第34讲 平面向量基本定理及坐标表示--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得 .
2.平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得 .其中,平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底,此时,如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在 {a,b}下的 .
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
(2)向量的坐标求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= ,|AB|= .
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔ .
1.b=λa
2.c=xa+yb 基底 分解式
3.(1)(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1)
(2)(x2-x1,y2-y1) (x2-x1)2+(y2-y1)2
4.x1y2-x2y1=0
常用结论
1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.三点共线相关结论:
(1)一般地,如果存在实数λ,使得AB=λAC,则AB与AC平行且有公共点A,从而A,B,C三点一定共线.
(2)如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得AB=λAC.
(3)若OA=λOB+μOC(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线⇔λ+μ=1.
3.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为（x1+x22,y1+y22）;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为（x1+x2+x33,y1+y2+y33）.
分类探究
探究点一 共线向量、平面向量基本定理及其应用
角度1 共线向量基本定理
例1 (多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是( )
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e
B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0
C.当x+y=0时,xa+yb=0
D.在梯形ABCD中,AB=a,CD=b
例1 [思路点拨] 选项A,根据2a-3b=4e,a+2b=-2e得出b=-4a,从而得出a,b共线;选项B,由已知可得出λ,μ都不等于0,且a=μλb,从而得出a,b共线;选项C,当x=y=0时,满足选项的条件,显然a,b不一定共线;对于选项D,显然a,b不一定共线.
AB [解析] 对于A,由2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得4a+b=0,∴b=-4a,又a≠0,∴a,b共线;对于B,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,∴λ,μ都不为0,∴a=μλb,∴a,b共线;对于C,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0,
∴a,b不一定共线;对于D,∵AB与CD不一定平行,∴a,b不一定共线.故选AB.
[总结反思] 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(b≠0),则a与b共线,且:
(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.
变式题 已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图6-34-1所示,若向量λa+b与c共线,则实数λ=( )
图6-34-1
A.-2B.-1
C.1D.2
变式题 D [解析] 根据图形可看出2a+b=c,∵2a+b与c共线,∴λ=2.故选D.
角度2 平面向量基本定理
例2 如图6-34-2,已知OC=2OP,AB=2AC,OM=mOB,ON=nOA,若m=38,则n=( )
图6-34-2
A.34 B.23
C.45 D.58
例2 [思路点拨] 利用共线向量基本定理及平面向量基本定理根据已知可求得n.
A [解析] 方法一:由OC=2OP,AB=2AC,知C是AB的中点,P是OC的中点,所以OC=12(OA+OB),则OP=14(OA+OB),又OM=38OB,ON=nOA,所以MN=ON-OM=nOA-38OB,MP=OP-OM=14OA-18OB,又M,P,N三点共线,所以存在实数λ,使MN=λMP成立,即nOA-38OB=λ（14OA-18OB）,又OA,OB不共线,所以n=14λ,-38=−18λ,解得λ=3,n=34.故选A.
方法二:设MP=λMN,因为OM=38OB,ON=nOA,所以OP=OM+MP=38OB+λ(ON-OM)=38OB+λ（nOA-38OB）=38(1-λ)·OB+nλOA,又OC=2OP,所以OP=12OC=14OA+14OB,所以38(1-λ)=14,nλ=14,解得λ=13,n=34.故选A.
[总结反思] (1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.
变式题 在△ABC中,AC=5AD,E是直线BD上一点,且BE=2BD,若AE=mAB+nAC,则m+n=( )
A.25B.-25
C.35D.-35
变式题 D [解析] 如图所示,
AE=AB+BE=AB+2BD=AB+2(AD-AB)=AB+215AC-AB=-AB+25AC.∵AE=mAB+nAC,
∴m=-1,n=25,故m+n=-35.故选D.
