第15讲　变化率与导数、导数的运算-2024高三一轮复习讲义

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1.变化率与导数
(1)平均变化率:
(2)导数:
2.导数的运算
1.(1)平均 斜率 平均速度 (2)x=x0 斜率
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 瞬时 速度
2.αxα-1 cs x -sin x axln a 1xlna
f'(x)±g'(x) f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x) f'(u)g'(x) f'[g(x)]g'(x) y'x=y'uu'x
分类训练
探究点一 平均变化率与瞬时变化率
例1 (1)若函数f(x)=x2+x,则函数f(x)在[-1,2]上的平均变化率为( )
A.0B.2
C.3D.6
(2)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯-137衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系M=f(t),且f(t)=600×2-t30,则铯-137的含量M在t=30时的瞬时变化率为( )
A.-10ln 2 太贝克/年
B.300ln 2 太贝克/年
C.-300ln 2 太贝克/年
D.300 太贝克/年
例1 [思路点拨] (1)先求出函数f(x)=x2+x在[-1,2]上因变量的改变量Δf,再由ΔfΔx即可求出结果;(2)先求出f'(t),再将t=30代入计算即可.
(1)B (2)A [解析] (1)由题意可得,Δf=f(2)-f(-1)=6,故平均变化率为ΔfΔx=62-(-1)=2,故选B.
(2)依题意,f'(t)=-130×600×2-t30ln 2=-20×2-t30ln 2,所以铯-137的含量M在t=30时的瞬时变化率为f'(30)=-20×2-1ln 2=-10ln 2(太贝克/年),故选A.
[总结反思] (1)平均变化率的计算,先计算Δf=f(x+Δx)-f(x)与Δx=(x+Δx)-x,再计算ΔfΔx=f(x+Δx)-f(x)(x+Δx)-x;(2)函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的计算公式为limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f'(x0),特别要注意增量的匹配.
变式题 (1)(多选题)若物体的运动规律是s=f(t),则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为( )
A.limΔt→0f(t0+Δt)-f(t0)Δt
B.limΔt→0f(t0)-f(t0+Δt)Δt
C.f'(t0)
D.f'(t)
(2)若f'(x0)=3,则limΔx→0f(x0+3Δx)-f(x0)Δx=( )
A.3B.9
C.19D.6
变式题 (1)AC (2)B [解析] (1)对于A,limΔt→0f(t0+Δt)-f(t0)Δt表示物体在时刻t0的瞬时速度;对于B,limΔt→0f(t0)-f(t0+Δt)Δt表示物体在时刻t0的瞬时速度的相反数;对于C,f'(t0)表示物体在时刻t0的瞬时速度;对于D,f'(t)表示物体的速度关于时间t的函数.故选AC.
(2)limΔx→0f(x0+3Δx)-f(x0)Δx=3limΔx→0f(x0+3Δx)-f(x0)3Δx=3f'(x0)=9.故选B.
探究点二 导数的运算
例2 (1)(多选题)下列求导数运算正确的是( )
A.[ln(1-2x)]'=22x-1
B.(lg3x)'=1xln3
C.(x2sin x)'=2xcs x
D.exx'=ex(x-1)x2
(2)已知函数f(x)=sin x-cs x,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=2f(x0),则1+sin2x0cs2x0-sin2x0=( )
A.-195B.195
C.113D.-113
(3)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=3xf'(1)+2ln x,则f'(1)=( )
A.-eB.-1
C.1D.e
(4)已知f(x)=x·(a+ln x),若f'(e)=1,则a= .
例2 [思路点拨] (1)根据导数的四则运算法则及复合函数的求导法则求解即可判断;(2)求出原函数的导函数,然后由f'(x0)=2f(x0),求出sin x0与cs x0的关系,同时求出tan x0的值,化简要求解的分式,最后把tan x0的值代入即可;(3)对f(x)求导,令x=1即可求得f'(1);(4)先求导,再由f'(e)=1求a.
