第16讲　导数与函数的单调性--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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函数的单调性与导数
递增递减 ≥0 ≤0 充分
分类训练
探究点一求函数的单调区间(不含参)
例1 已知函数f(x)=(x-2)ex-ax+aln x(a∈R).当a=-1时,求函数f(x)的单调区间.
例1 [思路点拨] 当a=-1时,f(x)=(x-2)ex+x-ln x,对f(x)求导即可判断f(x)的单调性.
解:当a=-1时,f(x)=(x-2)ex+x-ln x,x∈(0,+∞),
则f'(x)=(x-1)ex+1-1x=(x-1)ex+1x,
因为x∈(0,+∞),所以ex+1x>0,
所以当x>1时,f'(x)>0,当0所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
[总结反思] 确定函数f(x)单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
变式题 (1)函数f(x)=(x-2)ex的单调递增区间为( )
A.(1,+∞)B.(2,+∞)
C.(0,2)D.(1,2)
(2)若函数f(x)=lnx+1ex,则函数f(x)的单调递减区间为 .
变式题 (1)A (2)(1,+∞) [解析] (1)f'(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex,令f'(x)>0,解得x>1,所以函数f(x)=(x-2)ex的单调递增区间是(1,+∞),故选A.
(2)函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-lnx-1ex,
设k(x)=1x-ln x-1,则k'(x)=-1x2-1x<0,即k(x)在(0,+∞)上单调递减,由k(1)=0可知,当00,即f'(x)>0;当x>1时,k(x)<0,即f'(x)<0.∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
探究点二讨论含参函数的单调性
例2 (1)已知函数f(x)=13x3-ax+a,a∈R,讨论函数y=f(x)的单调性.
(2)已知函数f(x)=2x2-1x-aln x,a>0,讨论f(x)的单调性.
例2 [思路点拨] (1)求出f'(x),对a分两种情况讨论,即可确定f(x)的单调性;(2)对f(x)求导得f'(x)=2x2-ax+1x2(x>0),只需对方程2x2-ax+1=0的根及2x2-ax+1的正负进行讨论,即可确定单调性.
解:(1)由题可知函数f(x)的定义域为R.
f'(x)=x2-a,a∈R,
①当a≤0时,f'(x)≥0恒成立,
所以函数y=f(x)在R上单调递增.
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=-a或x=a.
当f'(x)>0时,x<-a或x>a,
当f'(x)<0时,-a所以函数y=f(x)在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在(-a,a)上单调递减.
综上可知,当a≤0时,函数y=f(x)在R上单调递增;
当a>0时,函数y=f(x)在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在(-a,a)上单调递减.
(2)因为f(x)=2x2-1x-aln x,a>0,所以f'(x)=2x2-ax+1x2,f(x)的定义域为(0,+∞).
令h(x)=2x2-ax+1,则h(0)=1>0,
若Δ=a2-8≤0,即0即f'(x)≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若Δ=a2-8>0,即a>22,令h(x)=0,得x1=a-a2-84,x2=a+a2-84,
当0x2时,h(x)>0,即f'(x)>0;
当x1综上所述,
当0当a>22时,f(x)在0,a-a2-84和a+a2-84,+∞上单调递增,在a-a2-84,a+a2-84上单调递减.
[总结反思] (1)利用导数讨论函数单调性的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解.
(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.
变式题 (1)已知函数f(x)=ln x-ax2+a(a∈R),讨论f(x)的单调性.
(2)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,a∈R,求f(x)的单调区间.
变式题解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-2ax=1-2ax2x(x>0),
当a≤0时,1-2ax2>0,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,令f'(x)=0,解得x=2a2a,
易知当x∈0,2a2a时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈2a2a,+∞时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在0,2a2a上单调递增,在2a2a,+∞上单调递减.
(2)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
①若a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
②若a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
(i)若a=-e2,则f'(x)=(x-1)(ex-e)≥0,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(ii)若a>-e2,则ln(-2a)<1,
故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)<0.
所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.
