专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养．
2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断、三角函数线的应用综合考查，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
知识点一
象限角及终边相同的角
1.任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
2.终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
知识点二
弧度制
1.弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq \f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值eq \f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
2.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝(eq \f(180α,π))°，n°＝n·eq \f(π,180) rad．
3.扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝eq \f(l,r)，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
由圆心角为1 rad的扇形面积为eq \f(πr2,2π)＝eq \f(1,2)r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为eq \f(l,r) rad，故其面积为S＝eq \f(l,r)×eq \f(r2,2)＝eq \f(1,2)lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
知识点三
三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
（1）点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y；
（2）点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cs α＝x；
（3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝eq \f(y,x).它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sinx，x∈R； 余弦函数 y＝csx，x∈R； 正切函数 y＝tanx，x≠eq \f(π,2)＋kπ（k∈Z）．
三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
知识点四
三角函数线
三角函数线
常考题型剖析
题型一：象限角及终边相同的角
【典例分析】
例1-1.（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
例1-2.（2023·全国·高三对口高考）①若角与角的终边相同，则与的数量关系为 ；②若角与角的终边关于x轴对称，则与的数量关系为 ；③若角与角的终边关于y轴对称，则与的数量关系为 ；④若角与角的终边在一条直线上，则与的数量关系为 ；⑤如果是第一象限的角，那么是第 象限的角.
【规律方法】
1.象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
(2)轴线角：
【变式训练】
变式1-1.（2023·全国·高三对口高考）设，且的终边与角的终边相同，则 .
变式1-2.（2023·上海·高三统考学业考试）如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为 .
题型二：三角函数的定义
例2-1.（2023·四川宜宾·统考三模）已知角的终边上一点的坐标，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（ ）
A．B．C．D．
例2-2.（2023·全国·高三对口高考）已知的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点是终边上一点，则等于 .
【规律方法】
1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
3. 三角函数定义应用问题
(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，余弦值csα＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq \f(a,b)．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三对口高考）若点为角终边上一点，则等于 .
变式2-2.（2023·上海·统考模拟预测）已知为角α终边上一点，则= ．
题型三：三角函数值的符号判定
【典例分析】
例3-1．（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
例3-2.（2023·全国·高三对口高考）已知角的终边落在直线上，则 .
【规律方法】
判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三对口高考）若，则（ ）
A．且B．且
C．且D．且
变式3-2.（2022秋·陕西汉中·高三西乡县第一中学校考阶段练习）给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若，则与的终边相同；
⑤若，则是第二或第三象限的角.
其中正确命题的序号是（ ）.
A．②④⑤B．③⑤C．③D．①③⑤
题型四：扇形的弧长及面积公式
【典例分析】
例4-1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）（精确到）

A．B．C．D．
例4-2.（2023·广西·校联考模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
1.(1) 弧度制下l＝|α|·r，S＝eq \f(1,2)lr，此时α为弧度．扇形面积公式12lr=12αr2，扇形中弦长公式2rsinα2，扇形弧长公式l=αr.在角度制下，弧长l＝eq \f(nπr,180)，扇形面积S＝eq \f(nπr2,360)，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．
2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．
3.应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式训练】
变式4-1.（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面积）的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一），已知扇形的圆心角为，弧长为，且，则它的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式4-2.（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的周长为 .
题型五：三角函数线的应用
【典例分析】
例5-1．（2023·全国·高三对口高考）以下命题正确的是（ ）
A．都是第一象限角，若，则
B．都是第二象限角，若，则
C．都是第三象限角，若，则
D．都是第四象限角，若，则
例5-2.（2022·全国·高三专题练习）求函数的定义域．
【规律方法】
利用数形结合思想，通过做出三角函数线，比较大小、证明不等式、解三角不等式等．
【变式训练】
变式5-1.（2000·全国·高考真题）已知，那么下列命题中成立的是（ ）
A．若、是第一象限角，则
B．若、是第二象限角，则
C．若、是第二象限角，则
D．若、是第四象限角，则
变式5-2.（2023·全国·高三对口高考）（1）设，试证明：；
（2）若，试比较与的大小.
一、单选题
1．（2023·山西晋中·统考三模）角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P．已知．则点P可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三对口高考）有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若，则是第一、二象限的角；④若是第二象限的角，且是其终边上一点，则.其中正确的命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
3．（2022秋·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角为锐角，则角为钝角D．若角的终边过点，则
4．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．若，则
5．（2023春·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习）如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设O到地面的高OT为，点P为转轮边缘上任意一点，点P在x轴上的垂足为M，转轮半径为，记以OP为终边的角为，点P离地面的高度为，则（ ）
A．点P坐标为B．
C．D．
三、填空题
6．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则 .
7.（2023·上海·高三专题练习）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 .
8．（2023·全国·高三对口高考）若点在第一象限，则在内的取值范围是 ．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知角，则的大小关系为 ．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是 ．
11．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为 .
12.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为 ，若直线的倾斜角为，则其斜率为 ．名称
角度制
弧度制
弧长公式
l＝eq \f(nπr,180)
l＝__|α|r__
扇形面积公式
S＝eq \f(nπr2,360)
S＝ eq \f(|α|,2)r2 ＝ eq \f(1,2)lr
注意事项
r是扇形的半径，n是圆心角的角度数
r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长
有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}