江苏省灌云高级中学2024届高三上学期11月月考数学试卷(含答案)

这是一份江苏省灌云高级中学2024届高三上学期11月月考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则( )
A.B.C.D.
3．函数(e为自然对数的底数)在的大致图象是( )
A.B.
C.D.
4．已知椭圆的焦点在y轴上,若焦距为4,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
5．已知是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连结DE并延长到点F,使得,则的值为( )
A.B.C.1D.
6．设,,且,则( )
A.B.C.D.
7．已知直线与是曲线的两条切线,则( )
A.B.2aC.4D.无法确定
8．已知实数,,,那么实数a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在研究某种产品的零售价x(单位:元)与销售量y(单位:万件)之间的关系时,根据所得数据得到如下所示的对应表:
利用最小二乘法计算数据,得到的回归直线方程为,则下列说法中正确的是( )
A.x与y的样本相关系数
B.回归直线必过点
C.
D.若该产品的零售价定为22元,可预测销售量是9.7万件
10．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,若的图像与的图像关于y轴对称,则下列说法正确的有( )
A.
B.
C.的对称轴过的对称中心
D.,,使得
11．设数列的前n项和为,且,若,则下列结论正确的有( )
A.
B.当时,取得最小值
C.当时,n的最小值为7
D.当时,取得最小值
12．已知函数及其导函数的定义域均为R,若,,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.方程有两个解
D.在区间上单调递增
三、填空题
13．中,,若,则________.
14．请写出一个同时满足下列条件①②③的函数________.
①;
②对任意,,当时,;
③.
15．已知函数是定义在R上的偶函数,,若对任意,都有,对任意m,且,都有,则________.
16．已知函数的最小值为4,则实数________.
四、解答题
17．某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动,即每位顾客购买该厂生产的产品后均有一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有四个大小,质地完全相同的小球分别标有1,2,3,5四个数字,抽奖规则为:每位顾客从盒中一次性抽取两个小球,记下小球上的数字后放回,记两个小球上的数字分别为,,若为奇数即为中奖.
（1）求某顾客甲获奖的概率;
（2）求随机变量的分布列与数学期望.
18．已知数列满足,且有.
（1）证明:数列是等比数列;
（2）求数列的前n项和.
19．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直.
（1）求实数a的值;
（2）若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
20．如图,圆台上底面圆半径为1,下底面圆半径为,AB为圆台下底面的一条直径,圆上点C满足,是圆台上底面的一条半径,点P,C在平面的同侧,且.
（1）证明:平面平面ABC;
（2）若圆台的高为2,求直线与平面PBC所成角的正弦值.
21．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆:的焦距为2,过点.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若直线l交椭圆C于点P,Q,直线AP,AQ分别交y轴于点M,N,且,求证:直线l过定点.
22．已知函数.
（1）求的最小值;
（2）设点,,证明:当时,过点A可以作曲线的两条切线.
参考答案
1．答案：C
解析:由Venn图可知,阴影部分表示的集合为,
,,
.
故选:C.
2．答案：A
解析:,因为为纯虚数,所以,解得,所以.
故选:A.
3．答案：D
解析:在中,,所以,即,解得,所以其视力的小数记录法的数据约为0.6,
故选:D
4．答案：A
解析:若,则,即.
若,则,则.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
5．答案：B
解析:设,,
所以,,,
所以.
故选:B.
6．答案：A
解析:因为,,则,且,
,
所以,,可得.
故选:A.
7．答案：A
解析:由已知得,曲线的切线过,
时,曲线为,设,直线在曲线上的切点为,,
切线:,又切线过
,,,
同理取,曲线为,设,直线在曲线上的切点为,,
切线:,又切线过
,,,
故选:A
8．答案：B
解析:由于可得,即,
又由于,所以,
假设在中,,,角B的平分线交边AC于点D,
所以,,,
所以,所以即,
所以,
所以,
所以即,解得,
在中,即,
所以,
由于即,所以,
所以,
因为,所以,
所以
故选:B
9．答案：AC
解析:,A对;
,
,
,B错;
,,C对.
,,
当,即时,,,使得;
当,即时,,,使得.
所以,有两解.
故选:AC.
10．答案：AD
解析:由题意可知,两马日行里数都成等差数列;
记数列为良马的日行里数,其中首项公差
所以数列的通项公式为,
记数列为驽马的日行里数,其中首项公差
所以数列的通项公式为,
因此,对于A,驽马第七日行里数为,即驽马第七日行九十四里;故A正确;
第七日良马行走总里程为,而齐去长安一千一百二十五里,因为,所以第七日良马未至齐;所以B错误;
设第m日两马相逢,由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍,
即,
解得或(舍),即第九日二马相逢;故C错误;
由C可知,第九日二马相逢,此时良马共行走了,所以,二马相逢时良马行一千三百九十五里,所以D正确;
故选:AD.