(iii)若a<-e2,则ln(-2a)>1,
故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0.
所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(1,ln(-2a))上单调递减.
综上所述,当a<-e2时,单调递增区间为(-∞,1)和(ln(-2a),+∞),单调递减区间为(1,ln(-2a));
当a=-e2时,单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;
当-e2当a≥0时,单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).
探究点三已知函数单调性确定参数的取值范围
例3 已知函数f(x)=3ex-12x2-ax.
(1)若函数f(x)的图像在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的最大值.
例3 [思路点拨] (1)先对函数f(x)求导,再根据在x=0处的切线斜率可得到参数a的值,代入x=0,求出f(0)的值,则b即可得出;(2)根据函数f(x)在R上是增函数,可得f'(x)≥0,即3ex-x-a≥0恒成立,再进行参变分离得a≤3ex-x,构造函数g(x)=3ex-x,对g(x)进行求导分析,找出最小值,即实数a的最大值.
解:(1)由题意知,函数f(x)=3ex-12x2-ax,
故f'(x)=3ex-x-a,
则f'(0)=3-a,
由题意知,3-a=2,即a=1,
∴f(x)=3ex-12x2-x,∴f(0)=3,
∴2×0+b=3,即b=3.
∴a=1,b=3.
(2)由题意可知f'(x)≥0,即3ex-x-a≥0恒成立,
∴a≤3ex-x恒成立.
设g(x)=3ex-x,则g'(x)=3ex-1.
令g'(x)=3ex-1=0,解得x=-ln 3.
令g'(x)<0,解得x<-ln 3,
令g'(x)>0,解得x>-ln 3,
∴g(x)在(-∞,-ln 3)上单调递减,在(-ln 3,+∞)上单调递增,∴g(x)在x=-ln 3处取得极小值,也是最小值,
∴g(x)min=g(-ln 3)=1+ln 3.
∴a≤1+ln 3,
故a的最大值为1+ln 3.
[总结反思] (1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f'(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可.如果能够分离参数,则分离参数后可转化为参数值与函数最值之间的关系.
(2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴x=x0与区间D的相对位置,一般分x0在区间左侧、内部、右侧进行讨论.
变式题 (1)若函数f(x)=ax+e-x-ex在R上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.a≤2B.a≤1
C.a≥1D.a≥2
(2)若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在(0,1)上不单调,则实数a的取值范围是( )
A.(2,e+1)
B.[2,e+1]
C.(-∞,2]∪[e+1,+∞)
D.(-∞,2)∪(e+1,+∞)
变式题 (1)A (2)A [解析] (1)由题意可得,f'(x)=a-(e-x+ex)≤0恒成立,即a≤e-x+ex恒成立,∵e-x+ex≥2(当且仅当x=0时取等号),∴a≤2,故选A.
(2)∵f(x)=ex-(a-1)x+1,∴f'(x)=ex-a+1,
若f(x)在(0,1)上不单调,则f'(x)在(0,1)上有变号零点,又f'(x)单调递增,则f'(0)f'(1)<0,即(1-a+1)(e-a+1)<0,解得2探究点四函数单调性的简单应用
例4 (1)已知函数f(x)=exx+12x2-x,若a=f(20.3),b=f(2),c=f(lg25),则a,b,c的大小关系为( )
A.cC.c>a>bD.b>c>a
(2)已知函数f(x)=xex-ln x-x,若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)≤a,则a的取值范围为( )
A.[1,+∞)B.[e-1,+∞)
C.[2,+∞)D.[e,+∞)
例4 [思路点拨] (1)求导,利用导数与函数单调性的关系分析可得函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,结合1<20.3<2(1)B (2)A [解析] (1)函数f(x)=exx+12x2-x,f'(x)=ex(x-1)x2+x-1=(x-1)exx2+1,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,因为1<20.3<2,lg25>lg24=2,所以1<20.3<2(2)构造函数y=ex-x-1,则y'=ex-1,当x<0时,y'<0,函数在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,y'>0,函数在(0,+∞)上单调递增.∴ymin=0,则y≥0恒成立,即ex≥x+1恒成立.当x>0时,f(x)=xex-ln x-x=eln xex-ln x-x=eln x+x-ln x-x≥(ln x+x+1)-ln x-x=1,当ln x+x=0时取等号,∴f(x)的最小值为1,∴a≥1,故选A.
