29，福建省莆田八中、莆田侨中2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷

这是一份29，福建省莆田八中、莆田侨中2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合为自然数集N，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的性质求出集合B，根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，集合为自然数集N，
故，
故选：D
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．
【详解】推不出，所以“”是“”非充分条件，
推出，“”是“”必要条件.
故选：．
点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．
3. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则的值为（ ）
A B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的概念得即或，再根据性质可得时符合题意.
【详解】因为为幂函数，
所以，得或，
当时，为偶函数关于y轴对称，且在上单调递增，不满足题意；
当时，，偶函数关于y轴对称，且在上单调递减，满足题意，
故选：C
4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.
【详解】的最小正周期是，不符合题意.
在区间上单调递增，不符合题意.
对于，，
所以在区间上单调递增，不符合题意.
对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为，
且在区间上单调递减，B选项正确.
故选：B
5. 对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案.
【详解】对于函数，令，
故的图象过定点，
由于点在角的终边上，则，
故选：B
6. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果.
【详解】将两边同时平方可得，，
可得；
又，所以；
易知，可得；
又,所以.
故选：C
7. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：C.
8. 已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数的大致图象，令，方程有5个不同的实数解，转化为根的分布问题，分情况讨论即可.
【详解】函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，
令，则在，上各有一个实数解或的一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.
当在，上各有一个实数解时，设，则解得；
当的一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；
当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.
综上可知，实数a的取值范围为.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分).
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. ，为奇数
B. ，二次函数的图象关于轴对称
C. “”是“”的必要条件
D. 与是同一函数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，当是整数时，是偶数，故为假命题.
B选项，二次函数的对称轴为轴，所以B选项正确.
C选项，当时，，
所以“”是“”的必要条件，所以C选项正确.
D选项，的定义域是，的定义域是，
所以不是同一函数，故为假命题.
故选：BC
10. 若，则，中不可能是最大值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式可比较大小，判断B，C；利用作差法可比较的大小，判断A，D.
【详解】由于，则，
故，，则，不可能是最大值，B，C符合题意；
由于，
当时，，，
故，
即，故不可能是最大值，A符合题意，
故选：ABC
11. 函数， 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图像关于点对称
D. 该函数的周期是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的图象，结合函数周期、对称性以及最值求出参数，可得函数解析式，由此结合正弦函数的对称性、单调性以及周期，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由函数图象可知，
设函数最小正周期为T，则，则，
又，即，则
由于，故，即，
对于A，，
即函数的图象不关于直线对称，A错误；
对于B，，则，
由于正弦函数在上单调递减，
故函数在上单调递减，B正确；
对于C，，
故的图象关于点对称，C正确；
对于D，结合上面分析可知函数的周期是，正确，
故选：BCD
12. 下列结论正确的有（ ）
A. 函数图象关于原点对称
B. 函数定义域为且对任意实数恒有.则为偶函数
C. 的定义域为，则
D. 的值域为，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性定义可判断A；利用赋值法，结合函数奇偶性定义判断B；根据函数的定义域为R，列不等式求解，可判断C；根据函数的值域为R，列不等式求解，可判断D.
【详解】对于A，的定义域为R，满足，
即为奇函数，其图象关于原点对称，A正确；
对于B，令，则，
令，则，
即为奇函数，B错误；
对于C，的定义域为，即在R上恒成立，
故，即，C错误；
对于D，的值域为，即能取到内的所有值，
故或，即，D正确，
故选：AD
【点睛】易错点点睛：解答本题容易出错的是选项C、D的判断，解答时要注意区分定义域和值域为R时的区别，列出的不等式是不一样的，因此要特别注意这一点.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分).
13. 函数的定义域是__________．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】解：函数中，
令，
解得，
所以的定义域是，．
故答案为：，．
14. 扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.
【详解】则该扇形的面积为2，
故答案为：2.
15. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向_____(左、右、上、下)平移______个单位长度
【答案】 ①. 右 ②. ##
【解析】
【分析】化简函数解析式为，根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案.
【详解】由于函数，
故为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
故答案为：右；
16. 已知函数，则的单调增区间为______.
【答案】##（-1，1）
【解析】
【分析】先求定义域为，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.
【详解】因为，解得：，所以的定义域为.
令，则.
要求的单调增区间，只需.
所以，所以的单调增区间为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）化简求值
（2）已知为锐角，且满足求的值;
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算法则，即可求得答案；
（2）解方程求出，利用诱导公式化简，结合齐次式法求值，即可得答案.
【详解】（1）
；
（2）因为为锐角，且满足，
解得，（负值舍），
故.
18. 已知，其中．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意，先确定的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后把凑成的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可；
（2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得和的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，且，所以．
因为，，所以，
则，
又因为，所以．
【小问2详解】
由（1）可得，，
因为，
则，
所以
19. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间；
（2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域.
【小问1详解】
解：因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
解：当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为.
20. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为（0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和．
（1）求的表达式；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
【答案】（1）；（2）宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．
【解析】
【分析】
（1）根据距离为时，测算宿舍建造费用为20万元，可求的值，由此，可得的表达式；
（2），利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则，解得k=900，所以，则；
（2）因为，当且仅当，即时取等号，此时总费用最小．
答：宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值65万元．
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
21. 设函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；
（3）已知，，，试比较三个实数a，b，c的大小并说明理由.
【答案】（1）；
（2）减函数，证明见解析；
（3），理由见解析.
【解析】
【分析】（1）列出关于的方程，解之即可求得的值；
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数为减函数；
（3）先比较三个自变量的大小，再利用函数为减函数即可得到a，b，c的大小关系.
【小问1详解】
奇函数定义域为R
则，解之得，经检验符合题意.
【小问2详解】
由（1）得易得函数在R上单调递减，证明如下：
设任意，，
则，
由，可得，则，
又，
则，则
则为R上减函数.
【小问3详解】
由为R上增函数，可得，
由为上增函数，可得，
由为R上增函数，可得，
则，又由（2）得为R上减函数，
则，则
22. 已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．
（1）求m、n的值；
（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．
（3）令g(x)=，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．
【答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．
（2）求出函数f（x）的最小值，即可求解k的范围．
（3）问题转化为r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，通过换元得到r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，求出k的范围即可．
【详解】（1）函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．
可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，
（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，
不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，
可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，
f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值为：f（）=﹣，可得k＜﹣．
（3）g(x)==x+﹣3，函数F（x）=g（2x）﹣r•2x在x∈[﹣1，1]上有零点，
即g（2x）﹣r•2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，
即r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，
令t=，则r=2t2﹣3t+1，
∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，
即r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，
r=2k2﹣2t+1=2（t﹣）2﹣，（≤t≤2），
∴﹣≤r≤3，∴r的范围是[﹣，3]．