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    湖南省永州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷(含答案)

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    湖南省永州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷(含答案)

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    这是一份湖南省永州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷(含答案),共13页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.设全集,,则( )
    A.B.C.D.
    2.命题,的否定是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    3.“”是“”成立的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    4.已知幂函数的图象经过点,则( )
    A.B.4C.D.
    5.扇形面积为4,周长为8,则扇形的圆心角的弧度数为( )
    A.1B.2C.3D.4
    6.已知,则( )
    A.1B.C.2D.3
    7.已知,,,则( )
    A.B.C.D.
    8.已知函数,若方程有5个不同的实数解,则a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.若,则下列不等式成立的是( )
    A.B.C.D.
    10.在下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的有( )
    A.B.C.D.
    11.定义域为R的偶函数满足,且时,,则( )
    A.
    B.
    C.的图象关于直线对称
    D.在区间上单调递增
    12.已知函数在区间上有且仅有两个不同的零点,则( )
    A.在区间上有两条对称轴
    B.的取值范围是
    C.在区间上单调递增
    D.若,则
    三、填空题
    13.______.
    14.函数图象恒过定点_____________.
    15.已知,,则的最小值为______.
    16.若函数在定义域内存在实数x使得,其中,则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”,对于任意的实数,函数恒为R上的“k阶局部奇函数”,则k的取值集合是______.
    四、解答题
    17.已知函数
    (1)若,求的值;
    (2)若,判断在区间上的单调性,并用定义证明.
    18.已知集合,
    (1)求;
    (2)已知集合,若,求实数a的取值范围.
    19.已知函数.
    (1)求的最小正周期;
    (2)将函数的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,求在上的单调递增区间.
    20.为响应“湘商回归,返乡创业”的号召,某企业回永州投资特色农业,为了实现既定销售利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:按销售利润进行奖励,总奖金额y(单位:万元)关于销售利润x(单位:万元)的函数的图象接近如图所示,现有以下三个函数模型供企业选择:①


