河南省郑州市管城回族区外国语学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省郑州市管城回族区外国语学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．作为世界文化遗产的长城，其总长大约为，将用科学计数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．B．1C．D．2
4．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为米，扶梯的长度是（ ）

A．B．C．D．
5．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受众人喜爱，小亮从反扣在桌面上的一张“冰墩墩”和两张“雪容融”卡片（除了图案外，其余都相同）中，随机抽取两张卡片留作纪念，则他抽取到一张“冰墩墩”和一张“雪容融”的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
7．在图中，一次函数与反比例函数的图象交点为A、B．则一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围是（ ）

A．或B．或
C．或D． 或
8．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中错误结论的个数有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积为( )
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知是二次函数，则m的值为 ．
12．计算： ．
13．的两根分别为、，则 ．
14．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为 ．
15．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，P是边上一动点，过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的处，当是以为腰的等腰三角形时，
三、解答题
16．先化简，再求值：，其中．
17．近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元）：
滴滴司机：4 5 9 10 4 5 5 5 4 9
美团司机：4 5 7 8 6 7 6 5 6 6
整理数据：画出统计表和统计图，如图所示：
“滴滴”网约车司机收入频数分布表：
根据以上信息，分析数据如表：
(1)请求出a的值；
(2)b＝ ；m＝ ；圆心角n＝ °；
(3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？
18．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)向下平移3个单位长度得到，点的对应点的坐标是________．
(2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为，点的对应点的坐标是________．
(3)的面积为________．
19．郑州双子塔（如图1）是中国第一高双子塔．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的李亮同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图2，李亮在小区门口点C处测得其中一个塔AB的顶部B的仰角为45°，然后在自家阳台上的点D处测得B的仰角为31°，若李亮家的阳台D到地面E的距离为60m，点E到点C的水平距离EC为90m，且A，C，E三点共线，求AB的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
21．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
22．掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离米时，实心球行进至最高点：米处．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生） ，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4米，此项考试得分为满分17分，按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
23．已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接
(1)如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系；
(2)如图2，
①点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；
②若点P在直线上，，，直接写出的长；
(3)设，若点运动到某一位置时使为等边三角形，请直接写出的长．
月收入
4千元
5千元
9千元
10千元
人数（个）
3
4
2
1
平均月收入/千元
中位数
众数
方差
“滴滴”
6
b
5
6.2
“美团”
a.
6
6
1.2
参考答案：
1．B
【分析】根据科学记数法的表示数的方法，当时，表示形式为，的值为所有整数位减，由此即可求解．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题主要考查用科学记数法表示绝对值大于的数，掌握科学记数法表示形式，的取值方法是解题的关键．
2．A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：该几何体的俯视图为：
，
故选：A
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．C
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
4．D
【分析】直接根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：如图，

在中，米，
∴米，
即扶梯的长度是米．
故选：D
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
5．C
【分析】（1）画出树状图，共有6个等可能的结果，抽取到一张“冰墩墩”和一张“雪容融”的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】解：两张正面印有雪容融图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有冰墩墩图案的卡片记为B，
根据题意画树状图如下：

共有6个等可能的结果，其中抽取到一张“冰墩墩”和一张“雪容融”的有4种结果，
∴抽取到一张“冰墩墩”和一张“雪容融”的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查了的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．D
【分析】由正方形的判定可知对角线相等的菱形是正方形．
【详解】A、四边相等的四边形是菱形，故原题说法错误；
B、四角相等的四边形是矩形；故原题说法错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原题说法错误；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，说法正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握判定一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，通常有两种方法：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
7．B
【分析】先根据反比例函数与一次函数的交点问题确定交点坐标，然后观察函数图象得到当或时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．
【详解】解：解方程组，得或.
所以A点坐标为，B点坐标为，
∴当或 ，一次函数值小于反比例函数值．
故选B．
【点睛】本题考查了利用函数图象解不等式，反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
8．C
【分析】依据相似三角形的判定定理一一证明，用排除法即可选择.
【详解】解：A.∵,,
∴∽;
B.∵,,
∴∽;
D.∵在同一个圆上，
∴,
又∵,
∴,,
∴∽;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了相似的判定定理，同时考查了圆内接四边形对角互补的性质，注意隐含的条件公共角、熟悉几种常见的相似模型是解题的关键.
9．B
【分析】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线可知：，，
对称轴，
，
，故①正确；
②由对称轴可知：，
，
时，，
，
，故②正确；
③关于的对称点为，
时，，故③正确；
④抛物线与轴有两个交点，
，
即，
，故④错误；
⑤当时，的最小值为，
时，，
，
即，故⑤错误；
故选：B．
10．C
【分析】根据图象可知点M在AB上运动时，此时AM不断增大，而从B向C运动时，AM先变小后变大，从而得出AC=AB，及时AM最短，再根据勾股定理求出时BM的长度，最后即可求出面积．
【详解】解：∵当时，AM最短
∴AM=3
∵由图可知，AC=AB=4
∴当时，在中，
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查函数图像的认识及勾股定理，解题关键是将函数图像转化为几何图形中各量．
11．1
【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可．掌握形如的函数，是二次函数，是解题的关键．
【详解】解：∵是二次函数，
∴且，
解得．
故答案为：1．
12．2
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算．
【详解】解：．
故答案为：2．
13．
【分析】依据题意，由根与系数的关系得，，，再由进而代入可以得解．
【详解】解：由题意，根据根与系数的关系可得，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键．
14．9
【详解】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），
∴D（﹣3，2），
∵双曲线y=经过点D，
∴k=﹣3×2=﹣6，
∴的面积=|k|=3．
又∵的面积=×6×4=12，
∴的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．
故答案为：9．
15．3或/或/或/或
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
【详解】解：在矩形中，
∵，，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
∴，
当时，过点作于H．设，则，，

