，
故答案为：.
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算以及一元二次方程的求解，注意计算的准确性即可．
（1）熟记特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：，
，
∴
20．(1)40
(2)，图见解析
(3)
【分析】（1）根据级的人数和所占的百分比求出抽样调查的总人数；
（2）先求出等级百分比，再乘即可得圆心角；再求等级的人数，再补全统计图即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数是：（名）；
故答案为：40；
（2）级人数百分比，
，
故答案为：；
级人数为：（名），
补全统计图如下：
（3）画树状图得：
共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，
选中小明的概率为．
【等级】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的关联．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，则有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，进而问题可求证；
（2）连接CD，由题意易得∠ADC=90°，然后可证△ADC∽△CDB，则有，进而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：连接OD，OE，如图所示：
∵，
∴∠A=∠ODA，
∵点E是边BC的中点，
∴OE∥AB，
∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，
∴∠DOE=∠COE，
∵，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠ACB＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴，即，
∵AD＝4，BD＝9，
∴，
∴，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
22．(1)
(2)这种衬衫定价为60元．
(3)售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可；
（2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可；
（3）由题意可得，，由，求出的取值范围，然后根据二次函数的图象与性质求的最值即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，则，
解得，
∴y与x之间的函数表达式是．
（2）解：由题意知，，
解得，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为60元．
（3）解：由题意可得，
，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴，
解得，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，w取得最大值，此时元，
∴售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解不等式组等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．
23．（35+10）m．
【分析】过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，求出CF= EF，过点E作EH⊥AB于点H．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，得到CF的值，再根据AB=AH+BH，求出AB的值．
【详解】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i==tan∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴EF=CE=10米，CF=10 米，
∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=（25+10）米，
∴AB=AH+HB=（35+10）米．
答：楼房AB的高为（35+10）米．
24．(1)
(2)，证明见解析
(3)画图见解析，α的值为30°或150°，
【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知；
由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系；
（3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：．
【详解】（1）是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由：由（1）知，，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）如图3，连接DE，CE
∵EA=ED，
∴点E在AD的中垂线上，
∴AE=DE，BE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
，AB=BC，
，
∴△BCE是等边三角形，
，
，即：，
如图4，同理，△BCE是等边三角形，
，即：，
故答案为：30°或150°．
【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键．
25．(1)
(2)，
(3)时，取得最大值为
【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征可得关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）当、、三点共线时，周长最小，求出直线与对称轴的交点，即为，求出即为周长最小值；
（3）过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，设，则，由，可得，则，再根据二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）对称轴上存在点，使周长最小，理由如下：
连接、，交抛物线的对称轴于点，连接，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴当、、三点共线时，周长最小，
当时，得：，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，得：，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴此时的周长为，
∴此时点的坐标为，周长最小值为；

（3）存在点，使取得最大值，理由如下：
如图，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，设，则，
∴，
∵，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，取得最大值为，此时．
【点睛】本题考查待定系数法确定二次函数和一次函数的解析式，轴对称求最短距离，勾股定理，平行线分线段成比例定理，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行线的性质，轴对称求最短距离是解题的关键．