第21讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系: .
(2)商数关系: .
2.诱导公式
1.(1)sin2α+cs2α=1
(2)tan α=sinαcsα,α≠ kπ+π2(k∈Z)
2.-sin α -sin α -cs α -cs α -cs α -cs α -sin α sin α -sin α -tan α tan α
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形
(1)sin2α=1-cs2α=(1+cs α)(1-cs α);
cs2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α);
(sin α±cs α)2=1±2sin α cs α.
(2)sin α=tan α cs α（α≠π2+ kπ,k∈Z）.
(3)sin2α=sin2αsin2α+cs2α=tan2αtan2α+1;
cs2α=cs2αsin2α+cs2α=1tan2α+1.
2.sin(kπ+α)=(-1)k sin α(k∈Z);cs( kπ +α)=(-1)kcs α(k∈Z).
分类探究
探究点一 三角函数的诱导公式
例1 (1)cs 23π12-sin 17π12=( )
A.0B.22
C.2-62D.2+62
(2)若角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点（-35,45）,则sin（π2+θ)+cs(π -θ)+tan(2π-θ)= .
例1 [思路点拨] (1)利用诱导公式化简,进而根据两角差的余弦公式,特殊角的三角函数值即可计算求解;(2)利用三角函数的定义求出tan θ=-43,再利用诱导公式进行化简求值.
(1)D (2)43 [解析] (1)cs 23π12-sin 17π12=cs(2π-π12)-sin（3π2-π12）=cs π12+cs π12=2cs π12=2cs（π3-π4）=2cs π3cs π4+2sin π3sin π4=2×12×22+2×32×22=2+62.故选D.
(2)由题知tan θ=-43.由诱导公式得sin（π2+θ）+cs(π -θ)+tan(2π-θ)=cs θ -cs θ -tan θ=-tan θ=-（-43）=43.
[总结反思] (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.
(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角为第几象限角,防止符号及三角函数名出错.
(3)常见的互余的角:π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等;常见的互补的角:π6+α与5π6-α,π3+α与2π3-α,π4+α与3π4-α等.
变式题 (1)在平面直角坐标系x O y中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则sin β= .
(2)若sin(α+15°)=23,则cs(α+105°)= .
变式题 (1)13 (2)-23 [解析] (1)由题意可知角α为第一或第二象限角,角α与角β的终边关于y轴对称,则β=2kπ+π -α(k∈Z),所以sin β=sin( π -α)=sin α=13.
(2)cs(α+105°)=cs(α+15°+90°)=-sin(α+15°)=-23.
探究点二 同角三角函数的基本关系及应用
角度1 公式的灵活运用
例2 (1)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( )
A.125B.-125
C.512D.-512
(2)已知sinα1+csα=2,则tan α=( )
A.-43B.34
C.43D.2
例2 [思路点拨] (1)根据同角三角函数的关系式即可求解,需注意α为第几象限角;(2)先求出cs α,然后利用同角三角函数的关系即可求出tan α的值.
(1)D (2)A [解析] (1)因为α为第四象限角,
所以cs α=1−sin2α=1213,则tan α=sinαcsα=-512.
(2)∵sinα1+csα=2,∴sin α=2+2cs α,等式两边平方,得sin2α=4+8cs α+4cs2α,即1-cs2α=4+8cs α+4cs2α,整理得5cs2α+8cs α+3=0,解得cs α=-1或cs α=-35.当cs α=-1时,1+cs α=0,sinα1+csα无意义,舍去;当cs α=-35时,sin α=45,则tan α=sinαcsα=-43.故选A.
[总结反思] (1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系sinαcsα=tan α和平方关系1=sin2α+cs2α.
(2)注意根据角的终边所在的象限选取正确的符号.
角度2 切弦互化
例3 (1)已知3sinα+csα2sinα−3csα=7,则函数f(x)=sin2x+2tan α|cs x|-6的最小值为( )
A.-5B.-3
C.-2 D.-1
(2)若4sin α-3cs α=0,则sin 2α+2cs2α=( )
A.4825B.5625
C.85D.435
例3 [思路点拨] (1)由3sinα+csα2sinα−3csα=7可求出tan α的值,再将f(x)化为关于|cs x|的二次函数,即可根据二次函数的性质求出最小值;(2)由4sin α-3cs α=0求出tan α,再将sin 2α+2cs2α看成分母是1的分式,化成切的形式求解.
(1)A (2)B [解析] (1)由3sinα+csα2sinα−3csα=7,得3tanα+12tanα−3=7,解得tan α=2,
