35，河南省开封市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试卷

这是一份35，河南省开封市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试卷，共18页。

1．本试卷共4页，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线方程与准线的关系，可得答案.
【详解】因为，所以，所以抛物线的准线方程为.
故选：A.
2. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点坐标可求得向量，计算可得结果.
【详解】易知，所以；
因此可得.
故选：C
3. 已知为等差数列，且，为方程的两根，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由已知结合方程的根与系数关系可求，然后根据等差数列的性质可求．
【详解】因为数列是等差数列，且，是方程的两根，
所以，
则．
故选：D．
4. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由，，求得，代入等比数列前n项和公式求解.
【详解】解：设等比数列的公比为q，
因为，，
所以，，
解得，
所以，
故选：C
5. 已知圆，圆，则与的位置关系是（ ）
A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的方程得出两圆圆心坐标和半径大小，再由圆心距和半径之间的关系可得结论.
【详解】易知圆的标准方程为，
可得圆心，半径；
圆的标准方程为，
可得圆心，半径；
显然圆心距，且，即，可得两圆内切.
故选：D
6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据渐近线方程可设双曲线，代入运算即可得双曲线方程，进而可得实轴长.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
可设双曲线，
代入可得：，
则双曲线，即，
可知，所以C的实轴长为.
故选：B.
7. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，
∴|AK|=|AM|，三角形APM等腰直角三角形，
设A（m2，2m）（m＞0）,
由得，解得
则△AFK的面积=4×2m•=4m=8,
故选B.
8. 某汽车集团从2023年开始大力发展新能源汽车，2023年全年生产新能源汽车2000辆，每辆车的利润为1万元.如果在后续的几年中，经过技术不断创新，后一年新能源汽车的产量都是前一年的，每辆车的利润都比前一年增加1000元，则生产新能源汽车6年的时间内，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去，参考数据：）（ ）
A. 2.291亿B. 2.59亿C. 22.91亿D. 25.9亿
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可求得第n年每辆车的利润为万元，第n年新能源汽车的销量，从而利用错位相减法法求出6年的总利润.
【详解】设第n年每辆车的利润为万元，则每辆车的利润构成首项为1，公差为的等差数列，
所以，
设第n年新能源汽车的销量为辆，则该汽车的销量构成首项为2000，公比为的等比数列，
所以，
设该汽车集团销售新能源汽车的总利润为S万元，
则①，
②，
①﹣②得
，
所以万元即亿元，
所以该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为亿元.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据题意抽象出两个数列，再利用错位相减法即可得解.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意求得直线方程再逐个检验点是否在直线上即可得出结论.
【详解】由题意可知，直线l的方程可表示为，
即；
经检验可得点，，在直线l上，不在直线l上.
故选：ACD
10. 已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可.
【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确；
对于B，，错误；
对于C，，正确；
对于D，，错误.
故选：AC
11. 已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（ ）
A. B. 或
C. 弦长的最大值为D. 点一定在直线上
【答案】AD
【解析】
【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D.
【详解】设两点的坐标为：，
联立椭圆与直线的方程，
得：，
由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确；
韦达定理：，
弦长，
当时，弦长取最大值，，选项C不正确；
由直线，线段中点的坐标为，
即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确.
故选：AD.
12. 已知棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则（ ）
A. 存在直线平面，使得平面
B. 存在直线平面，使得平面
C. 点到平面的距离为
D. 与平面所成角的余弦值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正方体性质利用线面垂直与线面平行的判定定理即可判断A错误，B正确；利用等体积法由可得点B到平面的距离为，即C正确；利用空间向量求出平面的法向量即可得与平面所成角的余弦值为，即D错误.
【详解】对于A，假设存在直线平面，使得平面，
则可得平面平面，显然不成立，即假设不成立，即A错误；
对于B，取的中点为，连接，如下图所示：
由正方体性质可得，且，可知四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面；
所以平面，即存在直线平面，使得平面，即B正确；
对于C，连接，如下图所示：
易知，，，则的面积为；
设点到平面的距离为，由可得，
解得，即可知C正确；
对于D，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知，则，
设平面的一个法向量为，
由，取，解得，即；
又，
可得，
由线面角法向量的求法可得与平面所成角的正弦值为，
余弦值为，可得D错误；
故选：BC
【点睛】方法点睛：等体积法是求解空间距离的常用方法，线面角经常利用空间向量进行求解.
