57,河南省许昌市长葛市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
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这是一份57,河南省许昌市长葛市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题,共23页。试卷主要包含了选择题,四象限,解答题等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效,交卷时只交答题卡.
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题中均有四个选项,其中只有一个选项是正确的,请将你选择的结果涂在答题卡上对应位置)
1. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.
【详解】A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故A错误;
B.不是轴对称图形,是中心对称图形,故B错误;
C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故C错误;
D.既是轴对称图形,也是中心对称图形,故D正确.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义,如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
2. 已知m、n是方程的两个实数根,则..的值为( )
A. 2B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系:两根之和等于,两根之积等于.熟练掌握以上知识点是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系,求出的值,代入代数式求值即可.
【详解】解:,是方程的两个实数根,
,,
.
故选:D.
3. 已知反比例函数,下列说法中错误的是( )
A. 该函数的图象过点B. 该函数的图象分布在第二、四象限
C. 当时,的值随的增大而增大D. 当时,的值随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质,根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可求解,掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
【详解】解:、当时,,∴该函数的图象过点,故该选项正确,不合题意;
、∵,∴该函数的图象分布在第二、四象限,故该选项正确,不合题意;
、∵,∴在每一支曲线上,随的增大而增大,故该选项正确,不合题意;
、∵,∴在每一支曲线上,随的增大而增大,故该选项错误,符合题意;
故选:.
4. 如图,是的直径,C是上一点,连接,,过点C作的切线交的延长线于点P.则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理,连接、,根据是的直径,求出,根据等腰三角形性质求出,根据为的切线,求出,即可得出答案.
【详解】解:连接、,如图所示:
∵是的直径,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵为的切线,
∴,
∴,
故选:A.
5. 如图,,直线,与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知,,,则的长为( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质,掌握平行线分线段的对应线段成比例是解题的关键;
由得,代入数值求解即可.
【详解】解:,
,
,,,
,
解得:,
故选:C
6. 一不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球(这些球除颜色外都相同),通过大量重复实验得知,摸到红球的频率为0.4.据此估计:口袋中黄球约有( )个.
A 6B. 9C. 12D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了用频率估计概率,由概率结果还原事件.解决问题的关键是熟练掌握频率估计概率,利用概率公式构建方程,求出黄球个数.
设黄球有x个,根据口袋中装有10个红球,摸到红球的频率为0.4,根据用频率估计概率得到,解方程即可.
【详解】设黄球有x个,
∵大量重复实验,摸到红球的频率为0.4,
∴摸到红球的概率的估计值为0.4,
∴,
解得,.
经检验,是所列方程的解,且符合题意,
∴口袋中黄球约有15个.
故选:D.
7. 如图,某同学在投掷实心球,他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足,则该同学掷实心球的成绩是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当铅球落地时,高度,代入,求值即可,本题考查了二次函数在实际问题中的应用,解题的关键是:函数取值与实际问题之间的关系.
【详解】当时,,
解得:(舍),,
该同学掷实心球的成绩是,
故选:.
8. 如图,在反比例函数的图象上,轴于点H,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.利用锐角三角函数的定义求解,为的对边比斜边,求出即可.
【详解】解:点在反比例函数的图象上,
,
轴于,
,,
,
,
故选:B
9. 如图,在平面直角坐标系中,与位似,原点为位似中心,点A,B的坐标分别为.当点的纵坐标是时,与的面积比是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是坐标系中位似变换的性质,根据位似变换的性质解答即可.
【详解】解:点B的坐标分别为.点的纵坐标是,
与位似比为,
与的面积比是,
故选:C
10. 如图,若将抛物线向上平移个单位长度后,在范围内与x轴只有一个交点,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移、二次函数与x轴的交点问题,解答的关键是掌握二次函数的性质,以及与方程、不等式的关系.先根据函数图象平移规则“上加下减求得平移后的函数解析式,根据二次函数的性质,结合函数的图象,进而可列出不等式组求解即可.
【详解】解:根据题意,平移后的抛物线的表达式为,
∵平移后抛物线开口向下,对称轴为直线,
∴要使在范围内与x轴只有一个交点,只需时对应图象上的点在x轴下方,时对应函数图象上的点在x轴上或x轴上方,如图,
∴,解得,
故选:B.
二、填空题(每小题3分,共15分,请将结果写在答题卡上对应位置)
11. 已知关于的方程有两个相等的实数根,则的值是_____..
【答案】1
【解析】
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,
∴∆=0,
∴4﹣4m=0,
∴m=1,
故答案为1.
12. 已知二次函数的图象开口向下,则k的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质,掌握二次函数图象的性质是解题的关键.根据二次函数图象开口向下,可得二次项系数小于0,据此即可求解.
