第35讲 平面向量的数量积及应用举例--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.平面向量的数量积
(1)概念
一般地,当a与b都是非零向量时,称 为向量a与b的数量积(也称为内积),记作 ,即 = .特别地,零向量与任一向量的数量积为 .
(2)几何意义
①投影向量:如图6-35-1所示,设非零向量AB=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量A'B'为向量a在直线l的 或 .
②两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在 与 的乘积.
图6-35-1
(3)向量的夹角
给定两个 向量a和b(如图6-35-2所示),在平面内任选一点O,作OA=a,OB=b,则称[0,π]内的∠AOB为向量a与向量b的 ,记作.
图6-35-2
2.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ.
①交换律: ;
②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);
③分配律:(a+b)·c= .
3.平面向量数量积的性质
设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
①e·a=a·e= .
②a⊥b⇔ .
③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .
特别地,a·a=a2= 或|a|= .
④cs= .
⑤|a·b| |a||b|.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角.
常用结论
1.(a+b)·(a-b)=a2-b2.
2.(a±b)2=a2±2a·b+b2.
3.S△ABC=12|AB||AC|sin A=12|AB|2·|AC|2-(AB·AC)2.
4.若两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b的夹角为0时不成立).
5.若两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b的夹角为π时不成立).
6.若AP=λAB|AB|+AC|AC|,则AP所在直线为∠BAC的平分线.
分类探究
探究点一 平面向量数量积的运算
例1 (1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是( )
A.(-2,6)B.(-6,2)
C.(-2,4)D.(-4,6)
(2) 若a=(3,m)(m∈R),b=(-6,4),且a=λb(λ∈R),则(a+b)·(3a+b)=( )
A.0B.-5
C.-12D.-13
[总结反思] 解决向量数量积的运算问题的三种方法:
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
变式题 (1) 已知向量a=(-1,2),b=(m,-2m-1),a·b=8,则m=( )
A.-2B.-1C.1D.2
(2)(多选题) 在平行四边形ABCD中,∠DAB=120°,AB=2,AD=1,若E为线段AB的中点,则( )
A.DE·AC=12B.DE·AC=32
C.DE·BD=-72D.DE·BD=-92
探究点二 平面向量数量积的应用
微点1 平面向量的模
例2 (1) 已知平面向量a,b满足(a+b)·b=2,且|a|=1,|b|=2,则|a+b|=( )
A.3B.2
C.1D.23
(2) 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图6-35-3所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度g=10 m/s2,3≈1.732)( )
图6-35-3
A.63 kgB.69 kgC.75 kgD.81 kg
(3)已知向量a,b满足|a+b|=2,|a-b|=3,则|a|+|b|的最大值为 .
[总结反思] 求平面向量的模的两种方法:
(1)公式法:①a2=a·a=|a|2或|a|=a·a;
②|a±b|=(a±b)2=a2±2a·b+b2;
③若a=(x,y),则|a|=x2+y2.
(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
微点2 平面向量的夹角
例3 (1) 已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cs=( )
A.-3135B.-1935C.1735D.1935
(2) 在直角三角形ABC中,AB⊥AC,|AB|=3,|AC|=2,AE=2EB,AF=FC,设BF与CE交于点G,则cs=( )
A.1010B.31010C.35D.45
[总结反思] 求平面向量夹角的方法:
(1)定义法:利用向量数量积的定义得,cs=a·b|a||b|,其中两向量夹角的取值范围为[0,π];
(2)坐标法:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cs =x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22.
微点3 平面向量的垂直
例4 (1) 已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2bB.2a+b
C.a-2bD.2a-b
(2) 已知向量a=(2,1),b=(2,-3),且ka+b与a-b垂直,则k=( )
A.3B.2C.-2D.-3
[总结反思] (1)当向量a与b是坐标形式,即a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0.
(2)当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且要知道不共线的向量的模与夹角,进行运算证明a·b=0.
(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,则虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.
▶ 应用演练
1.【微点1】 设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=( )
A.0B.1C.2D.-2
2.【微点1】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a与b的夹角为π6,则|2a-b|=( )
A.12B.13C.1D.13
3.【微点2】 已知向量a=(-3,1),b=(x,-4).若(a+b)⊥a,则向量a与b的夹角为( )
A.π4B.π3C.2π3D.3π4
4.【微点3】 已知向量b=12,32,向量a在向量b上的投影的数量为-2.若(λa+b)⊥b,则实数λ的值为( )
A.14B.-14C.12D.-12
5.【微点2】已知非零向量AB,AC满足AB|AB|+AC|AC|·BC=0,且AB|AB|·AC|AC|=12,则△ABC的形状是( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形
探究点三 平面向量数量积的综合问题
例5 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cs A=35.
