第25讲　正(余)弦型函数的图像、性质及三角函数模型的简单应用--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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基础知识
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
3.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤
常用结论
1.“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为T4.
2.在正弦函数图像、余弦函数图像中,相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期.
3.若直线x=a为正(余)弦曲线的对称轴,则正(余)弦函数一定在x=a处取得最值.
4.若函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的最大值为M,最小值为m,则A=M-m2,k=M+m2.
分类探究
探究点一 正(余)弦型函数的图像变换
例1 (1)将函数f(x)=2sin（x+π6）的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图像,则( )
A.g(x)=2sin 12x
B.g(x)=2sin（12x+π3）
C.g(x)=2sin（2x-π6)
D.g(x)=2sin(2x+5π6)
(2)要得到函数y=cs(2x-π6)的图像,可把函数y=sin(2x+π6)的图像( )
A.向右平移π6个单位B.向右平移π12个单位
C.向左平移π6个单位D.向左平移π12个单位
[总结反思] 由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.
变式题 (1)(多选题)要得到函数y=sin(2x-π12)的图像,只需将函数y=sin x的图像经过下列两次变换,则下列变换正确的是( )
A.先将函数y=sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将所得图像向右平移π24个单位
B.先将函数y=sin x的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向右平移π24个单位
C.先将函数y=sin x的图像向右平移π12个单位,再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D.先将函数y=sin x的图像向右平移π12个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)
(2)将函数y=sin(6x+π4)的图像上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移π8个单位,得到的图像的一个对称中心是( )
A.(π2,0)B.(π4,0)
C.π9,0D.(π16,0)
(3)将函数f(x)=sin(2x-π3)的图像向左平移a(a>0)个单位,得到函数g(x)=cs 2x的图像,则a的最小值为( )
A.π3B.5π12
C.2π3D.π12
探究点二 正(余)弦型函数的图像与解析式
例2 (1)设函数f(x)=cs (ωx+π6)在[-π,π]的图像大致如图4-25-2所示,则f(x)的最小正周期为( )
图4-25-2
A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2
(2)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图4-25-3所示,则函数f(x)的解析式为 .
图4-25-3
[总结反思] 根据三角函数图像求解析式,重在对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑:
(1)根据最大值或最小值求出A的值.
(2)根据周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图像的最高点或最低点的坐标代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
变式题 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π).若函数y=|f(x)|的图像如图4-25-4所示,则( )
图4-25-4
A.f(x)=2sin(4x+π3)
B.f(x)=2sin(4x-π3)
C.f(x)=2sin(43x-8π9)
D.f(x)=2sin(43x+8π9)
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)满足f(x+π2)=-f(x),若把函数f(x)的图像向左平移π3个单位后得到的图像对应的函数为偶函数,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=sin(x+π6)
B.f(x)=sin(2x-π3)
C.f(x)=sin(4x+π3)
D.f(x)=sin(2x-π6)
探究点三 正(余)弦型函数图像与性质的应用
例3 (1)已知函数f(x)=sin ωx+3cs ωx(ω>0),x1,x2为函数f(x)的两个极值点,若|x1-x2|的最小值为π2,则( )
A.f(x)在[-5π12,π12]上单调递减
B.f(x)在[-5π12,π12]上单调递增
C.f(x)在[-2π3,π3]上单调递减
D.f(x)在[-2π3,π3]上单调递增
(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),若f(π8)=2,f(π2)=0,且f(x)在(0,π)上是单调的,则下列说法正确的是( )
A.ω=12
B.f(-π8)=6+22
C.函数f(x)在[-π,-π2]上单调递减
D.函数f(x)的图像关于点(5π4,0)对称
[总结反思] 三角函数图像与性质综合问题的求解思路:
(1)将函数整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)或y=Acs(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;
(2)把ωx+φ看成一个整体;
(3)借助正弦函数y=sin x或y=cs x的图像与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
变式题 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图4-25-5所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f(x-π12)-f(x+π12)在[π4,13π24]上的取值范围.
图4-25-5
探究点四 三角函数模型的简单应用
例4 如图4-25-6,某公园摩天轮的半径为40 m,圆心O距地面的高度为50 m,摩天轮逆时针匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻t(min)时P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h(ω>0,|φ|<π),求当t=2006 min时,P距离地面的高度;
(2)当距离地面的高度在(50+203)m以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈的过程中有多少时间可以看到公园的全貌?