【详解】解:根据题意,得,
解得,
故答案为:.
13. 无色酚酞溶液是一种常用的酸碱指示剂,广泛应用于检验溶液酸碱性,通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色,遇中性溶液也不变色,遇碱溶液变红色.现有5瓶缺失标签的无色液体:蒸馏水(中性),白醋溶液(酸性),食用碱溶液(碱性),柠檬水溶液(酸性),火碱溶液(碱性),任取一瓶液体少许,将酚酞试剂滴入后呈现红色的概率是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了简单概率的计算.熟练掌握概率定义,利用概率公式求概率,是解决问题的关键.根据5瓶溶液中有2瓶溶液的碱性,计算任取一瓶液体少许,将酚酞试剂滴入后呈现红色的概率是.
【详解】∵5瓶缺失标签的无色液体:蒸馏水(中性),白醋溶液(酸性),食用碱溶液(碱性),柠檬水溶液(酸性),火碱溶液(碱性),其中是碱性溶液的有食用碱溶液(碱性),火碱溶液(碱性),共2瓶,
∴任取一瓶液体少许,将酚酞试剂滴入后呈现红色的概率是,.
故答案为:.
14. 如图,在的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A、B、C、D均在小正方形的顶点上.线段与弧交于点E,则图中的弧长为____________(结果保留)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解答的关键.本题求得该圆弧的半径为和即可求解.
【详解】解:如图,连接,取的中点O,连接,,设与交点为F,
∵,
∴为直径,点O为圆心,
∵,
∴该圆弧的半径为,
∵,,
∴,
∴,
∴弧长为,
故答案为:.
15. 如图,等边三角形,边长为6,点D为边上一点,,以D为顶点作边长为6的正方形,连接,.将正方形绕点D旋转,当取最小值时,的长为_________.
【答案】8
【解析】
【分析】过点A作于M,由等边三角形的性质得出,,得出,在中,由勾股定理得出,当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时,,即此时取最小值,在中,由勾股定理得出,在中,由正方形的边长及勾股定理即可得出.
【详解】解:过点A作于M,
是等边三角形,边长为6,
,
,
,
,
,
在中,,
当点E在DA延长线上时,,此时取最小值,
在中,,
正方形的边长为6,
,
在中,,
故答案为:8.
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题;熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键.
三、解答题(8小题,共75分,请将解答过程写在答题卡上对应位置)
16. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】先根据零指数幂,二次根式的性质,特殊角锐角函数值化简,再计算,即可求解.
【详解】解:
【点睛】本题主要考查了零指数幂,二次根式的性质,特殊角锐角函数值,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
17. 如图,直线与x轴交于点A,与反比例函数的图象交于点.
(1)求m、k的值.
(2)C是反比例函数图象上一点,连接,当时,求直线的解析式及的面积.
【答案】(1),
(2),
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质,解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤.
(1)把代入,即可求出m的值,得出点B的坐标,再把点B的坐标代入,即可求出k的值;
(2)先求出,则,过点C作轴于点D,得出,设,则,求出,则,用待定系数法求出直线的解析式为,进而得出,最后根据即可解答.
【小问1详解】
解:把代入得:,
∴,
把代入得:,
解得:,
综上:,;
【小问2详解】
解:把代入得:,
解得:,
∴,则,
过点C作轴于点D,
∵,轴,
∴,
∴,
设,则,
∴,
由(1)可得:
把代入得:,
解得:(舍去),
∴,
设直线的解析式为,
把,代入得:
,
解得:,
∴直线的解析式为,
令直线与x轴相交于点E,
把代入得:,
解得:,
∴,
∴,
∴
.
18. 2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会,吉祥物为“宸宸、琮琮、莲莲”.我校举办了“第19届亚运会”知识竞赛活动,拟将一些吉祥物“宸宸、琮琮、莲莲”作为竞赛奖品.主持人在3张完全相同的卡片上分别写上“”后放入一个盒子里.
(1)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片恰好抽到“宸宸”的概率为 ;
(2)某获奖者随机从盒子里抽取一张卡片后放回,再随机抽取一张卡片.请借助列表法或树状图求“两次抽取卡片上字母相同”的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】此题考查了列表法与树状图法,正确画出树状图是解题的关键,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
(1)直接由概率公式求解即可;
(2)画树状图,共有9种等可能的结果,符合题意的结果有3种,再由概率公式求解即可.
小问1详解】
从中任意抽取1张,抽得卡片上的图案恰好为“宸宸”的概率是,
故答案为:;
【小问2详解】
画树状图如下:
共有9种等可能的结果,“两次抽取卡片上字母相同”的结果有3种,
(两次抽取卡片上字母相同).