[总结反思] 利用导数比较大小或解不等式,常常需要把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.
变式题 (1)已知函数f(x)=x3+2x+1,若f(ax-ex+1)>1在x∈(0,+∞)时有解,则实数a的取值范围为( )
A.[1,e)B.(0,1)
C.(-∞,1)D.(1,+∞)
(2)已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)的单调递增区间是(-3,1),则( )
A.aB.bC.bD.a变式题 (1)D (2)C [解析] (1)由题意可知,f(x)在定义域上单调递增,f(0)=1,则由f(ax-ex+1)>1=f(0),得ax-ex+1>0,即ax+1>ex.令g(x)=ax+1,h(x)=ex,则当x∈(0,+∞)时,存在g(x)的图像在h(x)的图像上方.g(0)=1,h(0)=1,g'(x)=a,h'(x)=ex,则需满足g'(0)>h'(0),即a>1.故选D.
(2)由题可得f'(x)=ax2+bx+c,f'(x)>0的解集为(-3,1),故f'(x)=a(x+3)(x-1),a<0,可得b=2a,c=-3a,∴b同步作业
1.函数f(x)=xln x的单调递增区间为( )
A.0,1eB.(e,+∞)
C.1e,+∞D.1e,e
1.C [解析] 由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,解得x>1e,所以函数f(x)的单调递增区间为1e,+∞.故选C.
2.已知函数f(x)=x2-4x,当x∈(0,+∞)时,在下列函数中,与f(x)的单调区间完全相同的是( )
A.g(x)=x3-2
B.g(x)=(x-2)ex
C.g(x)=(3-x)ex
D.g(x)=x-2ln x
2.D [解析] f(x)=x2-4x在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.A选项,g(x)=x3-2在(0,+∞)上单调递增.B选项,g'(x)=(x-1)ex,当01时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.C选项,g'(x)=(2-x)ex,当00,函数g(x)单调递增;当x>2时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减.D选项,g'(x)=1-2x=x-2x,当02时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.故选D.
3.已知函数f(x)=x2-cs x,则f(0.6),f(0),f(-0.5)的大小关系是( )
A.f(0)B.f(0)C.f(0.6)D.f(-0.5)3.B [解析] ∵f(-x)=(-x)2-cs(-x)=x2-cs x=f(x),∴f(x)为偶函数,∴f(0.5)=f(-0.5).f'(x)=2x+sin x,当00,∴函数f(x)在0,π2上单调递增,又0<0.5<0.6<π2,∴f(0)4.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如图K16-1所示,那么函数f(x)的图像最有可能是( )
图K16-1
图K16-2
4.A [解析] 当x<-2时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;当-20,则f(x)单调递增;当x>0时,f'(x)<0,则f(x)单调递减.所以符合上述条件的只有选项A.故选A.
5.函数f(x)=ln x-12x2的导函数为f'(x),则f'(x)>0的解集为( )
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.(0,+∞)
5.B [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1x-x=1-x2x,则f'(x)>0,即1-x2>0,x>0,解得06.使“函数f(x)=exx在区间(0,m]上单调递减”成立的一个m值是 .
6.12(答案不唯一) [解析] 由题意,知f'(x)=(x-1)exx2且x≠0,∴当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故要使f(x)在区间(0,m]上单调递减,则07.函数f(x)=sin 2x+2cs x,x∈0,π2的单调递减区间是( )
A.0,π6B.π6,π2
C.0,π3D.π3,π2
7.B [解析] 因为f(x)=sin 2x+2cs x,所以f'(x)=2cs 2x-2sin x=2(1-2sin2x)-2sin x=-2(sin x+1)(2sin x-1),令f'(x)≤0,因为sin x+1>0,所以2sin x-1≥0,即sin x≥12,又x∈0,π2,所以x∈π6,π2,所以函数f(x)的单调递减区间是π6,π2.故选B.