角度3 共线向量基本定理、平面向量基本定理的综合应用
例3 (1)设a,b不共线,AB=a+3b,BC=a+2b,CD=3a+mb,若A,C,D三点共线,则实数m的值是( )
A.23B.15C.72D.152
(2)如图6-34-3,在平行四边形ABCD中,DE=12EC,F为BC的中点,G为EF上的一点,且AG=79AB+mAD,则实数m的值为( )
图6-34-3
A.23B.13C.-13D.-23
例3 [思路点拨] (1)由A,C,D三点共线,得到AC=λCD,根据平面向量基本定理列方程组求解即可得到m的值;(2)可根据条件得出DE=13AB,BF=12AD,并可设AG=λAE+(1-λ)AF,然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算可得AG=（1-2λ3）AB+（λ2+12）AD,从而根据平面向量基本定理可得1−2λ3=79,m=λ2+12,解出m即可.
(1)D (2)A [解析] (1)∵AB=a+3b,BC=a+2b,∴AC=AB+BC=2a+5b.∵A,C,D三点共线,∴AC=λCD,即2a+5b=λ(3a+mb),∴2=3λ,5=λm,解得λ=23,m=152.
故选D.
(2)∵DE=12EC,F为BC的中点,∴DE=13AB,BF=12AD.∵G,E,F三点共线,∴可设AG=λAE+(1-λ)AF=λ(AD+DE)+(1-λ)(AB+BF)=λ（AD+13AB）+(1-λ)（AB+12AD）=（1-2λ3）AB+（λ2+12）AD,又AG=79AB+mAD,∴1−2λ3=79,m=λ2+12,解得λ=13,m=23.故选A.
[总结反思] 三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为AC=λAB,或OA=λOB+(1-λ)OC(λ为常数),再根据平面向量基本定理列出方程(组),解出参数即可.
变式题 在△ABC中,D在线段BC上,且BD=2DC,AM=λAC,AN=μAB,λ,μ均为非零常数,若N,D,M三点共线,则2λ+1μ=( )
A.1B.2C.3D.4
变式题 C [解析] ∵BD=2DC,∴BD=23BC,∴AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,∵AM=λAC,AN=μAB,∴AC=1λAM,AB=1μAN,∴AD=13μAN+23λAM,又N,D,M三点共线,
∴13μ+23λ=1,∴2λ+1μ=3.故选C.
探究点二 平面向量的坐标运算
例4 (1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=( )
A.（133,83）B.（-133,-83）
C.（133,43）D.（-133,-43）
(2)在Rt△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,D是△ABC的内心,则BD=( )
A.-23AB+14AC
B.23AB-14AC
C.-23AB+13AC
D.23AB-13AC
例4 [思路点拨] (1)由a-2b+3c=0,可得c=-13(a-2b),然后代入向量a和b的坐标进行运算即可;(2)以A为原点,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,求得内切圆的半径r=2,设BD=mAB+nAC,用坐标表示BD,AB,AC,再利用平面向量基本定理求得m,n的值即可.
(1)D (2)A [解析] (1)∵a-2b+3c=0,
∴c=-13(a-2b)=-13×(13,4)=（-133,-43）.故选D.
(2)如图所示,以A为原点,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
由已知可得|BC|=62+82=10.过点D作DE⊥x轴,DF⊥y轴,垂足分别为E,F,则四边形AEDF为正方形,∴内切圆的半径r=6+8−102=2,∴D(2,2),B(6,0),C(0,8).设BD=mAB+nAC,则(-4,2)=m(6,0)+n(0,8),∴-4=6m,2=8n,解得m=-23,n=14,
∴BD=-23AB+14AC.故选A.
[总结反思] (1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
变式题 (1)(多选题)已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则使λ1λ2<0成立的a可能是( )
A.(1,0)B.(0,1)
C.(-1,0)D.(0,-1)
(2) 已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,则实数x的值为( )
A.49B.12C.94D.2
变式题 (1)AC (2)C [解析] (1)∵e1=(-1,2),e2=(2,1),∴向量a=λ1e1+λ2e2=(-λ1,2λ1)+(2λ2,λ2)=(2λ2-λ1,2λ1+λ2).当a=(1,0)时,2λ1+λ2=0,满足题意;当a=(0,1)时,2λ2-λ1=0,不满足题意;当a=(-1,0)时,2λ1+λ2=0,满足题意;当a=(0,-1)时,2λ2-λ1=0,不满足题意.故选AC.
