第05讲一元二次不等式及其解法-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

展开

这是一份第05讲一元二次不等式及其解法-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练，文件包含第5讲一元二次不等式及其解法原卷版docx、第5讲一元二次不等式及其解法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页，欢迎下载使用。

1.一元二次不等式
一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.
2.三个“二次”间的关系
3.分式不等式
(1)f(x)g(x)≥0⇔f(x)·g(x)≥0,g(x)≠0;
(2)f(x)g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0.
常用结论
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);绝对值不等式|x|0)的解集为(-a,a).
2.(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形;
(2)注意区分Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是⌀.
分类训练
探究点一一元二次不等式的解法
例1 (1) 解不等式组:-1(2)解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.
[总结反思] (1)解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图像得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集.
(2)求解含有参数的不等式时,首先需要对二次项系数进行讨论,再比较(相应方程)根的大小,注意分类讨论思想的应用.
变式题 (1)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-1,3)
C.(1,3)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
(2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
探究点二一元二次不等式恒成立问题
角度1 在实数集R上的恒成立问题
例2 若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,2]D.(-∞,2]
[总结反思] (1)若不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,则满足a>0,Δ=b2-4ac<0.
(2)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,则满足a<0,Δ=b2-4ac<0.
(3)若不等式ax2+bx+c>0恒成立,则要考虑a=0时是否满足.
变式题已知函数f(x)=-mx2+6mx-m+8的定义域为R,则实数m的取值范围为( )
A.{m|-1≤m≤0}
B.{m|-1C.{m|m≤0}
D.{m|m<-1或m>0}
角度2 在给定区间上的恒成立问题
例3 设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,0]B.0,57
C.-∞,57D.(-∞,0)∪0,57

[总结反思] (1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等式恒成立转化为最大(小)值问题,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a,b]).
(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式的两端,即变量分离,则可避免分类讨论,直接求出参数范围.
变式题若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈0,12恒成立,则a的最小值为( )
A.-52B.0
C.-2D.-3
角度3 给定参数范围的恒成立问题
例4 已知集合A={t|t2-4≤0},对于满足集合A的所有实数t,使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围为( )
A.(-∞,1)∪(3,+∞)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(3,+∞)
[总结反思] 利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范围情况下恒成立问题时,一定要搞清谁是变换后的主元,谁是变换后的参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变换后的主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数.
变式题若对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是 .
探究点三一元二次方程根的分布
例5 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程的不同两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围;
(2)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.
[总结反思] (1)关于正根、负根问题,一般有两种解题方法:一是根据根与系数的关系进行判断;二是应用根的分布,从f(0)的符号、对称轴与直线x=0的位置关系、判别式与0的关系进行判断.
(2)一元二次方程根的分布问题主要是根据图像并结合开口方向、判别式、特殊值符号、对称轴位置四个方面进行条件限制.具体问题中,如两个根都在直线x=r的两侧,此时结合图像可知只需考虑f(r)的符号即可,而不需要考虑判别式的限制条件,因此对于根的分布限制条件的确定一定要结合图像和二次函数的性质进行合理限定.
变式题设方程x2-mx+2=0的两根为α,β,其中α∈(1,2),则实数m的取值范围是 .
同步作业
1.设集合A={x|x2-6x-7<0},B={x||x-1|>2},则集合A∩B=( )
A.{x|3B.{x|-7C.{x|-1D.{x|-32.若00的解集为( )
A.x|1tB.x|x>1t或xC.x|x<1t或x>t
D.x|t3. 2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是( )
A.-12C.-124.关于x的方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,则实数a的取值范围为( )
A.153
C.-15.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是( )
A.[0,1]
B.(0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
6.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20的解集为( )
A.x|−12B.x|13C.{x|2D.x|−127. 若关于x的不等式x2-mx+3<0的解集是(1,3),则实数m的值为 .
8. 已知函数f(x)=ax2+bx+c,若关于x的不等式f(x)>0的解集为(-1,3),则( )
A.f(4)>f(0)>f(1)
B.f(1)>f(0)>f(4)
C.f(0)>f(1)>f(4)
D.f(1)>f(4)>f(0)
9. 若不等式x2+ax+1≥0对x∈0,12恒成立,则a的最小值为( )
A.0B.-2
C.-52D.-3
10.使不等式2ax2+ax-3>0对任意的a∈[1,3]恒成立的x的取值集合为A,使不等式mx2+(m-1)x-m>0对任意的x∈[1,3]恒成立的m的取值集合为B,则有( )
A.A⊆∁RB
B.A⊆B
C.B⊆∁RA
D.B⊆A
11.(多选题) 设[x]表示不小于实数x的最小整数,则满足关于x的不等式[x]2+[x]-12≤0的解可以为( )
A.10B.3
C.-4.5D.-5
12.(多选题)已知函数f(x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则下列说法正确的是( )
A.a2-b2≤4
B.a2+1b≥4
C.若关于x的不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0
D.若关于x的不等式x2+ax+b0)的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4
13.不等式x+5(x-1)2≥2的解集是 .
14. 若关于x的不等式mx2-mx+1<0的解集不是空集,则m的取值范围是 .
15.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.
(1)求证:不论m为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根大于2,另一个根小于2,求m的取值范围.
16.设函数f(x)=x2-(m+1)x+m.
(1)若m=2,求不等式f(x)<0的解集;
(2)求不等式f(x)<0的解集;
(3)若对任意的x∈[1,2],f(x)>m-4恒成立,求m的取值范围.
17. 定义区间[a,b],(a,b],(a,b),[a,b)的长度均为b-a.若不等式1x-1+2x-2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集,设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l,则( )
A.当m>0时,l=m2+2m+9m
B.当m>0时,l=3m
C.当m<0时,l=-m2+2m+9m
D.当m<0时,l=-3m
18. 设a,b∈R,若不等式|x2+ax+b|≤1对所有的x∈[m,n]恒成立,则n-m的最大值是 .
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两个相异
实根x1,
x2(x1有两个相等实根
x1=x2=-b2a
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集

ax2+bx+c<0
(a>0)的解集