第24讲　三角函数的性质与图象--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0), ,(π,0), ,(2π,0).
(2)在余弦函数y=cs x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1), ,(π,-1), ,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质和图象(下表中k∈Z)
常用结论
1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acs(ωx+φ)的周期T=2π|ω|,函数y=Atan(ωx+φ)的周期T=π|ω|.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12T,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14T,其中T为周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12T,其中T为周期.
分类探究
探究点一 三角函数的定义域
例1 (1)函数f(x)=-2tan(2x+π6)的定义域是( )
A.{x∈R|x≠π6}
B.{x∈R|x≠-π12}
C.{x∈R|x≠kπ+π6(k∈Z)}
D.{x∈R|x≠kπ2+π6(k∈Z)}
(2)当x∈[0,2π]时,y=tanx+-csx的定义域为( )
A.[0,π2)B.(π2,π]
C.[π,3π2) D.(3π2,2π)
[总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图象来求解.
变式题 函数f(x)=1+2sinx的定义域为 .
探究点二 三角函数的值域或最值
例2 (1)函数f(x)=2cs x+cs 2x+2(x∈R)的最大值是( )
A.12B.5C.6D.1
(2)函数y=sin x-cs x+sin xcs x的值域为 .
(3)已知函数f(x)=sin (x+π6),其中x∈[-π3,a],若f(x)的值域是[-12,1],则实数a的取值范围是 .
[总结反思] 求解三角函数的值域(最值)的几种方法:
①形如y=asin x+bcs x+c的三角函数,化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值);
③形如y=asin xcs x+b(sin x±cs x)+c的三角函数,可设t=sin x±cs x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值).
变式题 函数f(x)=sin(2x+π3)(0≤x≤5π12)的值域为( )
A.[-12,1]B.[0,12]
C.[0,1]D.[-12,0]
探究点三 三角函数性质的有关问题
微点1 三角函数的周期性
例3 (1)函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期是( )
A.π4B.π2C.πD.2π
(2)给出下列函数:①y=cs|2x|;②y=|cs x|;③y=cs(2x+π6);④y=tan(2x-π4).其中周期为π的是( )
A.①②③B.①③④
C.②④D.①③
[总结反思] 求三角函数的周期的常用方法:
(1)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)的周期T=2π|ω|,函数y=Atan(ωx+φ)的周期T=π|ω|;
(2)图象法:利用三角函数图象的特征求周期.
微点2 三角函数图象的对称性和奇偶性
例4 (1)曲线y=2sin(ωx+π4)(ω>0)的一个对称中心的坐标为(3,0),则ω的最小值为 .
(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2,且f(π12)=2,则φ= .
(3)已知函数f(x)=cs 2x-sin 2x,将y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位可以得到一个奇函数的图象,将y=f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位可以得到一个偶函数的图象,则|a-b|的最小值为( )
A.0B.π8C.π4D.π2
[总结反思] (1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图象的相邻两条对称轴分别为直线x=a与直线x=b,则周期T=2|b-a|;②若函数图象相邻的两个对称中心分别为点(a,0),点(b,0),则周期T=2|b-a|;③若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为点(a,0)与直线x=b,则周期T=4|b-a|.
微点3 三角函数的单调性
例5 (1)下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是( )
A.f(x)=|cs 2x|B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cs |x|D.f(x)=sin |x|
(2)(多选题)将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移π12个单位得到函数y=g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0,π2]上是增函数,则实数ω的可能取值为( )
A.23B.1C.56D.2
[总结反思] (1)解决形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图象利用y=sin x的单调性求解.如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.(2)已知函数y=Asin(ωx+φ)的单调性求参数,可先求出t=ωx+φ的取值范围(a,b),再根据(a,b)是函数y=Asin t的单调区间的子区间列不等式(组)求解.
