28，河南省南阳市2023-2024学年高三上学期1月期终质量评估数学试题

这是一份28，河南省南阳市2023-2024学年高三上学期1月期终质量评估数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，保持卷面清洁，不折叠、不破损，已知数列的前n项和为，若，，则，抛物线E等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
出4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．
第Ⅰ卷选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，且，则实数n的值为
A．0B．1C．0或D．
2．已知随机变量X服从正态分布，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．0D．2
3．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．在三棱锥P-ABC中，，，，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．反比例函数（）的图像可以看作是由双曲线经过旋转得到的，那么双曲线的焦距为
A．B．C．4D．6
6．已知数列的前n项和为，若，，则
A．B．C．D．
7．抛物线E：的焦点为F，P为准线上任意一点，过点P作E的切线，切点为A，则的最小值为
A．B．C．1D．2
8．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温t满足：27C≤t≤30℃）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：℃）的记录如下：
根据上述记录，下列说法正确的有
A．农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日
B．设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
C．设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为，，则
D．从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在的概率为
11．用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
12．设函数，若关于x的函数好有n个零点，则下列说法正确的是
A．若，则实数a的取值范围为
B．若，则实数a的取值范围为
C．若，则实数a的取值范围为
D．若，则实数a的取值范围为
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．展开式中的系数为 ．（用数字作答）
14．若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ．
15．某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有
种．（用数字作答）
16．如图，点P为∠BAC内一点，，，，过点P作直线分别交射线AB，AC于D，E两点，则的最大值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且．
（1）求内角A的大小；
（2）若，求△ABC面积的最大值．
18．（本小题满分12分）
已知数列满足，且．数列满足，的前n项和为．
（1）判断数列是否为等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．
（1）求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；
（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为多少？（精确到0.01）
（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．
21．（本小题满分12分）
P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交直线（）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线于R，若△OMQ，△ONR的面积之和为．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若，，，，过点G的直线l交C于D，E两点，是否存在常数n，对任意直线l，使为定值？若存在，求出n的值及该定值，若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数（），为的导数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：．
2023年秋期高中三年级期终质量评估
数学试题参考答案
一、选择题
1-8．CBDCBDAC
二、选择题
9．AC10．ACD11．ABD12．CD
三、填空题
13．14．15．8916．
四、解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）
17．解析：
（1）∵，，且，
∴，
∴由正弦定理得．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴．
（2）∵，
∴由余弦定理得，即．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴当且仅当时，△ABC面积有最大值，最大值为．
18．解析：
（1）因为，所以，
则，
所以，
又，所以，故数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
．
（2）证明：（方法一）由（1）可得，所以．
当时，．
当时，，
．
综上可得．
（方法二）由（1）可得，所以．
当时，．
当时，．
当时，，
．
综上可得．
19．解析：
（1）证明：如图，连接，在中，，，，
由余弦定理，得
，
所以，所以，
所以，
同理，又，AC，平面ABC，
所以平面ABC，又平面，
所以平面平面．
（2）由平面几何知识可知，AC⊥CP，
以C为坐标原点，以CA，CP，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得．
又平面的法向量为，
∴
所以二面角的正弦值为．
（若用综合几何法求解，请按照步骤酌情给分）
20．解析：
（1）∵前四组频数成等差数列，
∴设，，，
∴，
解得，
∴，，．
居民月用水量在2～2.5内的频率为．
（2）由题图及（1）可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为，
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，
应规定
（3）将频率视为概率，设A（单位：立方米）代表居民月用水量，
可知，
由题意，知，
，
，
，
．
∴X的分布列为
∵，
∴．
21．解析：
（1）设，则，，
由题意可得，，即，
故点P的轨迹C的方程为；
（2）由（1）可知C：
假设存在常数n，使（常数），
设直线l：，代入C，整理得，
设，
则，
所以
（算法一）
整理化简得：对恒成立．
故，
∴，
∴或（舍去）
当直线l为x轴时
综上，存在常数，对任意直线l，使（为定值）
（算法二）
根据对应系数成比例得：．
整理得，解得或
当不能保证任意l成立，故舍去．
将代入上式可得
当直线l为x轴时
综上，存在常数，对任意直线l，使（为定值）
22．解析：
（1）依题意知：，，
①时，恒成立，在上单调递减；
②时，由，得，得，
在上单调递减，上单调递增．
（2）依题意，要证：，
①当时，，故原不等式成立，
②当时，要证：，
即要证：，
令，（）
则，
，
∵，
∴
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343