83，湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高三下学期第三次月考数学试卷

这是一份83，湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高三下学期第三次月考数学试卷，共9页。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、单选题(本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意)
1．已知集合，集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
2．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若则（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量与的夹角为．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共 4 小题，每题5分，共 20 分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得 5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为由这数据得到新数据，其中，则所得新数据（ ）
A．平均数是3B．中位数是3C．方差是9D．极差是3
10．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．的对称轴过的对称中心
D．，使得
11．如图，在棱长为6的正方体中，是棱的中点，点是线段上的动点，点在正方形内（含边界）运动，则下列四个结论中正确的有（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．面积的最小值是
D．若，则三棱锥体积的最大值是
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经C上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则（ ）
A．
B．
C．的面积为
D．延长AO交直线于点M，
三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．的展开式中的系数为 ．
14．已知等差数列的前项和为，若，则 .
15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，且f（3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是 ．
16．如图，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球的表面积为 ；若点为线段的中点，点为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为 .
四、解答题(本大题共6 小题，共 70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，，且．
(1)求A；
(2)若为边上一点，，，，求的面积．
18．已知数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，，证明.
19．如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，，D是棱PC的中点．
(1)求证：；
(2)若，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值．
20．甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
(1)求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；
(2)已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的，甲机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求一等品不少于3件的概率．（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率）
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若为函数的正零点，证明：．
22．在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为．
(1)求证：直线过定点，并求此定点D的坐标；
(2)过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T．
①当取最大值时，求点P的纵坐标；
②证明：存在定点G，使为定值．
参考答案
单选题DADC BBCD
多选题CD AC BCD BCD
填空题
13．
14．
15．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
16．
解答题
17．(1)由正弦定理有，
因为，所以，则，
又，所以，
因为，得，
因为，所以.
(2)在中，由余弦定理得，
将代入，化简得，
解得或(舍去)，由于，所以，
因此的面积为．

18．
解：（1）当时，，得，
当时，，得，
数列是公比为3的等比数列，∴.
（2）由（1）得：，又，①，
∴，②，两式相减得：，
故，∴.
19．（1）证明：在中，，，，所以，
所以，
又平面平面ABC，平面平面，平面PAB，
所以平面ABC，
又平面ABC，所以，
又，，PB，平面PBC，所以平面PBC，
又平面PBC，所以．
（2）
在中，，，，所以．
以C为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
设平面ADB的一个法向量为，则
取，则，所以．
设直线BC与平面ADB所成的角为，则
，
所以直线BC与平面ADB所成角的正弦值是．
20．（1）根据题意，设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件，则A、B、C相互独立，设.
则有，解得，故甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为
（2）设乙机床加工的零件数为，则甲、丙机床加工的零件数分别为，则一等品的零件数总数为.
则将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取一件零件为一等品的概率为.
21．（1）函数的定义域为．
，
①当即时，，函数单调递增，增区间为，没有减区间；
②当时，由，可得函数的减区间为，增区间为；
③当时，由，可得函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，可知等价于．
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，则，
可得函数单调递减，则，
可得当时，．
故有，可得得证．
22．（1）设，因为，所以l斜率，
所以直线斜率，即，
所以，
所以的方程为，即，
所以直线过定点；
（2），
l的方程为，令，得，
所以直线的方程为，即，
所以直线过定点．
将与联立，得．
显然，设，则．
所以，
，
所以，
令，则，
设，则．
令，得（负根舍去），当时，单增；
当时，单减；所以当时，取得最大值，
即取得最大值，此时P的纵坐标为．
证明：因为直线过定点平行于l，所以，
所以点H在以为直径的圆上．
设G为中点，则，且，
所以存在定点，使得为定值．