第07讲函数的单调性与最值-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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这是一份第07讲函数的单调性与最值-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练，文件包含第7讲函数的单调性与最值原卷版docx、第7讲函数的单调性与最值解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页，欢迎下载使用。

1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D:①如果对任意x1,x2∈I,当x1(2)函数的平均变化率的定义
一般地,当x1≠x2时,称ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率.
(3)函数的单调性与平均变化率的联系
2.函数的最值
常用结论
1.函数单调性的常用结论:
(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.
(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反.
(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=f(x)的单调性相同.
(5)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.
3.函数最值的结论:
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
分类训练
探究点一函数单调性的判断与证明
例1 (1)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3x
C.f(x)=-1x+1D.f(x)=-|x|
(2)判断函数f(x)=x-3x+2,x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
[总结反思] (1)直接利用函数单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增+增”为增,“增-减”为增,“减+减”为减,“减-增”为减.(2)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1≠x2;②作差求Δf=f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断ΔfΔx的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
变式题 (1)(多选题) 下列函数中,值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=2x3B.y=x|x|
C.y=x-1D.y=x
(2)(多选题) 已知函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1A.f(x)=x,x≥1,0,-1B.f(x)=1,x=-π2,sinx,-π2C.f(x)=1,x≥1,0,-1D.f(x)=x,x≥1,x+1,x<1
探究点二求函数的单调区间
例2 (1)函数f(x)=lg13(-x2+x+6)的单调递减区间为( )
A.-2,12B.-∞,12
C.12,+∞D.12,3
(2)设函数f(x)=1,x>1,0,x=1,-1,x<1,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是 .
[总结反思] (1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②图像法;③导数法.
(2)求复合函数单调区间的一般步骤:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.
(3)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接.
变式题 (1) 已知函数f(x)的图像如图2-7-1所示,则函数g(x)=12f(x)的单调递增区间为( )
图2-7-1
A.(-∞,-3],[0,3]
B.[-3,0],[3,+∞)
C.(-∞,-5],[0,1]
D.[-1,0],[5,+∞)
(2) 函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则函数y=f(|x-2|)的单调递减区间是( )
A.(-∞,-2)B.(-∞,2)
C.(2,+∞)D.R
探究点三利用函数单调性解决问题
微点1 利用函数的单调性比较大小
例3 已知α,β∈R,且α>β>0,则( )
A.tan α-tan β>0
B.ln α-ln β>0
C.tan α+tan β>0
D.ln α+ln β>0
[总结反思] 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解.
微点2 利用函数的单调性解决不等式问题
例4 (1)已知函数f(x)=3e-x,x≤0,-4x+3,x>0,若f(a2-3)≥f(-2a),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1]
B.(-∞,-3]∪[1,+∞)
C.(-∞,1]∪[3,+∞)
D.[-3,1]
(2)函数f(x)=ex+x-e,若实数a(a>0且a≠1)满足flga34<1,则a的取值范围为 .
[总结反思] 利用函数单调性解不等式的具体步骤:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)根据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1微点3 利用函数的单调性求最值问题
例5 (1)已知a>0,设函数f(x)=2020x+1+20192020x+1+2019x3(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为( )
A.2019B.2020
C.4039D.4038
(2)已知x>0,则x+9x-3·x+25x+5的最小值为( )
A.1215B.48
C.79316D.60
[总结反思] 若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.
微点4 利用函数的单调性求参数的范围(或值)
例6 (1) 已知函数f(x)=ax2-x-a+2,若y=ln[f(x)]在12,+∞上为增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.[1,2)
C.[1,2]D.(-∞,2]
(2)若函数f(x)=(x-1)|x+a|在区间(1,2)上为增函数,则满足条件的实数a的值为 .(写出一个即可)
[总结反思] 利用函数的单调性求参数的范围(或值)的注意点:(1)视参数为已知数,依据函数的图像或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.