(1)ABD (2)A (3)B (4)-1 [解析] (1)设u=1-2x,y=ln u,则y=ln(1-2x)是由y=ln u与u=1-2x复合而成的,所以y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(1-2x)'=1u·(-2)=-21-2x=22x-1.(lg3x)'=1xln3,(x2sin x)'=2xsin x+x2cs x,exx'=ex·x-exx2=ex(x-1)x2,故选ABD.
(2)因为函数f(x)=sin x-cs x,所以f'(x)=cs x+sin x,由f'(x0)=2f(x0),得cs x0+sin x0=2sin x0-2cs x0,即3cs x0=sin x0,所以tan x0=3,所以1+sin2x0cs2x0-sin2x0=2sin2x0+cs2x0cs2x0-2sin x0cs x0=2tan2x0+11-2tan x0=-195.故选A.
(3)设f'(1)=a,则f(x)=3ax+2ln x,f'(x)=3a+2x,所以f'(1)=3a+2=a,故a=-1,即f'(1)=-1.故选B.
(4)由题意可得f'(x)=(a+ln x)+x×1x=ln x+a+1,则f'(e)=ln e+a+1=a+2=1,∴a=-1.
[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.
探究点三 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例3 曲线y=12x2-ln(2x)在某点处的切线的斜率为-32,则该切线的方程为( )
A.3x+2y-1=0
B.3x+2y+1=0
C.6x+4y-5=0
D.12x+8y-7=0
例3 [思路点拨] 先求导得y'=x-1x,再令y'=x-1x=-32,解得x=12,再求出切点坐标12,18,最后利用切线方程的点斜式求解即可.
D [解析] 求导得y'=x-1x,令y'=x-1x=-32,解得x=-2(舍去)或x=12,可得切点的坐标为12,18,所以该切线的方程为y-18=-32x-12,整理得12x+8y-7=0.故选D.
[总结反思] (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
变式题 [2020·山东潍坊五县联考] 已知函数f(x)=ln x+2x2-3x,则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为 .
变式题 2x-y-3=0 [解析] 由已知得f'(x)=1x+4x-3,则f'(1)=2,f(1)=-1,则切线方程为y-(-1)=2(x-1),即2x-y-3=0.
角度2 求切点坐标
例4 已知曲线y=12x2+x的一条切线的斜率是3,则该切点的横坐标为 .
例4 [思路点拨] 根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点横坐标处的导数值,令导数y'=x+1=3,解得x的值,即可得出结果.
2 [解析] 由于y=12x2+x,则y'=x+1,由导数的几何意义可知,曲线的切线斜率即对应的函数在切点横坐标处的导数值.曲线的一条切线的斜率是3,令y'=x+1=3,可得x=2,所以切点的横坐标为2.
[总结反思] (1)f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.
变式题 若曲线y=2x在x=t处的切线为y=ax,则t所在的区间为( )
A.0,12B.12,1
C.1,32D.32,2
变式题 C [解析] 由y=2x,得y'=2xln 2,∴曲线y=2x在x=t处的切线斜率k=2tln 2.∵曲线y=2x在x=t处的切线为y=ax,∴a=2tln 2,又当x=t时,y=2t,则点(t,2t)在直线y=ax上,∴at=2t,∴t=lg2e∈1,32.故选C.
角度3 求参数的值或范围
例5 (1)函数f(x)=x2+aln x的图象在x=1处的切线过点(0,2),则a=( )
A.2B.-2
C.3D.-3
(2)已知方程3x2-15ax+a2=0的两实根为x1,x2,若函数f(x)=x(x-1)(x+1)的图象在x=x1与x=x2处的切线互相垂直,则满足条件的a的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
例5 [思路点拨] (1)先求得切点坐标,然后求得切线的斜率,写出切线方程,并将已知点的坐标代入,由此求得a的值;(2)由题得x1+x2=153a,x1x2=a23,根据两切线互相垂直得到9x12x22-3(x12+x22)+2=0,代入化简即得解.