19. 如图,与相切于点B,过点A作与相交于点C,点D,是的直径,连接.
(1)求证:;
(2)当,时,的半径____________.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)连接,根据切线的性质得到,进而证明,根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论;
(2)连接,根据勾股定理求出,证明,根据相似三角形的性质列出比例式,把已知数据代入计算即可.
【小问1详解】
证明:如图,连接,
∵是的切线,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:如图,连接,
在中,,
由勾股定理得:.
∵是的直径,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,即,
解得:,
∴半径长为.
故答案为:.
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
20. 某商店经销一种书包,已知这种书包的成本价为每个40元.市场调查发现,这种书包每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)有如下关系:.设这种书包每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数表达式;
(2)这种书包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种书包的销售单价不高于58元,该商店销售这种书包每天要获得300元的销售利润,销售单价应定为多少元?
【答案】(1)
(2)当时,有最大值,最大值是400元
(3)该商店销售这种书包每天要获得300元的销售利润,销售单价应定为50元
【解析】
【分析】(1)根据利润=(进价成本价)×销售数量,计算即可.
(2)二次函数进行配方,根据二次函数的最值计算即可.
(3)时,构造一元二次方程求解即可.
【小问1详解】
,
即与之间的函数表达式.
【小问2详解】
根据题意得:,
,
∴当时,有最大值,最大值是400(元).
【小问3详解】
当时,,
解得,
,
不符合题意,舍去,
答:该商店销售这种书包每天要获得300元的销售利润,销售单价应定为50元.
【点睛】本题考查了二次函数的应用,熟练掌握二次函数的最值,解方程,理解方程根的取舍,是解题的关键.
21. 如图,在中,于点D,E是的中点,连接并延长交于点F.,.
(1)求的长及的正切值.
(2)若,则_________.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用,结合勾股定理和平行线分线段成比例求解是解题的关键.
(1)根据勾股定理求出,再求出,即可得到结果;
(2)过F作交于点G,根据,对应边成比例即可求得结果;
【小问1详解】
解:∵,
∴,
中,,,
由勾股定理得: ,
∵E是的中点,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:过F作交于点G,如图所示:
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,,
,
,
,
,,
即,
解得,
,,
解得,
经检验,是方程的解,
故答案为.
22. 如图,正方形边长为3,M是边一点(不与A,B重合),连接,将绕点D逆时针旋转得到,连接;与边交于点E.
(1)当平分时,求证:.
(2)当时,求的长.
(3)交于点F,若,则_______(用含n的代数式表示).
【答案】(1)证明过程见详解;
(2);
(3).
【解析】
【分析】(1)先证明,再证明;
(2)先用勾股定理求出的长,再用勾股定理求出的长;
(3)作于P,作于Q,证明,得对应成比例的线段即可得出.
【小问1详解】
证明:∵四边形是正方形,
,,
,
∵将绕点D逆时针旋转得到,
,,
,
,
,,
;
,
,
,
,
平分,
,
,
,
∴,
【小问2详解】
解:在中,
,
,
,
在中,.
的长为.
【小问3详解】
解:,
,
,正方形边长为3,
作于P,作于Q,
,
,
,
同理,,
,
,
.
故答案为:.
【点睛】本题是相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
23. 如图,灌溉车为绿化带浇水,喷水口H离地竖直高度为1.2m.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形,其水平宽度,竖直高度.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.4m,灌溉车到绿化带的距离为d(单位:m).
(1)求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程;
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标;
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,直接写出d的取值范围.
【答案】(1);6m
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)由顶点得,设,再根据抛物线过点,可得a的值,从而解决问题;
(2)由对称轴知点的对称点为,则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的,可得点B的坐标;
(3)根据EF=0.5,求出点F的坐标,利用增减性可得d的最大值为最小值,从而得出答案.
【小问1详解】
解:如图,由题意得是上边缘抛物线的顶点,
设,
又∵抛物线过点,∴,
∴,
∴上边缘抛物线的函数解析式为,当时,,
解得,(舍去),
∴喷出水的最大射程为6m;
【小问2详解】
解:∵对称轴为直线,
∴点的对称点为,
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的,
∴点B的坐标为;
【小问3详解】
解:∵,
∴点F的纵坐标为0.5,
∴,解得,
∵,
∴,
当时,y随x的增大而减小,
∴当时,要使,
则 ,
∵当时,y随x的增大而增大,且时,,
∴当时,要使,则,
∵,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,
∴d的最大值为,
再看下边缘抛物线,喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是,
∴d的最小值为2,
综上所述,d的取值范围是.
【点睛】本题是二次函数的实际应用,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,二次函数与方程的关系等知识,读懂题意,建立二次函数模型是解题的关键.
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