故f(x)=sin2x+2tan α|cs x|-6=-cs2x+4|cs x|-5=-(|cs x|-2)2-1,故当|cs x|=0时,f(x)取得最小值-5.故选A.
(2)由4sin α-3cs α=0,得tan α=sinαcsα=34,而sin 2α+2cs2α=2sinαcsα+2cs2αsin2α+cs2α=2tanα+2tan2α+1,所以sin 2α+2cs2α=2×34+2(34) 2+1=5625.故选B.
[总结反思] 把正弦、余弦化成正切的结构形式进行求值的常见结构有:
①sin α,cs α的一次齐次分式（如asinα+bcsαcsinα+dcsα）,解决此类问题时,用分子分母同时除以cs α,将其转化为关于tan α的式子,进而求解.
②sin α,cs α的二次齐次式(如asin2α+b sin α cs α+ccs2α),解决此类问题时,将原式看成分母是1的表达式,把1换成“sin2α+cs2α”,然后分子分母同时除以cs2α,将其转化为关于tan α的式子,进而求解.
角度3 和积转换
例4 已知-π例4 [思路点拨] 根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式,得到2sin x cs x=-2425<0,进而求得(sin x-cs x)2=4925,再结合sin x-cs x的符号得解.
-75 [解析] 由已知得sin x+cs x=15,两边平方得sin2x+2sin x cs x+cs2x=125,整理得2sin x cs x=-2425,∴(sin x-cs x)2=1-2sin x cs x=4925.由-π0,
∴sin x-cs x<0,故sin x-cs x=-75.
[总结反思] sin α+cs α,sin α -cs α,sin α cs α三者之间常利用(sin α±cs α)2=1±2sin α cs α进行和积转换,可以知一求二.
同步作业
1.设α∈R,则下列结论中错误的是( )
A.sin(π+α)=-sin α
B.cs(π -α)=-cs α
C.cs（π2+α）=-sin α
D.tan(-α -π)=tan α
1.D [解析] 根据诱导公式四,有sin(π+α)=-sin α;根据诱导公式三,有cs(π-α)=-cs α;根据诱导公式六,有cs（π2+α）=-sin α;根据诱导公式二、四,有tan(-α-π)=-tan(π+α)=-tan α.故选D.
2.sin 1050°=( )
A.12B.-12C.32D.-32
2.B [解析] sin 1050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=-12.故选B.
3.已知cs α=13,α∈（-π2,0）,则tan α等于( )
A.-22B.22C.-24D.24
3.A [解析] ∵α∈（-π2,0）,∴sin α=-1−cs2α=-223,因此,tan α=sinαcsα=-22.故选A.
4.已知tan（α+π4）=-3,则2sinα+csαcsα−sinα=( )
A.-4B.4C.5D.-5
4.D [解析] ∵tan（α+π4）=-3,∴tanα+11−tanα=-3,解得tan α=2,∴2sinα+csαcsα−sinα=2tanα+11−tanα=2×2+11−2=-5.故选D.
5.已知α∈(0,π),sin（π2-α）=-13,则tan(α+π)=( )
A.24B.-24C.22D.-22
5.D [解析] 因为sin(π2-α)=cs α=-13,且α∈(0,π),所以sin α=1−cs2α=223,所以tan α=sinαcsα=-22,所以tan(α+π)=tan α=-22,故选D.
6.已知cs(α-π4）=45,则sin（α+π4）= .
6.45 [解析] sin（π4+α）=sin（π2+α -π4）=cs(α - π4)=45.
7.若sin α=31313,α∈(π2,π),则tan(3π-2α)= .
7.-125 [解析]因为sin α=31313,α∈(π2,π),所以cs α=-1−sin2α=-21313,所以tan α=sinαcsα=-32,所以tan(3π-2α)=-tan 2α=-2tanα1−tan2α=-125.
8.已知α是第二象限角,且tan(π+α)=-34,则sin 2α=( )
A.1225B.-1225C.2425D.-2425
8.D [解析] 因为tan(π+α)=-34,所以tan α=-34,所以sin α=-34cs α,因为sin2α+cs2α=1,所以cs2α=1625,由二倍角的正弦公式可得sin 2α=2sin α cs α=-32cs2α,所以sin 2α=-32×1625=-2425.故选D.
9.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(sin 132°,cs 132°),则tan(α+12°)=( )
A.3B.33
C.-3D.-33
9.D [解析] 由α的终边过点P(sin 132°,cs 132°),得tan α=cs132°sin132°=-sin42°cs42°=-tan 42°=tan(-42°),则tan(α+12°)=tanα+tan12°1-tanα·tan12°=tan(-42°)+tan12°1-tan(-42°)tan12°=tan(-42°+12°)=-tan 30°=-33.故选D.
10.已知向量a=(13,tan α),b=(cs α,1),α∈(π2,π),且a∥b,则sin(α - π2)=( )
A.-13B.13
C.223D.-223
10.C [解析] ∵a∥b,∴13-tan α·cs α=13-sin α=0,得sin α=13,∵α∈(π2,π),∴cs α=-1−sin2α=-223,∴sin(α-π2)=-cs α=223.故选C.
11.已知A是△ABC的一个内角,且sin A+cs A=a,其中a∈(0,1),则关于tan A的值,以下答案中,可能正确的是( )
