41，安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

这是一份41，安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x− 3y−3=0的倾斜角为( )
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
2.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,Ax0,y0是C上一点，|AF|=54x0，则x0=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
3.已知f(x)=14x2+sin(π2+x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是
( )
A. B. C. D.
4.直线mx−y+1=0与圆(x−2)2+(y−1)2=5的位置关系是
( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 与m的值有关
5.命题p:“30)的右焦点为F(c,0)，右顶点为A，以OA为直径的圆交直线y=cbx于点B(不同于原点O)，设△OBF的面积为S.若S=AB⋅AF，则椭圆C的离心率为
( )
A. 12B. 13C. 34D. 35
8.已知函数y=f(x)为R上的偶函数，且对于任意的x∈0,π2满足f′(x)csx+f(x)sinxfπ6B. f(0)> 2f−π4
C. fπ4< 2f−π3D. − 3f−π3>f−π6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l过点P(−2,4)，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为
( )
A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. 2x+y=0D. x=−2
10.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C相交于Px1,y1，Qx2,y2两点.若PQ的最小值为6，则
( )
A. 抛物线C的方程为y2=6x
B. PQ的中点到准线l的距离的最小值为3
C. y1y2=−36
D. 当直线PQ的倾斜角为60∘时，F为PQ的一个四等分点
11.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1>0，公比q>1，且T20231，则( )
A. 当n=2023时，Tn最小B. a2024>1
C. 存在n0,b>0 的右焦点F5,0 到渐近线的距离为4，则实轴长为 ．
15.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝(古印度货币单位)，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了an 子安贝(其中1≤n≤31 ，n∈N∗ )，数列an 的前n项和为Sn .若关于n的不等式Sn−62kexx+1 的解集中的正整数有且只有一个，则k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在等差数列an中，Sn为其前n项和(n∈N∗).若a2=3,S4=16．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=1an⋅an+1，求数列bn的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2，若函数f(x)在x=3处取得极值−25．
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)在[−2,2]上的最大值和最小值．
19.(本小题12分)
已知圆M经过两点A3, 3，B(2,2)且圆心M在直线y=x−2上．
(1)求圆M的方程；
(2)设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k ​1，k ​2，且k1k2=2，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标．
20.(本小题12分)
已知各项均为正数的数列{an}满足an+2=4(an+1−an)，a1=1,a2=4，n∈N∗．
(1)证明：数列{an+1−2an}为等比数列；
(2)记bn=an2n，证明数列{bn}为等差数列，并求数列{an}的前n项和Sn．
21.(本小题12分)
已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆C经过点A(− 3, 32)，B(1,−32)．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设过点F1,0的直线l与C交于M，N两点，点Q在x轴上，且MQ=NQ，是否存在常数λ使MN=λQF？如果存在，请求出λ；如果不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=axlnx−x2−2x(a>0)．
(1)若a=4，求f′(x)的极值;
(2)设g(x)=f(x)+2x，若函数g(x)有两个零点x1，x2，且x2x1>e，求证：lna+ln(x1⋅x2)>3．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了直线的斜截式方程，直线的倾斜角与斜率的应用，根据已知及直线的斜截式方程的计算，将直线的一般式方程化为直线的斜截式方程，可知直线的斜率，从而可得直线的倾斜角．
【解答】
解：将直线的一般式方程化为斜截式方程得y= 33x− 3，
所以直线的斜率为​33，
因为tan30°= 33，
所以倾斜角为30°．
故选D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的准线方程，几何性质，属于基础题．
利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．
【解答】
解：由抛物线C:y2=2x可得p=1,p2=12，
准线方程x=−12，
∵A(x0,y0)是C上一点，AF=54x0，x0>0．
∴54x0=x0+p2=x0+12，
解得x0=2．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数的导数的图像，属于基础题．
先化简f(x)= 14x2+csx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D，确定导函数在(− π3， π3)上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案.
【解答】
解：由f(x)= 14x2+sin (π2+x)= 14x2+csx，
∴f′(x)= 12x−sinx，它是一个奇函数，
其图象关于原点对称，故排除B，D；
令g(x)=f′(x)= 12x−sinx
又g′(x)= 12−csx，
当− π3 12，
∴g′(x)0，
又因为1，所以a2024>>1，故B正确;
对于选项A、D:因为a1a2023=a2a2022=⋯=a1012a1012=a10122，
所以a1a2⋯a2023=a101220231，故a1013>1，且a1>0，q>1，可知数列an是单调递增数列，
当n≤1012时，an≤a10121;
所以当n=1012时，a1a2⋯an最小，故选项A错误，选项D正确;
对于选项C:因为数列{an}是单调递增数列，且当n