专题3.7 函数的图象-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.以具体函数为载体，考查由函数的性质及解析式选图，由函数的图像选择解析式，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
2. 由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题．常常与导数结合考查.又如两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用等，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养．
知识点一
利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
知识点二
利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象eq \(――→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(纵坐标不变),\s\d5(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).
y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(横坐标不变),\s\d5(各点纵坐标变为原来的A（A>0）倍))y＝Af(x).
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(x轴下方部分翻折到上方),\s\d5(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d5(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.
常考题型剖析
题型一：作图
【典例分析】
例1-1. 对、，记，函数．
（1）求，．
（2）写出函数的解析式，并作出图像．
（3）若关于的方程有且仅有个不等的解，求实数的取值范围．（只需写出结论）
例1-2.（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)画出的图像，并直接写出的值域；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【规律方法】
函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
【变式训练】
变式1-1. （2023·全国·高三专题练习）设函数

(1)将函数写成分段函数；
(2)画出函数的图像；
(3)写出函数的定义域和值域.
变式1-2. (2018年全国卷Ⅲ理)设函数fx=2x+1+x−1．
（1）画出y=fx的图象；
（2）当x∈0 ， +∞，fx≤ax+b，求a+b的最小值．
题型二：图象的变换
例2-1.（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
例2-2.（2021·北京高三二模）已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
例2-3.（2023·全国·高三对口高考）已知函数定义在上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象：

(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【规律方法】
1．平移变换
当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．
2．对称(翻折)变换
y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．
【变式训练】
变式2-1.（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．4
变式2-2.（2023·全国·高三对口高考）把函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小为原来的，所得图象的函数解析式是__________．
变式2-3.（2023·全国·高三对口高考）利用函数的图象，作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
题型三：图象的识别
【典例分析】
例3-1．（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
例3-2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
例3-2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
识图的三种常用方法
1．抓住函数的性质，定性分析：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(可应用导数研究)
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
【变式训练】
变式3-1.（2023·山东德州·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
变式3-2. （2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）函数在区间的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
变式3-3.（2023春·江苏无锡·高二统考期末）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：根据图象确定解析式
【典例分析】
例4-1.（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
例4-2．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
例4-3．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
根据图象找解析式，一般先找差异，再验证.
【变式训练】
变式4-1. （2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式4-2.（2023·全国·高三对口高考）若函数的图象如图所示，则a的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
变式4-3.（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知的图象如图，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：函数图像的应用
【典例分析】
例5-1.（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
例5-2. （2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ）
A．2.5B．3C．4D．5
例5-3．（2023春·湖北咸宁·高二统考期末）已知正实数，，满足，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例5-4. （2023·上海·高三统考学业考试）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为___________.
例5-5（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
例5-6. （2023·北京·统考高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
【总结提升】
函数图象应用的常见题型与求解策略
【变式训练】
变式5-1．（2021·山东·高三学业考试）设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
变式5-2. （2023·全国·高三对口高考）已知定义域为R的偶函数满足对，有，并且当时，，若函数在上至少有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式5-3. （2018·全国高考真题（文））设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式5-4.（2023·四川成都·校考模拟预测）定义：设不等式的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式5-5. 【多选题】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知定义域为的函数满足，的部分解析式为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．若函数在内满足恒成立，则
C．存在实数，使得的图象与直线有7个交点
D．已知方程的解为，则
变式5-6.（2021秋·陕西延安·高三子长市中学校考阶段练习）把函数的图象向左平移()个单位长度后，所得图象对应的函数在上单调递增，则的取值范围为______.
一、单选题
1．（2023秋·山东聊城·高三校考期末）设函数，则满的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东·模拟预测）已知函数，，则如图所示图象对应的函数可能是（ ）

A．B．
C．D．
3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·山东滨州·统考二模）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．（2023·山东潍坊·校考一模）已知函数则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020秋·山东·高三统考期中）已知是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
①的最小正周期为4
②的图像关于直线对称
③当时，函数的最大值为2
④ 当时，函数的最小值为
A．①②③B．①②C．①②④D．①②③④
二、多选题
8．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
三、填空题
9．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）若定义在上的函数，对任意，都有，则称为“函数”．
现给出下列函数，其中是“函数”的有______________．（填出所有正确答案的序号）
①；
②；
③；
④．
10．（2023·全国·高三对口高考）已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，则、、的大小关系为__________．
11．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）已知函数 ，若且 ，则的取值范围是___________.
12．（2021春·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点之和为____________.