专题1.1 集合-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与函数的概念、不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
知识点一
元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．
（4）五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
知识点二
集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
知识点三
集合的基本运算
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA.
知识点四
集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.
常用结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.
4. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).
常考题型剖析
题型一：集合的基本概念
【典例分析】
例1-1.（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
例1-2．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后再看元素的限制条件.
(2)根据元素与集合的关系求参数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时，注意一次方程和一元二次方程的区别.
【变式训练】
变式1-1.（2023·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（ ）
A．－2B．－1C．D．
变式1-2.（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
题型二：集合间的基本关系
例2-1.（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
例2-2.（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合A的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则实数a的值是________
题型三：集合的基本运算
【典例分析】
例3-1.（2023·北京通州·统考模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
例3-2．（2023·安徽·校联考二模）若集合，则的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例3-3.（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）若集合，集合，则中整数的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【规律方法】
如何解集合运算问题
(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.
(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.
【变式训练】
变式3-1. （2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-3.（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知全集，集合，则集合等于（ ）
A．B．
C．D．
题型四：利用集合的运算求参数
【典例分析】
例4-1.（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知、，集合，集合，若，则（ ）
A．B．C．或D．
例4-2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，且，则（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】
（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑 时是否成立，以防漏解．
【变式训练】
变式4-1.（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知集合，若，则的值不可能是（ ）
A．B．C．0D．3
变式4-2.（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：集合的新定义问题
【典例分析】
例5-1. （2023·全国·高三专题练习）在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是集合的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例5-2．（2023·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．
【规律方法】
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
【变式训练】
变式5-1.（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
变式5-2.（2023·山西·高三校联考阶段练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A．NB．ZC．QD．
1．（2022·北京·统考高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
2．（2023·陕西西安·校联考一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
4.（2023·广东湛江·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
8.（2023·天津和平·统考一模）已知全集，则中元素个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
9．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
10．（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
12.（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A．B．C．8D．6集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}