三、填空题：本题共4小题.
13. 已知数列的首项为，递推公式为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用递推公式逐项计算可得出值.
【详解】由题意，.
故答案为：.
14. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面，内的射影分别为点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间中点的射影可得两点坐标，再由空间向量模长公式计算即可得出结果.
【详解】根据空间中点的坐标特征可知，，
则，所以.
故答案为：
15. 已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知直线过定点，且点在圆内，根据圆性质结合垂径定理求弦长的最小值.
【详解】因为直线，即，
可知直线过定点，
又因为圆的圆心，半径，
且，
即点在圆内，可知直线与圆相交，
由圆的性质可知：当且仅当时，取到最小值.
故答案为：.
16. 已知过双曲线左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用斜率和点求出直线的方程，令得B的坐标，利用中点坐标关系求出点A的坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率定义及范围，计算即可求解.
【详解】由题意，，所以直线的方程为，
令得，因为A是的中点，所以，
将点代入得，
结合化简得，所以，
所以或，所以或，
又，所以，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在空间四边形ABCD中，，，，，.
（1）求；
（2）求CD的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可；
（2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可.
【小问1详解】
因为，，，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以
，
所以.
18. 已知等差数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值及取得最大值时n的值．
【答案】（1）
（2）最大值为，n取值5或6
【解析】
【分析】（1）运用基本量的计算求解通项公式即可.
（2）写出前n项和公式，利用二次函数性质求解即可.
【小问1详解】
记的公差为d，因为，所以，
因为，所以，
所以．
【小问2详解】
因为
所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，
最大值为．
19. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求与直线AB平行且与圆C相切的直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出圆心坐标利用圆过两点以及圆心位置即可求得圆心坐标和半径，可得圆C的标准方程；
（2）由直线平行可设直线方程为，再由直线与圆相切可求得直线方程.
【小问1详解】
如下图所示：
设圆心，因为圆心C在直线上，所以，
因为A，B是圆上的点，所以，
根据两点间距离公式，有，即，
解之可得，，
所以圆心，半径，
所求圆的标准方程为．
【小问2详解】
直线斜率为，所以所求直线的斜率也为，
设所求直线方程为，
所以圆心C到该直线的距离为，解之得，
所以所求直线方程为：．
20. 已知数列的首项，且．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可求得结果.
【小问1详解】
由可得，
因为，所以，，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
【小问2详解】
设数列的前n项和为，则，
所以．
21. 如图，在三棱锥中，平面ABC，．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）若，M是PB的中点，求平面ACM与平面PBC的夹角．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理利用面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面ACM的一个法向量，易知平面PBC的一个法向量为，即可求得二面角的大小.
【小问1详解】
因为平面ABC，平面ABC，所以，
又因，，平面PAC，所以平面PAC，
又平面PBC，
所以平面平面PBC．
【小问2详解】
由（1）平面PAC，又平面APC，所以，
作分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
不妨设，
则，，，，，
可得，，
设平面ACM的一个法向量为，
则，取，则平面ACM的一个法向量为．
取PC的中点，，平面PAC，由（1）中平面PAC，
可得，，又平面PBC，
所以平面PBC，
所以平面PBC的一个法向量为，
所以，
所以平面ACM与平面PBC的夹角为．
22. 已知椭圆，F右焦点，A为右顶点，B为上顶点，．
（1）求C的离心率e；
（2）已知MN为C的一条过原点的弦（M，N不同于点A）．
（ⅰ）求证：直线AM，AN的斜率之积为定值，并求出该值；
（ⅱ）若直线AM，AN与y轴分别交于点D，E，且△ADE面积的最小值为，求椭圆C的方程．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析，； （ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用两点距离公式化简得到，最后根据离心率公式即可；
（2）（ⅰ）采用设点法，得到斜率表达式，最后根据点在椭圆上代入化简即可；
（ⅱ）计算出坐标，写出面积表达式，根据上一小问斜率之积为定值的结论结合基本不等式即可.
【小问1详解】
，
，所以．
【小问2详解】
（ⅰ）设，，，则，，，
由，得，
所以为定值．
（ⅱ）记，，则直线，所以，同理，
所以，
所以，当且仅当时“”成立，此时，
所以椭圆D的方程为：．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法得到斜率乘积表达式，最后结合点在椭圆上即可证明斜率乘积为定值，求解三角形面积表达式需求出两点坐标，最后利用基本不等式即可.