▶ 应用演练
1.【微点1】(多选题)下列函数中,周期为π2的是( )
A.y=sin |x|B.y=cs |4x|
C.y=|tan x|D.y=|sin 2x|
2.【微点2】若函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,对任意的x都有f(x)=f(2-x),则sin(ω+φ)等于( )
A.±3B.0
C.±1 D.±2
3.【微点3】若函数g(x)=sin(ωx+π4)的图象关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)上单调递增,则ω的值为( )
A.π2B.3π2
C.π4D.3π2
4.【微点3】若函数f(x)=cs(2x-π6)在(-a,a)上没有最小值,则a的最大值为( )
A.π12 B.π6
C.5π12D.7π12
同步作业
1.函数f(x)=tan(x+π6)的周期为( )
A.π3B.π2
C.πD.2π
2.函数f(x)=cs(2x+π6)的图象的一条对称轴方程为( )
A.x=π6B.x=5π12
C.x=2π3D.x=-2π3
3.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是( )
图K24-1
4.已知函数f(x)=sin(2x-π6),则下列四个结论中正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(5π12,0)中心对称
B.函数f(x)的图象关于直线x=-π8对称
C.函数f(x)在区间(-π,π)内有4个零点
D.函数f(x)在区间[-π2,0]上单调递增
5.已知函数f(x)=sin x+acs x(a∈R)图象的一条对称轴是直线x=π6,则a的值为( )
A.5B.5
C.3D.3
6.函数y=cs2x+sin x-1的值域为( )
A.（-∞,14]B.[0,14]
C.[-2,14]D.[-2,0]
7.函数f(x)=3tan(2x+π3)的图象的对称中心是 .
8.函数y=a-bcs 3x(b<0)的最大值为32,最小值为-12,则y=sin(4a-b)πx的周期是( )
A.13B.23
C.π3D.2π3
9.已知函数f(x)=sinx,x≤π4,csx,x>π4,给出下列四个结论:
①f(x)不是周期函数;②f(x)是奇函数;③f(x)的图象关于直线x=π4对称;④f(x)在x=5π2处取得最大值.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①③B.②④
C.①③④D.①②④
10.已知函数f(x)=4sin（3x-π6）的定义域为[0,m],值域为[-2,4],则m的取值范围是( )
A.（2π9,4π9）B.（2π9,4π9]
C.[2π9,4π9] D.[2π9,4π9)
11.若函数f(x)同时满足以下三个性质:
①f(x)的周期为π;②对任意的x∈R,都有f(x-π4)+f(-x)=0;③f(x)在(3π8,π2)上是减函数.
则f(x)的解析式可能是( )
A.f(x)=cs(x+π8)
B.f(x)=sin 2x-cs 2x
C.f(x)=sin xcs x
D.f(x)=sin 2x+cs 2x
12.(多选题)关于函数f(x)=|cs2x-sin2x|+1,下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在x=kπ2(k∈Z)处取得最大值
B.函数f(x)以π2为周期且在区间(π4,π2)上单调递增
C.函数f(x)是偶函数且在区间(π4,π2)上单调递减
D.将f(x)的图象向右平移1个单位得到g(x)=|cs(2x-1)|+1的图象
13.已知函数f(x)=2cs(ωx+π4)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称,且在(π2,π)上单调递增,则f(x)在区间[-π2,π3]上的最小值为 .
14.若动直线x=a(a∈R)与函数f(x)=3sin(x+π6)与g(x)=cs(x+π6)的图象分别交于M,N两点,则MN的最大值为 .
15.已知函数f(x)=12sin ωx+3cs2ωx2-32,ω>0.
(1)若ω=1,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(π3)=1,求f(x)的周期T的最大值.
16.已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin2x-12cs 2x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在[-20,20]内的零点个数.
17.(多选题)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<8,|φ|<π2)的图象向左平移11π48个单位后得到函数g(x)的图象,且函数f(x)满足f(3π160+f（11π16）=2,则下列说法中正确的是( )
A.函数g(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π4
B.函数g(x)的图象关于点（5π24,0）对称
C.函数g(x)的图象关于直线x=7π12对称
D.函数g(x)在区间(0,5π24)内单调递减
18.关于函数f(x)=cs x+1csx,有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称;②f(x)的图象关于原点对称;③f(x)的图象关于直线x=π2对称;④f(x)的图象关于点(π2,0)对称.
其中所有真命题的序号是 .
函数
y=sin x
y=cs x
y=tan x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R,且x≠kπ+π2}
值域



奇偶性


奇函数
周期
2π
2π
π
单调性
[2kπ-π2,2kπ+π2]上为增函数; 上为减函数
[2kπ,2kπ+π]上为减函数; 上为增函数
(kπ-π2,kπ+π2)上为增函数
零点
kπ
π2+kπ
kπ
对称轴
x=kπ+π2

无
对称
中心

(kπ+π2,0)
(kπ2,0)