∵，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，
．
综上所述，满足条件的的值为3或．
16．，原式
【分析】先根据分式减法法则计算括号内的，再将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，约分后可得化简结果，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则，二次根式的性质是解题的关键．
17．(1)6
(2)5，40，72
(3)选“美团”，见解析
【分析】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是掌握相关定义与有关的计算公式．
（1）根据加权平均数的计算公式可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用乘平均月收入7千元所占比例可得圆心角n的度数；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【详解】（1）解：“美团”的平均月收入，
故答案为:6；
（2）“滴滴”网约车司机收入的中位数，
“美团”网约车公司司机月收入中，“6千元”对应的百分比为，
圆心角n的度数为：．
故答案为：5，40，72；
（3）选“美团”，理由如下：
因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定．
18．(1)
(2)图见解析，
(3)10
【分析】本题考查作图平移变换、位似变换、三角形的面积，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质即可得出答案；
（2）根据位似的性质作图，即可得出答案；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）向下平移3个单位长度得到，点的对应点的坐标是．
故答案为：．
（2）如图，即为所求．
点的坐标是．
故答案为：．
（3）的面积为．
故答案为：10
19．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，正确理解题意，将实际问题转化为数字问题，准确计算锐角三角函数是解题的关键．
过点D作于点，根据题意得四边形为矩形，设，利用直角三角形锐角三角函数求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于点．

，，
，
四边形为矩形．
，
，，．
设，在中，，
∴，
∴，．
在中，，
∴，解得．
答：塔的高度约为．
20．(1)，图见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可；
（2）图象法求出不等式的解集即可；
（3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
图象如图所示：

（2）解：由图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：当点在轴正半轴上时：

设直线与轴交于点，
∵，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∴；
当点在轴负半轴上时：

，
∴
解得：或（不合题意，舍去）；
∴．
综上：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
21．(1)每次下降的百分率为
(2)每千克应涨价5元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
（1）设每次下降的百分率为，根据原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，列出方程进行求解即可；
（2）设每千克应涨价元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可．
读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，由题意，得：，
解得：（舍去）；
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克应涨价元，由题意，得：，
解得：，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每千克应涨价5元．
22．(1)
(2)该生在此项考试中得不到满分，理由见解析
【分析】（1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
【详解】（1）根据题意设关于的函数表达式为：，
把代入解析式得，
，
解得：
关于的函数表达式为：
（2）该生在此项考试中得不到满分，理由：
当，则，，
解得：，（舍去），
，
该生在此项考试中得不到满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
23．(1)；
(2)①成立，理由见解析；②的长为或；
(3)的长为或．
【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，因此可得；
（2）①过点作于，于，先根据AAS证明，则可得，再根据ASA证明，则可得是等腰直角三角形，因此可得，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，因此．
②分两种情况，分点在线段上和P点在的延长线上．作于点，先求出的长，则可知的长，再求出的长，则可求出的长，再根据求出的长即可．
（3）分两种情况，点在上方和点在下方．①F点在上方时，由是等边三角形可求出、的长，再求出的长，设，根据勾股定理列方程求出x，即可知的长，则可求出的长． ②F点在下方时，是等边三角形可求出、、的长， 再求出的长， 作于Q点， 设，在中据勾股定理列方程求出x，即可知的长，进而可可求出的长和的长．
【详解】（1），理由如下：
∵四边形是正方形
P是线段的中点
∵F是中点
（2）①如图，点P在线段上时，（1）中的结论仍然成立，理由如下：
过P点作于G，于H
又
∴四边形是矩形
∵正方形中，平分
又
∴是等腰直角三角形
∵F是中点
∵Rt中，F是中点
②(ⅰ)如图，P点在线段上时，作于Q
由①知
(ⅱ)如图，若P点的延长线，
过P点作于G，于H
又
∴四边形是矩形
∵正方形中，平分
又
∴是等腰直角三角形
∵F是中点
∵Rt中，F是中点
延长，作于Q点
∴

综上，的长为或
（3）
①如图，F点在上方时
∵为等边三角形
由①知是等腰直角三角形
延长，作于Q点
则
设则
由
得
解得（舍去）
②①如图，F点在下方时
∵为等边三角形
∵是等腰直角三角形
过P点作于Q点
则
设，则
在Rt中
解得（舍去），
综上，的长为或
【点睛】本题综合性较强，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的画出图形，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 注意分类讨论，不要漏解．