8.设函数f(x)满足f(x)=x[f'(x)-ln x],且在(0,+∞)上单调递增,则f1e的取值范围是(e为自然对数的底数)( )
A.[-1,+∞)
B.1e,+∞
C.-∞,1e
D.(-∞,-1]
8.B [解析] 由f(x)=x[f'(x)-ln x],得f'(x)=f(x)x+ln x,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)x+ln x≥0,所以f(1e)1e+ln 1e≥0,整理得f1e≥1e.故选B.
9.已知函数f(x)=a-2ex-1,x≤1,xlnx-2x+a,x>1,若函数y=f(x)与y=f[f(x)]有相同的值域,则实数a的取值范围是( )
A.a≤0B.a≤1
C.a≤2eD.a≤3e
9.C [解析] 根据题意,函数f(x)=a-2ex-1,x≤1,xlnx-2x+a,x>1,
当x≤1时,f(x)=a-2ex-1,为减函数,
当x>1时,f(x)=xln x-2x+a,其导数f'(x)=ln x-1,可知f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,且f(x)min=f(e)=a-e,f(x)的大致图像如图,
若函数y=f(x)与y=f[f(x)]有相同的值域,则需满足a-e≤e,则a≤2e.故选C.
10.(多选题)已知函数f(x)=ln x+1x,则( )
A.函数f(x)的单调递减区间是(-∞,1)
B.函数f(x)在(e,+∞)上单调递增
C.函数f(x)的最小值为1
D.若f(m)=f(n)(m≠n),则m+n>2
10.BCD [解析] 因为f(x)=ln x+1x,所以f'(x)=x-1x2.由于函数的定义域为(0,+∞),故A错误;当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(e,+∞)上单调递增,故B正确;令f'(x)>0,得x>1,令f'(x)<0,得02,只需证明(n-m)(m+n)mn>2ln nm,令nm=t>1,即证t-1t>2ln t成立,令g(t)=t-1t-2ln t(t>1),则g'(t)=t2-2t+1t2=(t-1)2t2,所以当t>1时,g'(t)>0,所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,所以g(t)>g(1)=0,故不等式t-1t>2ln t成立,故D正确.故选BCD.
11.(多选题)对于定义域为R的函数f(x),若满足:①f(0)=0;②当x∈R且x≠0时,都有xf'(x)>0;③当x1<0A.f1(x)=-x3+x2
B.f2(x)=ex-x-1
C.f3(x)=xsin x
D.f4(x)=ln(-x+1),x≤0,2x,x>0
11.BD [解析] 经验证,f1(x),f2(x),f3(x),f4(x) 都满足条件①.当x∈R且x≠0时,都有xf'(x)>0,即当x>0时,f'(x)>0,且当x<0时,f'(x)<0,即条件②等价于函数 f(x) 在区间 (-∞,0)上单调递减,在区间 (0,+∞) 上单调递增.x1<00 时,ex>1,f2'(x)>0,当 x<0 时,00,
则F'(x)=-ex-e-x+2<-2ex·e-x+2=0,∴F(x)在(0,+∞)上是减函数,∴F(x)0时,f3'(x)的符号有正有负,不符合条件②,故f3(x)不是“偏对称函数”.D中,f4(x)=ln(-x+1),x≤0,2x,x>0,当x<0时,f4'(x)=1x-1<0,当x>0时,f4'(x)=2>0,∴函数f4(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,符合条件②.由单调性知,当-x20,则t'(x)=1x+1-2<0,∴t(x)在(0,+∞)上是减函数,可得t(x)12.已知函数f(x)=ex+ae-x在[0,1]上不单调,则实数a的取值范围为 .
12.(1,e2) [解析] 由题意可得,f'(x)=ex-aex在(0,1)上有变号零点,故方程a=e2x在(0,1)上有解,因为y=e2x在(0,1)上单调递增,所以当x∈(0,1)时,e2x∈(1,e2),故113.已知函数f(x)=sin 2x+4acs x在0,π2上单调递增,则实数a的取值范围是 .
