湖南省永州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷(含答案)

这是一份湖南省永州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,,则( )
A.B.C.D.
2．命题,的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知幂函数的图象经过点,则( )
A.B.4C.D.
5．扇形面积为4,周长为8,则扇形的圆心角的弧度数为( )
A.1B.2C.3D.4
6．已知,则( )
A.1B.C.2D.3
7．已知,,,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若方程有5个不同的实数解,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若,则下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
10．在下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的有( )
A.B.C.D.
11．定义域为R的偶函数满足,且时,,则( )
A.
B.
C.的图象关于直线对称
D.在区间上单调递增
12．已知函数在区间上有且仅有两个不同的零点,则( )
A.在区间上有两条对称轴
B.的取值范围是
C.在区间上单调递增
D.若,则
三、填空题
13．______.
14．函数图象恒过定点_____________.
15．已知,,则的最小值为______.
16．若函数在定义域内存在实数x使得,其中,则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”,对于任意的实数,函数恒为R上的“k阶局部奇函数”,则k的取值集合是______.
四、解答题
17．已知函数
（1）若,求的值;
（2）若,判断在区间上的单调性,并用定义证明.
18．已知集合,
（1）求;
（2）已知集合,若,求实数a的取值范围.
19．已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）将函数的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,求在上的单调递增区间.
20．为响应“湘商回归,返乡创业”的号召,某企业回永州投资特色农业,为了实现既定销售利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:按销售利润进行奖励,总奖金额y(单位:万元)关于销售利润x(单位:万元)的函数的图象接近如图所示,现有以下三个函数模型供企业选择:①
②
③
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;
（2）根据你在（1）中选择的函数模型,如果总奖金不少于6万元,则至少应完成销售利润多少万元?
21．在平面直角坐标系xOy中,角及锐角的终边分别与单位圆交于A,B两点.
（1）若B点的横坐标为,求的值:
（2）设角的终边与单位圆交于点C,AP,BQ,CR均与x轴垂直,垂足分别为P,Q,R,请判断以线段AP,BQ,CR为边能否构成三角形,并说明理由.
22．已知函数,.
（1）若对,都有,求实数a的取值范围;
（2）若函数,求函数的零点个数.
参考答案
1．答案：C
解析:由,,则.
故选:C
2．答案：C
解析:命题,的否定是:,.
故选:C.
3．答案：A
解析:由,可得,故“”是“”成立的充分不必要条件.
故选:A
4．答案：D
解析:设,因为幂函数图象过,
则有,,即,
故选:D
5．答案：B
解析:令扇形半径为r,弧长为l,则,
所以扇形的圆心角的弧度数为.
故选:B
6．答案：D
解析:由题设,又.
故选:D
7．答案：C
解析:由,,则,
所以,又,
综上,.
故选:C
8．答案：B
解析:由解析式得函数大致图象如下,由,令,可得或,
令,当或时有1个解;当或时有2个解;
当时有3个解;当时无解;
要使有5个不同的实数解,
若,则,此时方程有1解;
若,则有2个解,有1解,此时方程共有3个解;
若,则有1个解,有3解,有1解,
此时方程共有5个解;
若,则有1个解,有3解,有2解,
此时方程共有6个解;
若,则有1个解,有3解,有3解,
此时方程共有7个解;
若,则有3个解,有3个解,此时方程共有6个解;
若,则有3个解,此时方程共有3个解;
若,没有对应t,此时方程无解;
综上,.
故选:B
9．答案：ACD
解析:由,则,,A,C对;
若,,,,此时,B错;
由单调递增,故,D对.
故选:ACD
10．答案：BCD
解析:由为奇函数,A不符;
由定义域为R,且,为偶函数,
在区间上单调递增,B符合;
由定义域为,,且,为偶函数,
在区间上单调递增,C符合;
由定义域为R,且,为偶函数,
在区间上单调递增,D符合;
故选:BCD
11．答案：ABD
解析:由,A对;
由题设,即,B对;
由,则,综上,即关于对称,C错;
根据周期性,区间上单调性与区间上单调性相同,
又时,,即在上上递减,又是偶函数,
所以在区间上递增,故在区间上单调递增,D对.
故选:ABD
12．答案：BC
解析:区间上且,
故在有且仅有两个不同的零点,
所以,可得,B对;
当时,此时只有一条对称轴,
即在上可能只有一条对称轴,A错;
区间上,而,
所以在区间上单调递增,C对;
由,即,又,
所以或,可得或,D错.
故选:BC
13．答案：
解析:
故答案为:.
14．答案：
解析:令,可得,
所以,即图象恒过定点.
故答案为:
15．答案：
解析:由题设,
当且仅当,即时第一个等号成立,
当且仅当,即时第二个等号成立,
综上,时目标式有最小值为.
故答案为:
16．答案：
解析:由题意得,函数恒为R上的“k阶局部奇函数”,
即在R上有解,则有,
即有解,
当时,,满足题意;
当时,对于任意的实数,,
变形可得,解可得:,
由,故.
故答案为:.
17．答案：（1）;
（2）在区间上递增,证明见解析.
解析:（1）由题设,则,故;
（2）在区间上递增,证明如下:
令,则,
又,则,且,
所以,即在区间上递增.
18．答案：（1）;
（2）.
解析:（1）由题设,,
所以;
（2）由,若,则满足题设;
若,则,即;
综上,.
19．答案：（1）;
（2）单调递增区间为和.
解析:（1）由题设,
所以的最小正周期;
（2）图象向右平移个单位长度,得,
把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得,
在上,显然或,
所以或,故在上的单调递增区间为和.
20．答案：（1）③,理由见解析
（2）72万元
解析:（1）对于模型①,,图象为直线,故①错误,
由图可知,该函数的增长速度较慢,
对于模型②,指数型的函数是爆炸型增长,故②错误,
对于模型③,对数型的函数增长速度较慢,符合题意,故选项模型③,
（2）由（1）可知,选项模型③,所求函数过点,,
则,解得,,
故所求函数为,
,即,
,
,
至少应完成销售利润72万元.
21．答案：（1）
（2）利用见解析
解析:（1）已知是锐角,则,根据三角函数的定义,
得,,,
.
（2）能构成三角形,理由如下:
由三角函数的定义得,,,,
因为,所以,
于是有,①
故,
又因为,所以,
,②
故
同理,,③,
由①,②,③可得,以AP,BQ,CR的长为三边长能构成三角形.
22．答案：（1）;
（2）答案见解析.
解析:（1）对,都有,只需,
由在上递增,故,
由,在上有,
所以且,故有上恒成立,
所以,而,即.
（2）由题设,
令,当且仅当时等号成立,
则,即,
所以且,
令,则问题等价于在上解的个数,
又在上递减,故,
当或时,在上无解,即无零点;
当时,在上有,
所以,即,故有1个零点;
当时,在上有(负值舍),
又为偶函数,此时有2个零点;
综上,或时,无零点;时,有1个零点;时,有2个零点.