(2)∵向量a=(2,1),b=(x,-2),∴a+b=(2+x,-1),2a-b=(4-x,4).∵|a+b|=|2a-b|,
∴(2+x)2+(−1)2=(4-x)2+42,
解得x=94.故选C.
探究点三 平面向量共线的坐标表示
例5 (1)已知a=(1,2+sin x),b=(2,cs x),c=(-1,2),若(a-b)∥c,则锐角x等于( )
A.15°B.30°C.45°D.60°
(2)已知向量a=(1,k),b=(k,2),若a与b方向相同,则k等于( )
A.1B.±2
C.-2D.2
例5 [思路点拨] (1)先求出a-b的坐标,再由(a-b)∥c求得tan x=1,由此求得锐角x的值;(2)根据平面向量的共线定理与坐标表示,列方程求出k的值即可.
(1)C (2)D [解析] (1)由题意可得a-b=(-1,2+sin x-cs x),∵(a-b)∥c,∴-2-(-1)(2+sin x-cs x)=0,化简可得sin x=cs x,∴tan x=1,∴锐角x等于45°.故选C.
(2)∵向量a=(1,k),b=(k,2),且a与b方向相同,
∴k>0,k2-1×2=0,解得k=2.故选D.
[总结反思] (1)注意两平面向量共线的充要条件.
(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由向量平行求参数,当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.
变式题 (1)已知向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),且实数k>0.若A,B,C三点共线,则k=( )
A.0B.1
C.2D.3
在梯形ABCD中,AB∥CD,且DC=2AB,若点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .
变式题 (1)D (2)(2,4) [解析] (1)∵向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),∴AB=OB-OA=(2,2-k),BC=OC-OB=(k+1,-2).∵A,B,C三点共线,∴AB∥BC,∴k+12=-22−k,又k>0,∴k=3.故选D.
(2)因为在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,所以DC=2AB.设点D的坐标为(x,y),则DC=(4-x,2-y),又AB=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),所以4−x=2,2−y=−2,解得x=2,y=4,故点D的坐标为(2,4).
同步作业
1.设a是任一向量,e是单位向量,且a∥e,则下列表示形式中正确的是( )
A.e=a|a|B.a=|a|e
C.a=-|a|e D.a=±|a|e
1.D [解析] 对于A,当a=0时,a|a|没有意义,故A错误.对于B,C,D,当a=0时,选项B,C,D都正确,当a≠0时,由a∥e可知,a与e同向或反向,故B,C错误,D正确.故选D.
2.在下列各组向量中,可以作为一组基底的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-10)
C.e1=(3,5),e2=(-3,-5)
D.e1=(2,-3),e2=2,-34
2.D [解析] 选项A,0×1-0×1=0,所以e1,e2共线,不能作为基底;选项B,-1×(-10)-2×5=0,所以e1,e2共线,不能作为基底;选项C,3×(-5)-(-3)×5=0,所以e1,e2共线,不能作为基底;选项D,2×（-34）-(-3)×2≠0,所以e1,e2不共线,可以作为基底.故选D.
3.平面向量a=(1,2),b=(3,4),则a+2b=( )
A.(5,8)B.(5,10)
C.(7,8)D.(7,10)
3.D [解析] ∵向量a=(1,2),b=(3,4),
∴a+2b=(1,2)+(6,8)=(7,10).故选D.
4.已知向量a=(m,2),b=(3,-6),若|a+b|=|a-b|,则实数m的值是( )
A.-4B.-1
C.1D.4
∴(m+3)2+16=(m-3)2+64,化简得12m=48,解得m=4.故选D.