(1)若△ABC的面积为3,求AB·AC的值;
(2)设m=2sin B2,1,n=cs B,cs B2,且m∥n,求sin(B-2C)的值.
[总结反思] 利用向量运算进行转化,化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法.以向量为载体考查三角形问题时,要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
变式题 (1) 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且对任意t∈R都有|a+b|≤|a-tb|,则a与b的夹角为( )
A.π3B.π2C.2π3D.π
(2) 已知函数f(x)=32|sin πx|的部分图像如图6-35-4所示,A1,A2,A3是图像的顶点,O,B,C,D为f(x)的图像与x轴的交点,线段A3D上有五个不同的点Q1,Q2,…,Q5,记ni=OA2·OQi(i=1,2,…,5),则n1+n2+…+n5的值为( )
图6-35-4
1523B.45C.1543D.452
同步作业
1.已知向量a=(1,-1),b=(-2,3),则|a-b|=( )
A.5B.1
C.5D.25
2. 已知向量a=(3,m),b=(1,2),若(a+b)⊥b,则m=( )
A.-4B.-3
C.2D.3
3. 已知向量|a|=2,|b|=1,(a+b)·(a-3b)=1,则向量a与向量b的夹角为( )
A.π4B.3π4C.π3D.2π3
4. 在△ABC中,AB·AC=0,点P为BC的中点,且|PA|=|AB|,则向量BA在向量BC上的投影的数量为( )
A.-34|BC|B.34|BC|
C.-14|BC|D.14|BC|
5.在△ABC中,AB=AC,BD=2DC,E是AC的中点,若AD·BE=-4,则AB·AC=( )
A.0B.2C.4D.8
6.(多选题) 已知向量a=(0,5),b=(4,-3),c=(-2,-1),那么下列结论错误的是( )
A.a-b与c为共线向量
B.a-b与c垂直
C.a-b与a的夹角为钝角
D.a-b与b的夹角为锐角
7. 在△ABC中,AB=(3,3),CB=(-3,3),则CA·CB= .
8. 已知平面向量a,b满足|a|=|b|,且(2a-b)⊥b,则a,b的夹角为( )
A.π6B.π4C.π3D.0
9. 若单位向量a,b满足a⊥b,向量c满足(a+c)·b=1,且向量b,c的夹角为60°,则|c|=( )
A.12B.2C.233D.3
10.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例,根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年,如图K35-1,在矩形ABCD中,△ABC满足“勾3股4弦5”,且AB=3,BC=4,E为AD上一点,BE⊥AC,若BE=λBA+μBC,则λ+μ的值为( )
图K35-1
A.107B.98
C.2516D.2918
11.(多选题) 设向量a=(2,0),b=(1,1),则( )
A.|a|=|b|B.(a-b)∥b
C.(a-b)⊥bD.a与b的夹角为π4
12.(多选题)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,则下列说法正确的是( )
A.a与b的夹角为钝角
B.向量a在b上的投影的数量为52
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
13.在日常生活中,我们会看到如图K35-2所示的情景,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ.给出以下结论:
图K35-2
①θ越大越费力,θ越小越省力;
②θ的取值范围为[0,π];
③当θ=π2时,|F1|=|G|;
④当θ=2π3时,|F1|=|G|.
其中正确结论的序号是 .
14.已知向量m,n的夹角为π12,|m|=sin π24,|n|=cs π24,则|m+n|= .
15. 已知向量a=(4,3cs α),b=(1,2tan α).
(1)若a∥b,求sin α的值;
(2)若a⊥b,且α∈-π2,0,求cs2α+π3的值.
16.已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为3π4,且m·n=-1.
(1)求向量n;
(2)若向量n与向量q=(1,0)垂直,向量p=cs A,2cs2C2,其中A,B,C为△ABC的内角,且2B=A+C,求|n+p|的取值范围.
17.已知向量ak(k=1,2,…,6)满足|ak|=k(k=1,2,…,6) ,且a1+a2+…+a6=0,则(a1+a2)·(a5+a6)的最大值是( )
A.9 B.10C.12D.14
18. 如图K35-3,设圆O的半径为1,P,A,B是圆O上不重合的三点,则PA·PB的最小值是( )
图K35-3
A.-12 B.-1C.-14D.-18
向量表示
坐标表示
向量a的模
|a|=a2
|a|=
a,b的数量积
a·b=|a||b|cs
a·b=
a与b垂直
a⊥b⇔a·b=0
a⊥b⇔
a与b的夹角
cs=a·b|a||b|
cs=