专练02 不等式恒成立问题-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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热点一
二次不等式在R上的恒成立问题
1.（2023春·天津红桥·高一天津三中校考期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
2.（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围________.
3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
4．（2023春·浙江·高一校联考期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.
5．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）当a为何值时，一元二次不等式(a－4)x2＋10x＋a＜4的解集为R?
【点评】
1.二次不等式在全集R上恒成立，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；
2.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
热点二
二次不等式在给定区间上的恒成立问题
6．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）在中，内角，，，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
11．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【点评】
1.若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
2.处理方法有，充分结合函数图象进行分类讨论或采用分离参数的方法．分离参数法即，转化为函数最值，如：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.
热点三
二次不等式能成立或有解问题
13．设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则( )
A．a≤2 B．a≥2
C．a≥ D．a≤
14.（2023·湖南长沙·高二长郡中学）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15.（2023·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．
热点四
给定参数范围的恒成立问题
17．(2021·海滨区模拟)若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．
18.（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.
19.（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）设，，函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若在上的最大值为，求的取值范围；
(3)当时，对任意的正实数，，不等式恒成立，求的最大值.
【点评】
1.转化与化归思想方法，是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．不等式恒成立通过分离参数，转化为函数最值问题．
2. 此类问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
3.换元思想能使问题简化.
热点五
均值不等式求解恒成立问题
20．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
21（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·广东湛江·统考二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知函数，则_____；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________．
24．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
25．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ______
26．（2023·新疆·统考二模）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)对于任意的正实数m，n，且，若恒成立，求实数a的范围.
热点六
换元法求解不等式恒成立问题
27．【多选题】（2022秋·湖北孝感·高三校联考阶段练习）已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ）
A． B．
C．的最小值为12D．的最小值为
28．（2023春·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
29．（2023·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，为奇函数，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______．
30．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知函数的表达式是，若对于任意都满足，则实数a的取值范围是_________．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________.
32．（2022秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）已知函数在区间上有最小值2和最大值10．
(1)求，的值；
(2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【综合点评】
1.求有关不等式恒成立问题，一般有三种方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数的图象和性质求解．
2.换元法常常用于求解复杂的不等式恒成立问题.