5.如图K34-1,在△ABC中,AD=3DB,P为CD上一点,且AP=mAC+12AB,则m的值为( )
图K34-1
A.12B.13
C.14D.15
5.B [解析] ∵AD=3DB,∴AB=43AD,又AP=mAC+12AB,∴AP=mAC+23AD,又C,P,D三点共线,
∴m+23=1,解得m=13.故选B.
6.已知O,A,B,C为平面α内的四点,其中A,B,C三点共线,点O在直线AB外,且满足OA=1xOB+2yOC,其中x>0,y>0,则x+8y的最小值为( )
A.21B.25
C.27D.34
6.B [解析] ∵A,B,C三点共线,点O在直线AB外,OA=1xOB+2yOC,∴1x+2y=1,∴x+8y=(x+8y)×（1x+2y）=1+2xy+8yx+16≥17+22xy·8yx=25（当且仅当x=5,y=52时,等号成立）.故选B.
7.已知向量a=(3,1),b=(x,-2),且a,b共线,则a-b= .
7.(9,3) [解析] 因为a,b共线,所以3×(-2)-1×x=0,解得x=-6,所以b=(-6,-2),则a-b=(9,3).
8.在△ABC中,D为边AB上一点,且BD=3AD,若CD=λCA+μCB,则λμ=( )
A.13B.3
C.14D.4
8.B [解析] 因为BD=3AD,所以CD=CB+BD=CB+34BA=CB+34(CA-CB)=34CA+14CB,由CD=λCA+μCB可得λ=34,μ=14,则λμ=3.故选B.
9.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,则实数x的值为( )
A.49B.12
C.94D.2
9.C [解析] ∵向量a=(2,1),b=(x,-2),∴a+b=(2+x,-1),2a-b=(4-x,4),∵|a+b|=|2a-b|,
∴(2+x)2+(−1)2=(4-x)2+42,解得x=94,故选C.
10.在△ABC中,D为BC上一点,且BD=2DC,AE=ED,若EB=xAB+yAC,则( )
A.x=13,y=23
B.x=56,y=13
C.x=56,y=-13
D.x=23,y=13
10.C [解析] 因为BD=2DC,AE=ED,所以DB=-23BC,ED=12AD,所以EB=ED+DB=12AD-23BC=12(AB+BD)-23(AC-AB)=12（AB+23BC）-23(AC-AB)=12AB+13BC-23AC+23AB=76AB+13(AC-AB)-23AC=56AB-13AC,故x=56,y=-13.故选C.
11.(多选题)已知向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),OC=(t+3,t-8),若点A,B,C能构成三角形,则实数t可以为( )
A.-2B.12
C.1D.-1
11.ABD [解析] ∵向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),OC=(t+3,t-8),∴AB=(-2,1)-(1,-3)=(-3,4),AC=(t+3,t-8)-(1,-3)=(t+2,t-5).∵点A,B,C能构成三角形,∴AB≠λAC,∴(-3,4)≠(λ(t+2),λ(t-5)),解得t≠1.结合选项可知,应选ABD.
12.(多选题)如图K34-2所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点P,若AP=λAB,OC=μOA+3μOB,则( )
图K34-2
A.当P为线段OC的中点时,μ=12
B.当P为线段OC的中点时,μ=13
C.无论μ取何值,恒有λ=34
D.存在μ∈R,λ=12
12.AC [解析] 由已知得OP=OA+AP=OA+λAB=OA+λ(OB-OA)=(1-λ)OA+λOB,因为OP与OC共线,所以1−λμ=λ3μ,解得λ=34,故C正确,D错误;当P为OC中点时,有OP=12OC,则1-λ=12μ,λ=12×3μ,解得μ=12,故A正确,B错误.故选AC.
13.在△ABC中,已知D是边AB上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ= .
13.23 [解析] 由已知得,CD=CA+AD=CA+2DB①,∵CD=CB+BD,∴2CD=2CB+2BD=2CB-2DB②,①+②得3CD=CA+2CB,∴CD=13CA+23CB,∴λ=23.