(1)D (2)D [解析] (1)当x=1时,f(1)=1,故切点为(1,1).f'(x)=2x+ax,切线斜率k=f'(1)=2+a,所以切线方程为y-1=(2+a)(x-1),因为切线过点(0,2),所以2-1=(2+a)(0-1),解得a=-3.故选D.
(2)f(x)=x3-x,f'(x)=3x2-1,依题意知(3x12-1)(3x22-1)=-1,即9x12x22-3(x12+x22)+2=0.∵x1+x2=153a,x1x2=a23,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=53a2-23a2=a2,∴a4-3a2+2=0,解得a2=2或a2=1,即a=±2或a=±1,经检验每个值都符合题意,故满足条件的a有4个.故选D.
[总结反思] (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.
变式题 若点A(x1,y1),B(x2,y2)(x11的图象上任意两点,且函数f(x)的图象在点A和点B处的切线互相垂直,则x1x2的最大值为 .
变式题 e [解析] 由导数的几何意义知,点A处的切线的斜率为f'(x1),点B处的切线的斜率为f'(x2).如图,当函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,有f'(x1)f'(x2)=-1.由(1-ex)'=-ex,(ln x)'=1x,可得-ex1·1x2=-1,即x2=ex1.因为x2>1,所以00,即h(x)在(0,1]上单调递增,可得h(x)有最大值h(1)=1×e1=e,故x1x2的最大值为e.
角度4 两曲线的公切线
例6 若函数f(x)=ln(x+2)的图象在点P(x0,y0)处的切线l与函数g(x)=ex的图象也相切,则满足条件的切点P的个数为 .
例6 [思路点拨] 本题是公切线问题,利用f'(x)求出切线l的斜率k=1x0+2,设切线l与g(x)的图象相切于点(m,n)得1x0+2=em,及ln(x0+2)-x0x0+2=em-mem,解出x0即可.
2 [解析] 函数f(x)=ln(x+2)的导数为f'(x)=1x+2,可得点P(x0,y0)处的切线斜率为1x0+2,则切线l的方程为y=1x0+2x+ln(x0+2)-x0x0+2.函数g(x)=ex的导数为g'(x)=ex,设l与g(x)的图象相切于点(m,n),可得切线斜率为em,切线方程为y=emx+em-mem,由题意可得1x0+2=em,ln(x0+2)-x0x0+2=em-mem,可得x0+1x0+2-x0+1x0+2ln(x0+2)=0,解得x0=-1或e-2,则满足条件的P的个数为2.
[总结反思] 既与曲线y=f(x)相切又与曲线y=g(x)相切的直线叫两曲线的公切线,这类问题的解法步骤是:
(1)设直线与曲线y=f(x)相切于点P(x1,f(x1)),与曲线y=g(x)相切于点Q(x2,g(x2));
(2)切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1),
同理切线方程也为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),即y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2);
(3)由f'(x1)=g'(x2),f(x1)-f'(x1)x1=g(x2)-g'(x2)x2,解出x1,x2,从而得出切线方程.
变式题 已知直线y=kx+b与函数y=ex的图象相切于点P(x1,y1),与函数y=ln x的图象相切于点Q(x2,y2),若x2>1,且x2∈(n,n+1),n∈Z,则n= .
变式题 4 [解析] 依题意可得ex1=k=1x2,y1=ex1=kx1+b,y2=ln x2=kx2+b,整理得x2ln x2-ln x2-x2-1=0,令f(x)=xln x-ln x-x-1(x>1),则f'(x)=ln x-1x在(1,+∞)上单调递增且f'(1)f'(2)<0,∴存在唯一实数m∈(1,2),使f'(m)=0,f(x)min=f(m)0,
∴x2∈(4,5),故n=4.
