第22讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S(α±β):sin(α±β)= .
(2)公式C(α±β):cs(α±β)= .
(3)公式T(α±β):tan(α±β)= .
2.两角和与差的正切公式的变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan α tan β).
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α= .
(2)公式C2α:cs 2α= = = .
(3)公式T2α:tan 2α= .
分类探究
探究点一 和、差、倍角公式的简单应用
例1 (1)已知α为锐角,sin（π3-α）=33,则cs α=( )
A.66-32B.66+32
C.66+12D.66-12
(2)设α,β满足tan（α+3π4）=3,tan（β+π4）=2,则tan(α+β)=( )
A.-1B.-12
C.17 D.1
(3)已知α∈(0,π),且3cs 2α-8cs α=5,则sin α=( )
A.53B.23C.13D.59
[总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角之间互相转换的目的.
变式题 (1)已知角α的终边在直线y=43x上,则tan(π4-α)=( )
A.17B.-17C.7D.-7
(2)已知2tan θ-tan(θ+π4)=7,则tan θ=( )
A.-2B.-1C.1D.2
(3)若sin(45°+α)=55,则sin 2α= .
探究点二 和、差、倍角公式的逆用与变形
例2 (1)cs 42°cs 18°-cs 72°sin 42°=( )
A.32B.12
C.-12D.-32
(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+3=3tan A·tan B,则△ABC的面积为( )
A.32B.33
C.332D.3
(3)已知sin α+cs β=1,cs α+sin β=0,则sin(α+β)= .
[总结反思] 在利用两角和与差的三角函数公式或二倍角的三角函数公式进行恒等变形时,记住一些常见变形可起到事半功倍的效果.
变式题 (1)若cs α=-45,α是第三象限角,则1−tan α21+tan α2=( )
A.2B.12
C.-2D.-12
(2)(1+tan 19°)·(1+tan 26°)= .
探究点三 角的变换问题
例3 (1)已知sin α=255,sin(β-α)=-1010,α,β均为锐角,则β=( )
A.5π12B.π3C.π4D.π6
(2)已知sin(π5-α)=14,则cs(2α+3π5)=( )
A.-78B.78
C.18D.-18
[总结反思] 常见的角的变换:
π2±2α=2(π4±α),2α=(α+β)+(α-β),α=α+β2+α−β2,π3+α=π2-(π6-α),α=(α+β)-β=(α-β)+β,(π4+α)+(π4-α)=π2等.
变式题 (1)若tan(α+β)=3,tan β=2,则sin(32π−α)sin(π+α)=( )
A.17 B.7 C.-17 D.-7
(2)若sin(α+π4)=35,且α∈(-π4,π4),则cs α的值为( )
A.210B.3210
C.5210D.7210
同步作业
1.若sin α=-13,α∈(-π2,0),则sin 2α=( )
A.-429B.429
C.89D.-89
2.cs 70°sin 50°-cs 200°sin 40°的值为( )
A.-32B.-12
C.12D.32
3.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,若点P(2,-1)在角α的终边上,则sin(π2-2α)=( )
A.-45B.45
C.-35D.35
4.若tan α=3,tan(2α-β)=-1,则tan(α -β)=( )
A.2B.-2
C.3D.-3
5.设a=sin 18°cs 44°+cs 18°sin 44°,b=2sin 29°cs 29°,c=cs 30°,则有( )
A.cC.a6.已知θ∈(0,π),cs2θ+cs22θ=1,则θ=( )
A.π6,5π6B.π6,π3
C.π6,π3,π2D.π6,π2,5π6
7.1-tan105°1+tan105°= .
8.已知sin(α+π2)=-13,则cs 2α=( )
A.-79B.79
C.-89D.89
9.已知α为锐角,且sin(3π8-α)=255,则tan(3π4-2α)的值为( )
A.34B.-34
C.-43D.-34或-43
10.设sin 2α-sin α=0,α∈(-π2,0),则tan 2α的值是( )
A.3B.-3
C.33D.-33
11.若sin(θ-π6)=2sin(θ+π3),则tan θ=( )
A.-33B.8-53
C.8+53D.-8-53
12.设α为第二象限角,若tan(α-π4)=2,则sin 2α= .
13.若tan α+tan β=-tan(α+β)=3,则tan αtan β= .
14.已知sin α=513,α∈(π2,3π2),则tan(π4+α)= ,cs 2α= .
15.如图K22-1,已知点A(1,0),P1(cs α,sin α),P2(cs β,-sin β),P(cs(α+β),sin(α+β)).
(1)证明:cs(α+β)=cs α cs β -sin α sin β;
(2)利用(1)的结果证明cs α cs β=12[cs(α+β)+cs(α -β)],并计算cs 37.5°cs 37.5°的值.
图K22-1
16.已知函数f(x)=cs ωx(sin ωx+3cs ωx)(ω>0).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若方程f(x)=32在区间[0,π]上恰有两个实数解,求ω的取值范围.
17.若0<α<π2,0<β<π2,sin(π3-α2)=55,cs(β2-π3)=45,则cs α-β2的值为( )
A.55B.11525
C.255D.7525
18.若锐角α满足cs(α+π4)=35,则sin(2α+π4)= .