49，河南省南阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份49，河南省南阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了考试结束，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共8页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．
2．答题前考生务必将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置．
3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效．
4．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题中只有一个答案是正确的．）
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式即可得出答案．
【详解】A、与被开方数不同，不是同类项，不符合题意；
B、与被开方数不同，不同类项，不符合题意；
C、与是同类项，符合题意；
D、与被开方数不同，不是同类项，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
2. 下列四个方程，哪个是一元二次方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为：．
【详解】、是一元二次方程，此选项符合题意；
、不是整式方程，此选项不符合题意；
、是一元一次方程，此选项不符合题意；
、中，有个未知数，此选项不符合题意；
故选：．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件
B. 某奖券的中奖率为，则买5张奖券一定会有一张中奖
C. “明天降雨的概率是”说明明天将有的地区降雨
D. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握概念是解此题的关键．
【详解】解：A、“将油滴入水中，油会浮在水面上”是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，则买5张奖券不一定会有一张中奖，故本选项说法错误，不符合题意；
C、“明天降雨的概率是”说明明天降雨的可能性大，但不一定明天将有的地区降雨，故本选项说法错误，不符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法，将转化为的形式即可，灵活掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
故选：．
6. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，
∴铅直高度为米，
由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为，
故选：．
7. 对于实数、、、给出一种新的运算，定义．例如：，则方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义下的运算法则可得出关于x的一元二次方程，再根据根的判别式，即可得出答案．
【详解】根据题干所给定义下的新运算，得，
整理得：．
∵
∴方程的根的情况为有两个相等的实数根．
故选A．
【点睛】本题考查新定义下的运算，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关键．
8. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
9. 如图，为等边三角形内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理、正切的定义，先证明把逆时针旋转后，与重合，与重合，再根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，最后根据正切的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，,
把逆时针旋转后，与重合，与重合，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
故选：B．
10. 如图，点、是直线与坐标轴的交点，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先过点C做出轴垂线段，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．
【详解】解：∵点、是直线与坐标轴的交点，
∴点，
如图，过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴ ，
则，，
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为，
∴点D坐标为，选项C符合题意，
故选：D
【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 方程的根是_____.
【答案】0和-4.
【解析】
【分析】根据因式分解即可求解.
【详解】解
∴x1=0,x2=-4,
故填：0和-4.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.
12. 若是最简二次根式，则的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：当时，是最简二次根式，
故答案为：3（答案不唯一）．
13. 如图，电路上有编号①②③④共4个开关和1个小灯泡，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为_____．