    (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;
    (2)根据你在(1)中选择的函数模型,如果总奖金不少于6万元,则至少应完成销售利润多少万元?
    21.在平面直角坐标系xOy中,角及锐角的终边分别与单位圆交于A,B两点.
    (1)若B点的横坐标为,求的值:
    (2)设角的终边与单位圆交于点C,AP,BQ,CR均与x轴垂直,垂足分别为P,Q,R,请判断以线段AP,BQ,CR为边能否构成三角形,并说明理由.
    22.已知函数,.
    (1)若对,都有,求实数a的取值范围;
    (2)若函数,求函数的零点个数.
    参考答案
    1.答案:C
    解析:由,,则.
    故选:C
    2.答案:C
    解析:命题,的否定是:,.
    故选:C.
    3.答案:A
    解析:由,可得,故“”是“”成立的充分不必要条件.
    故选:A
    4.答案:D
    解析:设,因为幂函数图象过,
    则有,,即,
    故选:D
    5.答案:B
    解析:令扇形半径为r,弧长为l,则,
    所以扇形的圆心角的弧度数为.
    故选:B
    6.答案:D
    解析:由题设,又.
    故选:D
    7.答案:C
    解析:由,,则,
    所以,又,
    综上,.
    故选:C
    8.答案:B
    解析:由解析式得函数大致图象如下,由,令,可得或,
    令,当或时有1个解;当或时有2个解;
    当时有3个解;当时无解;
    要使有5个不同的实数解,
    若,则,此时方程有1解;
    若,则有2个解,有1解,此时方程共有3个解;
    若,则有1个解,有3解,有1解,
    此时方程共有5个解;
    若,则有1个解,有3解,有2解,
    此时方程共有6个解;
    若,则有1个解,有3解,有3解,
    此时方程共有7个解;
    若,则有3个解,有3个解,此时方程共有6个解;
    若,则有3个解,此时方程共有3个解;
    若,没有对应t,此时方程无解;
    综上,.
    故选:B
    9.答案:ACD
    解析:由,则,,A,C对;
    若,,,,此时,B错;
    由单调递增,故,D对.
    故选:ACD
    10.答案:BCD
    解析:由为奇函数,A不符;
    由定义域为R,且,为偶函数,
    在区间上单调递增,B符合;
    由定义域为,,且,为偶函数,
    在区间上单调递增,C符合;
    由定义域为R,且,为偶函数,
    在区间上单调递增,D符合;
    故选:BCD
    11.答案:ABD
    解析:由,A对;
    由题设,即,B对;
    由,则,综上,即关于对称,C错;
    根据周期性,区间上单调性与区间上单调性相同,
    又时,,即在上上递减,又是偶函数,
    所以在区间上递增,故在区间上单调递增,D对.
    故选:ABD
    12.答案:BC
    解析:区间上且,
    故在有且仅有两个不同的零点,
    所以,可得,B对;
    当时,此时只有一条对称轴,
    即在上可能只有一条对称轴,A错;
    区间上,而,
    所以在区间上单调递增,C对;
    由,即,又,
    所以或,可得或,D错.
    故选:BC
    13.答案:
    解析:
    故答案为:.
    14.答案:
    解析:令,可得,
    所以,即图象恒过定点.
    故答案为:
    15.答案:
    解析:由题设,
    当且仅当,即时第一个等号成立,
    当且仅当,即时第二个等号成立,
    综上,时目标式有最小值为.
    故答案为:
    16.答案:
    解析:由题意得,函数恒为R上的“k阶局部奇函数”,
    即在R上有解,则有,
    即有解,
    当时,,满足题意;
    当时,对于任意的实数,,
    变形可得,解可得:,
    由,故.
    故答案为:.
    17.答案:(1);
    (2)在区间上递增,证明见解析.
    解析:(1)由题设,则,故;
    (2)在区间上递增,证明如下:
    令,则,
    又,则,且,
    所以,即在区间上递增.
    18.答案:(1);
    (2).
    解析:(1)由题设,,
    所以;
    (2)由,若,则满足题设;
    若,则,即;
    综上,.
    19.答案:(1);
    (2)单调递增区间为和.
    解析:(1)由题设,
    所以的最小正周期;
    (2)图象向右平移个单位长度,得,
    把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得,
    在上,显然或,
    所以或,故在上的单调递增区间为和.
    20.答案:(1)③,理由见解析
    (2)72万元
    解析:(1)对于模型①,,图象为直线,故①错误,
    由图可知,该函数的增长速度较慢,
    对于模型②,指数型的函数是爆炸型增长,故②错误,
    对于模型③,对数型的函数增长速度较慢,符合题意,故选项模型③,
    (2)由(1)可知,选项模型③,所求函数过点,,
    则,解得,,
    故所求函数为,
    ,即,
    ,
    ,
    至少应完成销售利润72万元.
    21.答案:(1)
    (2)利用见解析
    解析:(1)已知是锐角,则,根据三角函数的定义,
    得,,,
    .
    (2)能构成三角形,理由如下:
    由三角函数的定义得,,,,
    因为,所以,
    于是有,①
    故,
    又因为,所以,
    ,②

    同理,,③,
    由①,②,③可得,以AP,BQ,CR的长为三边长能构成三角形.
    22.答案:(1);
    (2)答案见解析.
    解析:(1)对,都有,只需,
    由在上递增,故,
    由,在上有,
    所以且,故有上恒成立,
    所以,而,即.
    (2)由题设,
    令,当且仅当时等号成立,
    则,即,
    所以且,
    令,则问题等价于在上解的个数,
    又在上递减,故,
    当或时,在上无解,即无零点;
    当时,在上有,
    所以,即,故有1个零点;
    当时,在上有(负值舍),
    又为偶函数,此时有2个零点;
    综上,或时,无零点;时,有1个零点;时,有2个零点.

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