11．答案：ABC
解析:对A选项:异面直线的判断方法:经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线,
因为平面,平面,平面,直线BE,故直线与是异面直线.
对B选项:下面先证明面面,再证直线平面.
如图:连结AC与BD交于点O,与MN交于点F,
在正方形ABCD中,有,又,故,
又面,面,
所以面,
又,面,面,
所以面,
面BDE,面BDE,,
所以面面BDE.
又面,故直线平面BDE,所以B正确.
对选项C:,
,故C正确D不正确;
故选:ABC
12．答案：BCD
解析:直线过定点,
直线过定点,
又,所以两直线垂直,
所以两直线的交点P的轨迹是以线段MN为直径的圆,,
所以交点P的轨迹方程为,故A错误;
圆C的圆心为,半径为,
因为,
所以圆与圆相离,
即点P在圆C外,故B正确;
因为Q为弦AB的中点,,所以,
所以弦AB的中点Q的轨迹为以C为圆心,1为半径的圆,
则点Q的轨迹方程为,
则圆与圆相离,
所以线段PQ长的最大值为,故C正确;
,
因为线段PQ长的最小值为,
所以的最小值为,
即的最小值为,故D正确.
故选:BCD.
13．答案：
解析:,
,
即.
.
故答案为:.
14．答案：充分不必要
解析:①时,,即;
②对于函数,,,
若,则,在时单调递减,没有最大值;
若,则时,,单调递增;时,,单调递减;
,若,则.
故“”是“函数的最大值小于1”的“充分不必要”条件.
故答案为:充分不必要.
15．答案：400
解析:如图,设扇形的半径为,则弧长为,扇形面积为,
,即,
又,当且仅当,即是取等号,
,令
,解得,则,
当,,时水池面积最大,最大值为400平方米.
故答案为:400.
16．答案：2
解析:
且
原式
若A为钝角,则为钝角,与条件矛盾,舍
故A为锐角,,,当且仅当,时取“=”
故答案为:2
17．答案：（1）
（2）
解析:（1）,,
,
,即
,.
（2）
由图象向右平移,横坐标变为2倍得
,
在单调递增,单调递减
,即值域为.
18．答案：（1）;
（2）.
解析:（1）因为,所以,
所以,
设等差数列的公差为d,则,可得,
当时,,可得,
所以.
（2）当n为奇数时,,
当n为偶数时,,
所以
.
19．答案：（1）;
（2）
解析:（1）且,,
由正弦定理得,
,
,
,
,
A,B,,,,
,,
.
（2）由（1）知,且,
,
由余弦定理得
,
,,
当且仅当时,取最大值,取得最大值,
AD的最大值.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）直三棱柱中,,
以为正交基底如图建立空间直角坐标系
设,则,,,
所以,.
因为,,
所以,,
所以.
因为平面ABC,
所以平面ABC的一个法向量为.
因为,平面ABC,
所以∥平面ABC.
（2）由（1）得,.
当时,MN最短,所以,.
所以,,,
设平面的一个法向量为,
则,
令,则,,
所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为,则
,令,则,
设二面角的平面角为,则
,
由图可知二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析:（1）方法一:设椭圆的焦距为,则.
不妨设,,
所以,,
所以,解得.
因为,所以椭圆C的标准方程.
方法二:设椭圆C的焦距为2c,则.
由,解得,,
所以椭圆C的标准方程.
（2）显然直线AP,AQ斜率都存在.
设直线AP的方程为.
令,得.
设直线AQ的方程为,同理可得.
因为,所以,
所以.
设直线l的方程为.
由得,
所以,,
所以,所以,
所以,解得.
所以直线l过点.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析:（1）,令,解得,
所以,当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以,.
（2）证明:设过点A且与相切的直线与的切点为,
所以,切线的斜率为
所以,切线方程为
因为点在切线上,
所以,,即,
所以,
因为,所以,
令,,解得,
所以,当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,在上至多两个零点,
因为,,,
所以,在上有一个零点,
下面证明在有一个零点.
令,,则,
所以,当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以,,即,,
当时,,
令,则
所以,,
所以,在上有一个零点
所以,当时,过点A可以作曲线的两条切线.
x
12
14
16
18
20
y
17
16
14
13
11