【答案】
【解析】
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出能够“点亮灯泡”的情况数，进而求出概率．
【详解】解：列表如下：
∴一共有12种情况，能使小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的的概率为：．
故答案为：．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
14. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．
15. 如图，中，，，点是射线上一动点，连接，作点关于直线的对称点，当四边形是菱形时，线段的长为_____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，角所对直角边是斜边的一半和勾股定理，分当点在上时和当点在延长线上时两种情况即可，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】当点在上时，如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当点在延长线上时，如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：或．
三、解答题（共8个小题，满分75分）
16. 计算或解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】（）根据二次根式的除法运算和利用平方差公式运算，然后分母有理化，再合并同类二次根式即可；
（）利用公式法求解即可；
本题考查了二次根式的混合运算， 解一元二次方程，解题的关键熟练掌握运算法则和灵活选取适当的方法解方程．
【小问1详解】
原式，
，
，
；
【小问2详解】
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
17. 为落实“双减”政策，丰富课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供选择：（合唱社团）、（硬笔书法社团）、（街舞社团）、（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表或画树状图法，求他俩选到相同社团的概率；
（2）学校计划从这四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图法求出学校同时选中（合唱社团）和（街舞社团）的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）画树状图，再由概率公式求解即可；
（）画树状图，再由概率公式求解即可；
本题考查用概率公式求概率，列表法或画状图法求概率，熟练掌握用列表法或画状图法求概率是解题的关键．
【小问1详解】
小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团（街舞社团），列树状图如下：
可能的结果共有种，他俩选到相同社团的情况共有种，
∴他俩选到相同社团的概率为；
【小问2详解】
列树状图如下：
可能的结果共有种，学校同时选中（合唱社团）和（街舞社团）的的情况共有种，
∴学校同时选中（合唱社团）和（街舞社团）的概率为．
18. 建于清咸丰四年的龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．小豫和小宛利用所学知识测量龙角塔高度，如图，小豫站在龙角塔旁的水平地面上处，小宛在之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点时，小豫刚好在平面境内看到龙角塔顶端，此时测得米，小豫眼睛距地面高度米；然后小宛沿前进至点处用测角仪测得龙角塔顶端处的仰角，已知测角仪高度为米，小宛行走的距离米，点在同一水平线上，都垂直．请你根据以上信息．求龙角塔的高（的长）（结果精确到1米，参考数据：）．
【答案】龙角塔的高约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，相似三角形的应用，过点作于，则四边形是矩形，设米，证明，由相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质、添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
，
，，，
四边形是矩形，
米，，
设米，
由题意得：，，
，
，即，
，
米，
，米，
，
解得：，
龙角塔的高约为米．
19. 【操作与探究】已知点在抛物线上移动．
（1）在下图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：
函数时，的取值范围是______；
方程的根是______；
若时，随的增大而减小，则的取值范围是______；
若当时，函数的最小值是，最大值是，直接写出的取值范围．
【答案】（1）画图见解析；
（2）；，；；．
【解析】
【分析】（）利用画函数图象的步骤即可求解；
（）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可；
此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
列表：
描点，连线，如图，
【小问2详解】
根据图象可知，时，的取值范围是，
故答案为：；
由得，，通过图象可知，，
故答案为：，；
根据图象可知，当时，随的增大而减小，
若时，随的增大而减小，
则的取值范围是，
故答案为：；
根据图象可知，
则的取值范围是．
20. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某商店以每件8元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件14元的价格出售．据统计，10月份的销售量为256件，12月份的销售量为400件．
（1）求该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率；
（2）从2024年元月份起，商场决定降价促销回馈顾客，经调查发现，该吉祥物挂坠每降价0.5元，月销售量就会增加20件．则该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达1560元？
【答案】（1）该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为
（2）该吉祥物售价为元时，月销售利润达1560元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程求解即可得出答案；
（2）设该吉祥物降价元，则每件的销售利润为元，销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：设该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
该吉祥物挂坠10月份到12月份销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设该吉祥物降价元，则每件销售利润为元，销售量为件，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
（元），
该吉祥物售价元时，月销售利润达1560元．
21. 如图，已知在中，，是边上的中线，，．
（1）求的长；
（2）求的正切值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）过作于点，得出，由可以得出，最后由勾股定理与线段和差即可求解；
（）过作于点，结合则 ，所以，根据性质可知，又由为中点，求出，即可；
本题主要考查了锐角三角函数的应用，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的性质与判定，作出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
【小问1详解】
解：过作于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，，
∴，
在中，．
22. 【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题：

图1 图2 图3
如图2，小东以点为原点，地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
请你帮小东解决问题：
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）求出通过隧道车辆的高度限制应为多少？
（3）老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使两点在抛物线上，两点在地面上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三根木杆、的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下．
【答案】（1）
（2）3米 （3）这个支架总长的最大值为15米
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数解析式，二次函数图象与性质以及二次函数的应用：
（1）先根据所建坐标系求出顶点P的坐标，再设解析式为顶点式，把原点O的坐标代入解析式，运用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）把代入解析式，求出的值，再减去即可；
（3）设点，则 ，，然后根据列出函数解析式，由二次函数的性质求最大值．
【小问1详解】
解：∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度为12米，
∴，
设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∵（米）
∴通过隧道车辆的高度限制应为3米；
【小问3详解】
解：设点，则 ，，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值是15，
∴这个支架总长的最大值为15米．
23. 综合与探究：
（1）【教材呈现】下面是华师版上教材页的一道习题，请完成证明：
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：；
（2）【拓展延伸】
如图，在四边形中，是的中点，是的中点．连接并延长分别与的延长线交于点．求证：；
（3）【问题解决】
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，当是直角三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）的长为或．
【解析】
【分析】（）证是的中位线，是的中位线，则，，再证，即可得出结论；
（）连接，取中点，连接，，由（）得，再证明，即可求证；
（）连接，取中点，连接，，由（）得，证明，，由，是的中点，则，，最后分当，当两种情况即可求解；
此题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理及正确添加辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
∵是对角线的中点，是的中点，是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，取中点，连接，，由（）得，

∵是的中点，是的中点，
∴，，
∴，，
∴；
【小问3详解】
如图，连接，取中点，连接，，由（）得，
同（）可知，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴当，
由勾股定理得，，
当，
由勾股定理得，，
综上可知的长为或．①
②
③
④
①
②
③
④
如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽，最大高度．车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙．你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？