同步作业
1.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品时,需要对原油进行冷却和加热.如果第x h时,原油的温度(单位: ℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8),则第4 h时,原油温度的瞬时变化率为( )
A.-1B.1
C.3D.5
1.B [解析] 根据题意,第4 h时,原油温度的瞬时变化率为f'(4),又f(x)=x2-7x+15,可得f'(x)=2x-7,则f'(4)=1.故选B.
2.函数y=ln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线方程为( )
A.x+ey-1+e=0B.x-ey+1-e=0
C.x+ey=0D.x-ey=0
2.D [解析] y=ln x的导数为y'=1x,可得函数y=ln x的图象在x=e处的切线斜率为1e,且切点为(e,1),则切线的方程为y-1=1e(x-e),化简得x-ey=0.故选D.
3.函数f(x)=x+ax的图象在x=1处的切线方程为2x-y+b=0,则a+b=( )
A.-3B.-1
C.0D.1
3.A [解析] 函数f(x)=x+ax的导数为f'(x)=1-ax2,可得函数f(x)=x+ax的图象在x=1处的切线的斜率k=1-a,由切线方程为2x-y+b=0,可得1-a=2,即a=-1,则f(x)=x-1x,可得切点的坐标为(1,0),所以2-0+b=0,即b=-2,则a+b=-3,故选A.
4.已知函数f(x)=x3+2x2f'(1)+2,则函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为( )
A.4B.12
C.16D.18
4.A [解析] ∵函数f(x)=x3+2x2f'(1)+2,∴f'(x)=3x2+4xf'(1),∴f'(1)=3+4f'(1),解得f'(1)=-1,∴f'(x)=3x2-4x,∴f'(2)=3×22-4×2=4,∴函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为4.故选A.
5.已知函数f(x)=(x2-a)ln x,f'(x)是函数f(x)的导函数,若f'(1)=-2,则a的值为 .
5.3 [解析] ∵f(x)=(x2-a)ln x,∴f'(x)=2xln x+x2-ax,∴f'(1)=1-a=-2,得a=3.
6.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=4015100-x(80 [解析] 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数,因为c(x)=4015100-x(807.曲线y=x3+x+3上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是 .
7.π4,π2 [解析] y=x3+x+3的导数为y'=3x2+1,可得曲线y=x3+x+3上任意一点处的切线的斜率k≥1,设倾斜角为θ,可得tan θ≥1,可得π4≤θ<π2.
8.已知f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x+sin(2x-2),则曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为( )
A.-3B.-2
C.2D.3
8.A [解析] ∵当x>0时,f(x)=x+sin(2x-2),f(x)为偶函数,∴当x<0时,f(x)=f(-x)=-x-sin(2x+2),此时f'(x)=-1-2cs(2x+2),∴f'(-1)=-1-2cs 0=-3,故选A.
9.函数f(x)=3sin x+4cs x的图象在点T(0,f(0))处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于( )
A.43B.53
C.73D.83
9.D [解析] 由f(x)=3sin x+4cs x,得f'(x)=3cs x-4sin x,∴f'(0)=3,又f(0)=4,∴切线l的方程为3x-y+4=0,取x=0,得切线l在y轴上的截距b=4,取y=0,得切线l在x轴上的截距a=-43,
∴切线l与坐标轴围成的三角形面积S=12|a||b|=83.
10.过点P(-1,0)作曲线C:y=ex-1(其中e为自然对数的底数)的切线,切点为T1,设T1在x轴上的射影是点H1,过点H1再作曲线C的切线,切点为T2,设T2在x轴上的射影是点H2,依次下去,得到第n+1(n∈N*)个切点Tn+1,则点T2020的坐标是( )
A.(2019,e2018)
B.(2019,e2019)
C.(2020,e2019)
D.(2021,e2020)
10.A [解析] 设T1(x1,ex1-1),y'=ex-1,所以曲线C在点T1处的切线的斜率为ex1-1,故切线方程为y-ex1-1=ex1-1(x-x1),代入点P(-1,0)的坐标,可得0-ex1-1=ex1-1(-1-x1),解得x1=0,则T10,1e,H1(0,0).设T2(x2,ex2-1),同理可得过点H1作曲线C的切线,其方程为y-ex2-1=ex2-1(x-x2),代入点H1(0,0)的坐标,可得0-ex2-1=ex2-1(0-x2),解得x2=1,故T2(1,1),H2(1,0),依次下去,可得T2020的坐标为(2019,e2018).故选A.