14.在△ABC中,CD=-35BC,EC=12AC,AF=13AB,若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且DP=-13DC+xDE,则实数x的取值范围为 .
14.（12,43） [解析] 如图所示,
在线段BD上取一点G,使得DG=-13DC,设DC=3a,则DG=a,BC=5a,BG=a.过点G作GH∥DE,分别交DF,AE于K,H,连接FH,则HE=13EC,AH=23EC,HG=43DE,则AHHC=12=AFFB,所以FH∥BC,所以FH=13BC,所以FHDG=KHKG,所以KG=35HK,则KG=38HG=12DE,所以实数x的取值范围是（12,43）.
15.已知a=(1,0),b=(2,1),
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;
(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
15.解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).∵ka-b与a+2b共线,∴2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-12.
(2)∵A,B,C三点共线,∴AB∥BC,∴存在实数λ,使得2a+3b=λ(a+mb)=λa+λmb,又a与b不共线,
∴2=λ,3=λm,解得m=32.
16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量m=(a,cs A),n=(b+c,3sin B-cs C),且m∥n.
(1)求A的大小;
(2)若a=27,△ABC的面积为33,求△ABC的周长.
16.解:(1)m∥n,∴a(3sin B-cs C)=(b+c)cs A,由正弦定理得3sin Asin B-sin Acs C=sin Bcs A+sin Ccs A,即sin B(3sin A-cs A)=sin Acs C+cs Asin C=sin(A+C)=sin B,又sin B≠0,
∴3sin A-cs A=1,即sin（A-π6）=12,
又A∈(0,π),∴A-π6=π6,∴A=π3.
(2)由(1)知A=π3,则12bcsin A=12bc×32=33,
∴bc=12.∵a2=b2+c2-2bccs A,∴28=b2+c2-2bccs π3=(b+c)2-3bc=(b+c)2-36,∴(b+c)2=64,∴b+c=8.故△ABC的周长为8+27.
17.已知△ABC内接于圆O,且线段AB的延长线与线段OC的延长线相交,设OC=λOA+μOB,则λ+μ的取值范围是( )
A.(-1,1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.（-12,12）
17.C [解析] 设线段AB的延长线与线段OC的延长线相交于点D,易知点D是圆O外一点.
设OD=tOC(t>1),由B,A,D三点共线且D在圆O外可得AD=kAB(k>1),又∵OD=OA+AD,∴OD=(1-k)OA+kOB,故tOC=(1-k)OA+kOB(t>1,k>1),则OC=ktOB+1−ktOA(k>1,t>1).又∵OC=λOA+μOB,∴λ=1−kt,μ=kt,∴λ+μ=1t∈(0,1).故选C.
18.在扇形AOB中,∠AOB=2π3,点C为弧AB上任意一点(不含点A,B),若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+2μ的取值范围是( )
A.(0,2)B.(1,2]
C.（1,2213）D.（1,2213]
18.D [解析] 以O为坐标原点,以OA所在的直线为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.
设扇形AOB的半径为1,则OA=(1,0),OB=(cs 2π3,sin 2π3)=(-12,32）.设C(cs θ,sin θ)（0<θ<2π3）,则OC=(cs θ,sin θ)（0<θ<2π3）,则λOA+μOB=(λ,0)+（-12μ,32μ）=（λ-12μ,32μ）.∵OC=λOA+μOB,∴csθ=λ-12μ,sinθ=32μ（0<θ<2π3）,解得λ=33sinθ+csθ,μ=23sinθ3,
∴λ+2μ=533sin θ+cs θ=2213sin(θ+φ)（其中tan φ=35）,由此可知sin φ=12213,0<φ<π6,
∵0<θ<2π3,∴φ<θ+φ<2π3+φ,∴sin φ向量
a
b
a+b
a-b
λa
坐标
(x1,y1)
(x2,y2)