36，河北省邯郸市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题

这是一份36，河北省邯郸市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题，共13页。试卷主要包含了已知圆过点，则圆的标准方程是，已知数列中，且，则数列的前项和，法国数学家加斯帕尔•蒙日发现等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
2.已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（ ）
A.16 B.-13 C.3 D.-3
3.一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（ ）
米 米 米 米
4.已知圆过点，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知椭圆的左､右焦点分别为，点是该椭圆上的动点､点，则的最大值是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
6.已知数列中，且，则数列的前项和（ ）
A. B.
C. D.
7.过南线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知双曲线的一条弦所在直线的倾斜角为，点关于原点的对称点为，若，双曲线的离心率为，则（ ）
A.3 B. C. D.4
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（ ）
A.-2 B.2 C.0 D.
10.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，点是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.该椭圆的蒙日圆的方程为
B.存在点使的面积为25
C.使的点有四个
D.直线的斜率之积
11.已知数列的前项和分别为，若，则下列说法正确的是（ ）
A.是首项为2的等差数列
B.是首项为1的等比数列
C.当时，均为奇数，均为偶数
D.存在，使得
12.如图，平行六面体的校长均为3，且两两向量的夹角都是，过的平面与分别交于点，则（ ）
A.截面的面积为9
B.
C.的夹角是
D.平行六面体的体积为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为__________.
14.已知等差数列的前项和分别为，且，则__________.
15.如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为__________.
16.已知双曲线的左焦点为，过点的直线分别与渐近线和交于点，且（是坐标原点）.若，则的值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知等差数列的前项和为，首项，公差.从①；②成等比数列；③三个条件中任选一项，解答下列问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分12分）
古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点距离之比为常数且）的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿波罗尼圆.已知中，.
（1）求的顶点的轨迹方程；
（2）若圆和顶点的轨迹交于两点，求直线的方程和圆心到的距离.
19.（本小题满分12分）
已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，且.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
20.（本小题满分12分）
如图，四边形是平行四边形，为的中点.以为轴，将折起，使得点到达点的位置，且平面平面，以为轴，将折起，使得点到达点的位置，且平面平面，设平面平面直线.
（1）求证：直线平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知曲线的左､右焦点分别为，倾斜角为的直线经过左焦点.直线与曲线的交点为（在轴上方），过点作的平分线的垂线，垂足为为坐标原点.
（1）若，求内切圆的圆心的横坐标和的长；
（2）若，求的面积和的长.
22.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，.
（1）求抛物线的方程.
（2）记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
邯郸市2023—2024学年第一学期高二年级期末质量检测
数学参考答案及评分标准
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 【解析】直线的斜率，其一个方向向量为，故选C.
2.C 【解析】由得，解得，所以，故选C.
3.D 【解析】前五次落地经过的路程分别为10米､10米､5米､2.5米､1.25米，其和为28.75米，故选D.
4.A 【解析】圆心，半径，故方程为，故选A.
5.A 【解析】由题可知，，所以，而，即，故，故选A.
6.D 【解析】由得，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，所以，故选D.
7.B 【解析】圆的方程为，当时，最小，所以最小，所以四边形的面积最小，此时，故选B.
8.C 【解析】由题可知，直线的倾斜角为.设，则与相减可得，即，则，故，故选C.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AC 【解析】解法1：点到的距离相等，即，解得或，故选AC.
解法2：直线过定点，线段的斜率为-2，直线与平行时，点到直线的距离相等，此时；直线经过的中点时，点到直线的距离相等，此时.故选.
10.ACD 【解析】因为，长轴端点和短轴端点处的切线互相垂直，其交点在蒙日圆上，故其方程为正确；
不正确
以为直径的圆与椭圆有四个交点，正确；
，D正确.故选ACD.
11.BC 【解析】由可得A错误；
由可得均正确；
若存在使得，则，等式两边均为偶数，所以为偶数，设，则，所以，此时等号两边分别为偶数和奇数，不可能相等，D错误.故选BC.
12.ABD 【解析】菱形中，所以，所以菱形的面积为，正确；
平面与侧面的交线平行，平行，则是平行四边形，，B正确；
因为，所以，所以，所以的夹角不是不正确；
由上可知的夹角的正弦值是，所以平行六面体的高为，则平行六面体的体积为，D正确.故选ABD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 【解析】由题易得抛物线解析式为，即，故其准线方程为.
14. 【解析】因为，
所以，
所以，故.
15. 【解析】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图.由可得，则，所以当时，取最小值.
16.或 【解析】若分别在轴两侧（如图1），
到的距离.
由，得.
设的倾斜角为，则.
在中，，所以，
所以，所以.
若均在轴左侧（如图2），
在中，，所以，所以，
所以.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.解：（1）选①：因为，
所以.
又，得.
所以数列的通项公式为.
选②：因为等差数列中成等比数列，则，
解得或（舍）.
又，
所以数列的通项公式为.
选③：由等差数列中，得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，则，
所以.
而，
所以.
18.解：（1）解法1：设顶点，则，
由可得顶点的轨迹方程为.
解法2：由阿波罗尼圆的定义，当或时，都满足
所以顶点的轨迹是以为直径的圆，其方程为.
（2）将圆和相减可得，即所求直线的方程为.
圆心到的距离.
19.解：（1）设公比为，因为，所以.
又，
解得，所以.
（2）由（1）知，
则，
所以
，
所以数列的前项和.
20.（1）证明：由题意知，分别取的中点，连接，则，.
因为平面平面，平面平面直线平面，
所以平面，同理平面，所以.
因为平面平面，所以平面.
因为平面平面直线，所以.
又平面，所以直线平面.
（2）解：不妨设，所以平行四边形中，，
所以.
又平行四边形中，，
所以，所以，即.
以为原点，所在直线分别为轴，轴，直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.
又，则，
所以，所以.
设平面的法向量为，则得
令，则，所以平面的一个法向量为.
由（1）知，是平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21.解：（1）曲线，则.
设内切圆分别与切于点，则，，
所以
，即圆心的横坐标为-2.
设与的延长线交于点，则，所以.
因为分别为的中点，所以.
（2）曲线，则.
设与的延长线交于点，令，则，
所以.
因为分别为的中点，所以.
在中，由余弦定理得，即
，解得，所以.
在中，.
22.解：（1）由题意知，当为的中点时，设，则，
则，所以，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，设直线，
将直线与抛物线的方程联立消得，
则.
设抛物线在点处的切线方程为，
与抛物线的方程联立消得，则，得.
设抛物线在点处的切线方程为，同理可得.
联立消得，所以轴.
假设存在直线使与的面积相等，则，得.
又，解得或，此时重合，与题意矛盾，
故不存在直线使与的面积相等.