11.已知f(x)=23x3-x2+ax-1的图象上存在两条斜率为3的不同切线,且切点的横坐标都大于零,则实数a的取值可能为( )
A.196B.3
C.103D.92
11.AC [解析] ∵f(x)=23x3-x2+ax-1,∴f'(x)=2x2-2x+a.设切点的横坐标为m,且m>0,可得切线斜率k=2m2-2m+a=3,即2m2-2m+a-3=0,由题意,可得关于m的方程2m2-2m+a-3=0有两个不等的正根,且可知m1+m2=1>0,则有Δ>0,m1·m2>0,即22-4×2×(a-3)>0,a-32>0,解得312.(多选题)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是( )
A.f(x)=cs x
B.f(x)=ln x
C.f(x)=ex
D.f(x)=x2
12.AD [解析] 由题意知,若y=f(x)具有T性质,则存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1.对于选项A,f'(x)=-sin x,存在x1=π2,x2=-π2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;对于选项B,f'(x)=1x>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;对于选项C,f'(x)=ex>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;对于选项D,f'(x)=2x,存在x1=1,x2=-14,使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1.故选AD.
13.已知曲线y=aex-1绕原点顺时针旋转θ角后与x轴相切,若tan θ=2,则a= .
13.2 [解析] 由已知得,曲线y=aex-1与直线y=2x相切.设切点坐标为(x0,y0),因为y'=aex-1,所以aex0-1=2①,又切点坐标满足aex0-1=2x0②,①②两式联立解得x0=1,a=2.
14.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax+bx2(a,b为常数)过点P(1,4),且该曲线在点P处的切线与直线x+y+3=0垂直,则a+2b的值是 .
14.5 [解析] 将点P(1,4)的坐标代入y=ax+bx2,得a+b=4.函数y=ax+bx2的导数为y'=a-2bx3,由曲线在点P处的切线与直线x+y+3=0垂直,得曲线在点P处的切线的斜率k=a-2b=1,由a+b=4,a-2b=1,解得a=3,b=1,所以a+2b=5.
15.已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围;
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
15.解:(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,
则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,
即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1,+∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知k≥-1,-1k≥-1,
解得-1≤k<0或k≥1,
所以-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,
解得x∈(-∞,2-2]∪(1,3)∪[2+2,+∞).
因此,其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围是(-∞,2-2]∪(1,3)∪[2+2,+∞).
16.已知函数f(x)=aln x(a>0).
(1)设函数g(x)=f(x)-x2的图象在点(1,g(1))处的切线方程为x-y-2=0,求a的值.
(2)若曲线y=f(x)与曲线y=x2至少有一条公切线,求a的取值范围.
16.解:(1)∵g(x)=f(x)-x2,∴g(x)=aln x-x2,
∴g'(x)=ax-2x(x>0).
又函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线方程为x-y-2=0,
∴g'(1)=1,即a-2=1,得a=3.
(2)设公切线l与曲线y=f(x)相切于点(x0,aln x0),
则由f'(x)=ax,得f'(x0)=ax0,
∴公切线l的方程为y=ax0(x-x0)+aln x0,
即y=axx0-a+aln x0(x0>0).
由y=axx0-a+aln x0,y=x2,得x2-axx0+a-aln x0=0,
∵直线l与曲线y=x2相切,
∴Δ=a2x02-4(a-aln x0)=0,即a=4x02-4x02ln x0(x0>0,a>0).