▶ 应用演练
1.【微点1】已知函数f(x)=1x-x,且a=fln 32,b=flg213,c=f(20.3),则( )
A.c>a>b
B.a>c>b
C.a>b>c
D.b>a>c
2.【微点2】若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,则不等式f(x)>f[8(x-2)]的解集是( )
A.(0,+∞)
B.(0,2)
C.(2,+∞)
D.2,167
3.【微点1】函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意两个正数x1,x2(x1f(x2)x2.记a=25f(0.22),b=f(1),c=-lg53·f(lg135),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>b>a
B.b>c>a
C.a>b>c
D.a>c>b
4.【微点3】已知函数f(x)=2x+1+2m,x∈[0,+∞),2x2-mx,x∈(-∞,0)的最小值为2m,则实数m的值为( )
A.-2B.-4
C.-8D.-16
5.【微点4】函数f(x)=-x2-2ax+4在[2,5]上单调,则a的取值范围是 .
同步作业
1.在区间(0,+∞)上,下列函数与函数f(x)=1x的单调性相同的是( )
A.y=4xB.y=x2-3x
C.y=3xD.y=1-x
2.函数f(x)的单调递增区间是(-2,3),则y=f(x+5)的单调递增区间是( )
A.(3,8)B.(-7,-2)
C.(-2,8)D.(-2,3)
3.函数y=lg12(x2-3x+2)的单调递增区间是( )
A.(-∞,1)B.(2,+∞)
C.-∞,32D.32,+∞
4.已知函数f(x)=e-x-x,则不等式f(x-1)-f(2)<0的解集为( )
A.(-1,3)B.(-∞,3)
C.(3,+∞)D.(-1,1)∪(1,3)
5.已知函数f(x)=-x|x|+2x,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)的单调递减区间是(-∞,-1)
C.f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)
D.f(x)的单调递增区间是(-1,1)
6.若函数f(x)=ax2+2x+5在(4,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
7.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 .
8.函数y=2−xx+1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( )
A.(1,2)B.(-1,2)
C.[1,2)D.[-1,2)
9.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的x1,x2∈R,x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立.若f(x2+1)>f(m2-m-1)对x∈R恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,2)
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
10.若函数f(x)=2|x-2|,x≤2,lg2(x+a),x>2的最小值为f(2),则实数a的取值范围为( )
A.a<0B.a>0
C.a≤0D.a≥0
11.(多选题)已知a>b>0,函数f(x)=2x-4x,则( )
A.f(a2)B.f(b2)C.f(ab)D.f(ab)12.(多选题)设函数f(x)是定义域为R且周期为2的偶函数,在区间[0,1]上,f(x)=x2,x∈M,x,x∉M,其中集合M=xx=mm+1,m∈N.则下列说法正确的是( )
A.f43=49
B.f(x)在[2m,2m+1](m∈N)上单调递增
C.f(x)在mm+1,m+1m+2(m∈N)上单调递增
D.f(x)的值域为[0,1]
13.已知函数f(x)=x+1|x|+1,则f(x2-2x)14.已知函数f(x)=x-a2x+a3在(1,3)上是减函数,则实数a的取值范围是 .
15.若对任意x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是 .
16.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:f(x)为增函数;
(3)若f15=-1,求f(x)在125,125上的最值.
17.已知函数f(x)=12x,g(x)=ax2+2x-3,a∈R.
(1)当a=1时,求函数y=f[g(x)]的单调递增区间和值域;
(2)求函数y=g[f(x)]在区间[-2,+∞)上的最大值h(a).
18.已知f(x)为定义在(0,+∞)上的函数,且对任意两个不相等的正实数x1,x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)x1-x2<0.记a=f(20.2)20.2,b=f(0.22)0.22,c=f(lg25)lg25,则( )
A.aC.c19.对于区间[a,b](a(1)写出函数f(x)=x2的一个“保值”区间为 ;
(2)若函数f(x)=x2+m(m≠0)存在“保值”区间,则实数m的取值范围为 .
图像描述
自左向右看图像是
自左向右看图像是
单调区间
单调递增区间
单调递减区间
平均变化率与函数单调性的联系
ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1>0在I上恒成立
ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1<0在I上恒成立
前提
设函数y=f(x)的定义域为D,且x0∈D
条件
对于任意x∈D,都有
对于任意x∈D,都有
结论
f(x0)为最大值,x0称为
最大值点
f(x0)为最小值,x0称为最小值点