35，安徽省合肥一六八中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一

这是一份35，安徽省合肥一六八中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇个村的得分如下：，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．B．C．D．
2．如果椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．或C．D．或
3．数列中，，，则（ ）
A．210B．190C．170D．150
4．设、表示两条直线，、表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54种B．72种C．96种D．120种
6．已知直线交圆于两点，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．27D．30
7．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于函数,下列选项错误的有（ ）
A．函数最小正周期为B．表达式可写成
C．函数在上单调递增D．的图像关于直线对称
10．设为复数，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若互为共轭复数，则为实数D．若为虚数单位，n为正整数，则
11．已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A．
B．关于点对称
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，且，则实数k的取值范围是 .
13．球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为 ，球O的体积与圆锥M的体积的比值为 ．
14．设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知函数，其图象在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间和极值；
16．（本题15分）某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.
(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；
(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.
17．（本题15分）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点，将沿折到位置，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
18．（本题17分）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值.
19．（本题17分）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.
参考答案：
1．D
【详解】某乡镇个村的得分：，由小到大排序为：，所以中位数为，众数为.
故选：D.
2．B
【详解】解：因为椭圆的离心率为，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．
或.
故选：B．
3．C
【详解】由题知数列是公差为的等差数列，.
故选:C.
4．D
【详解】若，，则或与异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误；
若，过的平面与相交，设交线为，则，又，则，而，则，故D正确．
故选：D．
5．A
【详解】根据题意可知和都没有得到冠军，且不是最后一名，分两种情况：
①是最后一名，则可以为第二、三、四名，即有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
有种情况，此时有种名次排列情况；
②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有种.
故选A．
6．D
【详解】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为，
连接，则，即，所以，
即，
所以点的轨迹方程为，
即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设直线为，则到的最小距离为，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，
则四边形是直角梯形，且是的中点，
则是直角梯形的中位线，所以，即，
即，
所以的最小值为30.
故选：D.
7．A
【详解】由，得，
所以，
，
所以
，
故选：A
8．A
【详解】
因为，所以∽，
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，，①
又由得，
所以，即是等边三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把①代入上式得，所以离心率为．
故选：A．
9．BC
【详解】对于,函数最小正周期,故正确;
对于,,故错误;
对于,在上不单调,故错误;
对于,的图像关于直线对称,故正确;
故选:BC.
10．BC
【详解】对于A项，取，满足，但是不成立，故A项错误；
对于B项，当时，有，又，所以，故B项正确；
对于C项，互为共轭复数，则，
即为实数，故C项正确；
对于D项，，故D项错误．
故选：BC
11．BD
【详解】假设，则，都为偶函数，则所设函数符合题意，此时，所以A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
因为均为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，即，
因为，所以，所以，
所以，，又，，
所以，所以无法确定的值，所以C错误；
又，，所以，又，所以，
由知函数周期为4，则的周期也为4，则

，所以 D正确.
故选：BD
12．
【详解】因为，所以，又，，所以.
故答案为：
13． /120°
【详解】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R，圆锥M的母线长为l，则，所以，圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为；球O的体积为，圆锥M的高，圆锥M的体积为，所以球O的体积与圆锥M的体积的比值为．
故答案为：，
14．
【详解】方法一：设， 当时，
不妨设，
①当时，
②当时，，
若，则；
若，则；
③当时，，，
；
④当时，，，
同理，当时，可以证明
综上所述：S的最大值为.
方法二：由题意知，，则，
所以，解得，故S的最大值为.
故答案为：
15．(1)；
(2)的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；
【详解】（1），
，
又图象在点处的切线方程为，
所以，解得；
（2）由（1）得，
或时，，时，，
所以的增区间是和，减区间是，
极大值是，极小值是；
16．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题意知共有个团队，
一次抽取2个团队的情况有种，其中全是私家游团队的情况有种，
故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是，
整理得，解得或（舍去），
若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有种情况，
若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有种情况，
所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，
这3个团队全是跟团游团队的概率为；
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，
故的分布列为
数学期望.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知得，，
又由得，故，
因此，从而.
由，得.
由得.所以,.
又已知，于是，
故.又，且，平面.
所以平面.
（2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
，.
设是平面的法向量，
则，即，令,可得.
设是平面的法向量，
则，即，令,可得 ，
设平面与平面的夹角为，
于是，
平面与平面的夹角的余弦值是.
18．(1)
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线.
（2）（i）设，，直线，
与抛物线联立，得，因此，.
设直线，与抛物线联立，得，
因此，，则.同理可得.
所以.
因此直线，由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以直线过定点.
（ii）因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值.
19．(1)集合A不是规范数集；集合B是规范数集；
(2)证明见详解；
(3).
【详解】（1）对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集；
对于集合B：因为，
又，，，，，，
所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集.
（2）不妨设集合S中的元素为，即，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当时，等号成立；
综上所述：.
（3）法一：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，则，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当，使得，且，
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数的最小值为；
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数；
综上所述：范数的最小值.
法二：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
所以对于，同样有，则，
由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立，
即，，……，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值.
0
1
2
3
4
P