设h(x)=4x2-4x2ln x(x>0),
则h'(x)=4x(1-2ln x),
由h'(x)>0,得0e,
∴函数h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
∴h(x)max=h(e)=4e(1-ln e)=2e,∴0∴曲线y=f(x)与曲线y=x2至少有一条公切线时,a的取值范围为(0,2e].
17.已知函数f(x)=x-ln x,过直线y=x上一点P可以作曲线y=f(x)的两条切线,则点P的横坐标t的取值范围为( )
A.t<1B.t<0
C.017.C [解析] 由题意得P(t,t),设切点为A(x0,y0),x0>0,∵f'(x)=1-1x,∴f'(x0)=1-1x0=x0-1x0,则过点P的切线方程为y-x0+ln x0=x0-1x0(x-x0),整理得y=x0-1x0x-ln x0+1,由点P在切线上,得t=x0-1x0t-ln x0+1,即t=-x0ln x0+x0.因为过直线y=x上一点P可以作曲线y=f(x)的两条切线,所以关于x0的方程t=-x0ln x0+x0有两个不等的实数根,即函数y=t与函数g(x)=-xln x+x的图象有两个交点.g'(x)=-ln x-1+1=-ln x,由g'(x)>0得01,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且g(1)=1,当x→0时,g(x)→0,当x→+∞时,g(x)→-∞,则函数y=t与函数g(x)=-xln x+x的图象如图所示.
由图象可知,018.已知函数f(x)=ex-1,x≥0,kx,x<0,若存在非零实数x0,使得f(-x0)=f(x0)成立,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,-1)B.(-∞,-1]
C.(-1,0)D.[-1,0)
18.A [解析] 不妨设x0>0.当k≥0时,f(x0)=ex0-1>0,f(-x0)=-kx0≤0,f(-x0)=f(x0)不成立,则k≥0不满足题意.
当k<0时,若f(-x0)=f(x0)成立,则方程ex0-1=-kx0有正根,即函数y=ex-1(x≥0)与y=-kx(x>0)的图象有交点,先考虑函数y=ex-1(x≥0)的图象与直线y=-kx相切的情形,设切点为(x1,y1),则-k=ex1,y1=-kx1,y1=ex1-1,整理得(x1-1)ex1+1=0.令g(x)=(x-1)ex+1,x≥0,则g'(x)=xex≥0,即函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,则g(x)≥g(0)=0,所以方程(x1-1)ex1+1=0的根只有一个,且x1=0,即-k=1,则函数y=ex-1(x≥0)的图象与直线y=-kx相切时,切点为原点,所以要使得函数y=ex-1(x≥0)与y=-kx(x>0)的图象有交点,则-k>1,即k<-1,所以实数k的取值范围是(-∞,-1),故选A.
概念
对于函数y=f(x),称ΔyΔx=y2-y1x2-x1或ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的 变化率
几何意义
这个区间端点对应的函数图象上两点连线的
物理意义
若物体运动的位移x m与时间t s 的关系为x=h(t),则物体在某段时间内的 等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率
概念
在x0处
limΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=k,我们称常数k为函数y=f(x)在 处的导数,记作f'(x0)=k
几何意义
f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的 ,其切线方程是
物理意义
函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的 速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的 方程
常用导数公式
原函数
导函数
特例或推广
常数函数
C'=0(C为常数)
幂函数
(xα)'= (α∈R,α≠0)
1x'=-1x2
三角函数
(sin x)'= ,
(csx)'=
偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,
周期函数的导数是周期函数
指数函数
(ax)'= (a>0,且a≠1)
(ex)'=ex
对数函数
(lgax)'= (a>0,且a≠1)
(ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x
四则运算法则
加减
[f(x)±g(x)]'=

∑i=1nfi(x)'=∑i=1nf'i(x)
乘法
[f(x)·g(x)]'=

[Cf(x)]'=Cf'(x)
除法
f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0)
1g(x)'=-g'(x)[g(x)]2
复合函数求导
复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为:h'(x)={f[g(x)]}'= = ,这一结论也可以表示为