A.-2B.-12
C.12D.2
11.A [解析] 由00,把sin A+cs A=a,两边平方得(sin A+cs A)2=a2,即sin2A+cs2A+2sin A cs A=1+2sin A cs A=a2,又a∈(0,1),所以2sin A cs A=a2-1<0,所以cs A<0.又sin A+cs A=a>0,所以sin A>-cs A>0,则tan A<-1.比较四个选项,只有A有可能.故选A.
12.(多选题)已知f(α)=2sinαcsα-2sinα+csα+1(0≤α≤π2),则下列说法正确的是( )
A.f(α)的最小值为-2
B.f(α)的最小值为-1
C.f(α)的最大值为2-1
D.f(α)的最大值为1-2
12.BD [解析] 设t=sin α+cs α=2sin(α+π4),由0≤α≤π2,得π4≤α+π4≤3π4,则1≤t≤2,由(sin α+cs α)2=t2,得2sin αcs α=t2-1,所以f(α)=g(t)=t2-1-2t+1=t-1-2t+1,又因为函数y=t-1和y=-2t+1在[1,2]上均单调递增,所以g(t)=t-1-2t+1在[1,2]上为增函数,则g(t)min=g(1)=-1,g(t)max=g(2)=1-2,故选BD.
13.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点P(1,2),则sin2α1−3sinαcsα= .
13.-4 [解析] 因为角α的终边上有一点P(1,2),所以tan α=2,所以sin2α1-3sinαcsα=sin2αsin2α+cs2α-3sinαcsα=tan2αtan2α+1-3tanα=2222+1-3×2=-4.
14.已知函数f(x)=ln(x+1)+12x2,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则2sin2α+sin αcs α= .
14.2413 [解析] 由f'(x)=1x+1+x,得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k=32,即tan α=32,所以2sin2α+sin αcs α=2sin2α+sinαcsαsin2α+cs2α=2tan2α+tanαtan2α+1=2413.
15.已知f(α)=sin2(π-α)·cs(2π-α)·tan(-π+α)sin(π+α)·tan(-α+3π).
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=18,且π4<α<π2,求cs α-sin α的值.
15.解:(1)f(α)=sin2α·csα·tanα(-sinα)(-tanα)=sin αcs α(sin α≠0且cs α≠0).
(2)由(1)可得f(α)=sin αcs α=18,则(cs α-sin α)2=1-2sin αcs α=34,
∵π4<α<π2,∴sin α>cs α,即cs α-sin α<0,
∴cs α-sin α=-32.
16.已知sin α+cs α=-15.
(1)求sin(π2+α)·cs(π2-α)的值;
(2)若π2<α<π,且角β的终边经过点P(-3,7),求1sin(π−α)+1cs(π+α)+2cs(−β−2π)的值.
16.解:(1)∵sin α+cs α=-15,∴(sin α+cs α)2=125,即1+2sin αcs α=125,∴sin αcs α=-1225,
∴sin(π2+α)·cs(π2-α)=sin α·cs α=-1225.
(2)由(1)得,(sin α-cs α)2=1-2sin αcs α=4925.
又π2<α<π,∴sin α-cs α>0,∴sin α-cs α=75.
∵角β的终边经过点P(-3,7),∴cs β=-34,
∴1sin(π−α)+1cs(π+α)+2cs(−β−2π)=1sinα-1csα+2csβ=csα−sinαsinα·csα+2csβ=3512-83=14.
17.若α∈(0,2π),则满足4sin α-1csα=4cs α-1sinα的所有α的和为( )
A.3π4B.2π
C.7π2D.9π2
17.D [解析] 因为4sin α -1csα=4cs α -1sinα,
所以4(sin α -cs α)=1csα-1sinα=sinα-csαsinαcsα,
所以sin α -cs α=0或4sin α cs α=1,即tan α=1或sin 2α=12,
因为α∈(0,2π),所以α=π4,5π4,π12,13π12,5π12,17π12,则满足条件的所有α的和为π4+5π4+π12+13π12+5π12+17π12=9π2.故选D.
18.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x,当0≤x<π时,f(x)=0,则f(23π6)= .
18.12 [解析] 因为f(x+π)=f(x)+sin x,当0≤x<π时,f(x)=0,所以f(23π6)=f(17π6)+sin 17π6=f(11π6)+sin 17π6+sin 11π6=f(5π6)+sin 17π6+sin 11π6+sin 5π6=2sin 5π6-sin 5π6=12.
公式一
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
公式七
公式八
角
α+2kπ
(k∈Z)
-α
π -α
π+α
π2-α
π2+α
3π2+α
3π2-α
与角α终边的关系
相同
关于x
轴对称
关于y
轴对称
关于原点对称
关于
y=x对称
正弦
sin α

sin α

cs α
cs α


余弦
cs α
cs α


sin α



正切
tan α

-tan α

口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
记忆规律
奇变偶不变,符号看象限