13.-∞,-12 [解析] 由题意,函数f(x)=sin 2x+4acs x,则f'(x)=2cs 2x-4asin x,因为函数f(x)在0,π2上单调递增,所以f'(x)=2cs 2x-4asin x≥0在0,π2上恒成立,即2a≤cs2xsinx在0,π2上恒成立.令g(x)=cs2xsinx=1-2sin2xsinx=1sinx-2sin x,x∈0,π2,令t=sin x∈(0,1),则φ(t)=1t-2t,t∈(0,1),可得φ'(t)=-1t2-2<0,可得函数φ(t)在(0,1)上单调递减,所以φ(t)>φ(1)=1-2=-1,所以2a≤-1,解得a≤-12,即实数a的取值范围是-∞,-12.
14.已知函数f(x)=(x+1)2-3ln x.
(1)求f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
14.解:(1)由题意,函数f(x)=(x+1)2-3ln x的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x+2-3x=2x2+2x-3x,所以f'(1)=1,即切线的斜率k=1,
又由f(1)=4,得切点坐标为(1,4),
所以函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y-4=x-1,即x-y+3=0.
(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x2+2x-3x,
令2x2+2x-3=0,解得x1=-1-72(舍),
x2=-1+72,
令f'(x)>0,即2x2+2x-3>0,解得x>-1+72,
所以函数f(x)的单调递增区间为-1+72,+∞.
令f'(x)<0,即2x2+2x-3<0,解得0所以函数f(x)的单调递减区间为0,-1+72.
综上可得,函数f(x)的单调递增区间为-1+72,+∞,单调递减区间为0,-1+72.
15.设函数f(x)=ln(1+ax)-2xx+2(a>0),讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性.
15.解:∵f(x)=ln(1+ax)-2xx+2,
∴f'(x)=a1+ax-4(x+2)2=ax2+4a-4(1+ax)(x+2)2.
∵a>0,x>0,
∴(1+ax)(x+2)2>0,于是f'(x)的正负由ax2+4a-4决定.
①当a≥1时,ax2+4a-4>0恒成立,即f'(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当00,得x>2a(1-a)a,此时f'(x)>0,f(x)单调递增;
令ax2+4a-4<0,得0综上所述,当0当a≥1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
16.已知函数f(x)=eaxa+x-2ln(x+1)(e为自然对数的底数,a为常数,且a≠0).
(1)若函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线与直线ex-y=0平行,求a的值;
(2)若f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,求a的取值范围.
16.解:(1)由题意得f'(x)=eax+1-2x+1,x∈(-1,+∞),
由f'(1)=e,知ea=e,∴a=1.
(2)由题意知,当x∈(0,+∞)时,
f'(x)=eax+1-2x+1<0有解.
当x∈[1,+∞)时,f'(x)=eax+1-2x+1>0恒成立,不存在单调递减区间;
当x∈(0,1)时,f'(x)=eax+1-2x+1<0有解,等价于ln 1-x1+x-ax>0有解.
设φ(x)=ln 1-x1+x-ax,x∈(0,1),则φ'(x)=2x2-1-a,x∈(0,1),
当x∈(0,1)时,2x2-1<-2.
①当a≥-2时,φ'(x)=2x2-1-a<0恒成立,则φ(x)=ln 1-x1+x-ax在(0,1)上单调递减,
所以φ(x)<0恒成立,不符合题意;
②当a<-2时,00,
则φ(x)=ln 1-x1+x-ax在0,a+2a上单调递增,则当x∈0,a+2a时,
φ(x)>0,即ln 1-x1+x-ax>0在(0,1)上有解.
综上所述,a<-2.
导数到
单调性
单调递增
在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在这个区间上单调
单调递减
在区间(a,b)上,若f'(x)<0,则f(x)在这个区间上单调
单调性
到导数
单调递增
若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x)
单调递减
若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x)
“函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的条件