图4-25-6
[总结反思] 三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键:
(1)已知函数解析式(模型),利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.(2)函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型.
变式题 桂花是安徽合肥的市花,是城市形象的重要标志,每年农历八月,安徽合肥的桂花遍地开放,它的最适生长气温是15~30 ℃.若安徽合肥某地农历八月的一天从4~16时的温度变化近似满足函数f(x)=Asin(π8x-5π4)+B(A>0),当x∈[4,16]时,最高温度为30 ℃,最低温度为10 ℃.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求桂花在这天的4~16时内最适合生长的时长.
同步作业
1.为了得到函数y=cs（x-13）的图像,只需将余弦函数y=cs x的图像( )
A.向左平移π3个单位
B.向右平移π3个单位
C.向左平移13个单位
D.向右平移13个单位
2.已知函数f(x)=cs 2x+sin x,则下列说法错误的是( )
A.f(x)的图像的一条对称轴为直线x=π2
B.f（π6）=1
C.f(x)的图像的一个对称中心为点（π2,0）
D.f(x)的最大值为98
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图K25-1所示,则f（π2）等于( )
图K25-1
A.322 B.-322
C.-32 D.32
4.已知曲线C:y=cs(2x+φ)（|φ|<π2）的一条对称轴方程为x=π3,将曲线C向左平移θ(θ>0)个单位,得到曲线E,曲线E的一个对称中心的坐标为（π4,0）,则θ的最小值是( )
A.π6B.π4
C.π3D.π12
5.(多选题)把函数f(x)=sin（2x-π3）的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位可以得到函数g(x)的图像,若g(x)的图像关于y轴对称,则φ的值可能为( )
A.5π12B.7π12
C.5π6D.11π12
6.已知某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin 160πt+110,其中f(t)为血压(mmHg),t为时间(min),则此人每分钟心跳次数为 .
7.将函数y=sin x2的图像向左平移π个单位后得到的图像的对称中心是 .
8.函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移π6个单位得到函数g(x)的图像,若函数g(x)是偶函数,则tan（2φ+π3）=( )
A.-3B.3C.-33D.33
9.函数f(x)=cs(πx+φ)（0<φ<π2）的部分图像如图K25-2所示,若方程f(x)=a在(0,x0)上有两个不同的实数解x1,x2,则x1f(x1)+x2f(x2)的取值范围是( )
图K25-2
A.{0}
B.（-1,22）
C.（-32,324）
D.（-43,324）
10.将函数g(x)=2cs2（x+π4）-1的图像向右平移π4个单位,再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数f(x)的图像,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的周期为π
B.当x∈R时,函数f(x)为奇函数
C.直线x=π是函数f(x)的图像的一条对称轴
D.函数f(x)在区间[2π3,5π4]上的最小值为-32
11.(多选题)声音是由物体振动产生的,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin ωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+12sin 2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的周期为2π
B.f(x)在[0,2π]上有3个零点
C.f(x)的最大值为334
D.f(x)在[0,π2]上单调递增
12.(多选题)如图K25-3,已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤π2)的图像与x轴的两个交点为P,B,与y轴交于点C,BC=2BD,∠OCB=π3,OP=2,PD=2213,则下列说法正确的有( )
图K25-3
A.f(x)的周期为12
B.φ=-π6
C.f(x)的最大值为163
D.f(x)在区间(14,17)上单调递增
13.将函数f(x)=2-4sin2x的图像向左平移5π6个单位后得到函数g(x)的图像,若函数g(x)在区间[0,a2]和[3a,7π6]上均单调递增,则实数a的取值范围是 .
14.若将函数y=6sin x+6cs x的图像向右平移θ(0<θ<π2)个单位得到函数y=3sin x+acs x(a<0)的图像,则tan θ的值为 .
15.已知函数f(x)=2cs ωxsin(ωx-π3)+32, ,求f(x)在[-π6,π6]上的取值范围.从①若|f(x1)-f(x2)|=2,|x1-x2|的最小值为π2;②f(x)的图像的两条相邻对称轴之间的距离为π2;③若f(x1)=f(x2)=0,|x1-x2|的最小值为π2这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
16.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图像如图K25-4所示,已知f(π6)=0,f(5π12)=3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图像向左平移π4个单位,再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图像,求g(x)在[-π3,2π3]上的最小值.
图K25-4
17.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具,是人类一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图K25-5是一个水车的示意图,已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒,半径为3米,水车中心(即圆心)距水面1.5米.若以水面与水车的交线为x轴,水车所在平面内,过圆心且与水面垂直的直线为y轴,x轴与y轴的交点为原点O,建立平面直角坐标系,水车的一个水斗从出水面点A处开始计时,经过t秒后转到P点的位置,则点P到水面的距离h(米)与时间t(秒)的函数关系式为( )
图K25-5
A.h=3sin(π40t-π6)+1.5
B.h=1.5cs(π40t+π6)+3
C.h=3cs(π40t-π3)+1.5
D.h=1.5sin(π40t+π3)+3
18.函数f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2),且y=f(x)的最大值为2,其图像的相邻两条对称轴间的距离为2,并过点(1,2),则φ= ,f(1)+f(2)+…+f(2021)= .
振幅
相位
初相
周期
频率
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0)
A


T=

f=1T=

x





ωx+φ





y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0