第36讲 复数讲义--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.复数的有关概念
(1)复数的概念
当a与b都是实数时,称 为复数,复数一般用小写字母z表示,即 ,其中,a称为z的 ,b称为z的 .分别记作 .
若 ,则a+bi为实数;若 ,则a+bi为虚数;若 ,则a+bi为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di⇔ (a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔ (a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量OZ=(a,b)的长度称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作 或 ,即|z|=|a+bi|= .一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=|z|.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量 (O为坐标原点).
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ;
④除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)= .
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .
1.(1)a+bi z=a+bi(a,b∈R) 实部 虚部 Re(z)=a,Im(z)=b b=0 b≠0 a=0且b≠0
(2)a=c且b=d (3)a=c且b=-d
(4)|z| |a+bi| a2+b2
2.(2)OZ=(a,b)
3.(1)①(a+c)+(b+d)i ②(a-c)+(b-d)i ③(ac-bd)+(ad+bc)i ④ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i
(2)z2+z1 z1+(z2+z3)
常用结论
1.(1±i)2=±2i;1+i1-i=i;1-i1+i=-i;(-12±32i)3=1.
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
3.|z|2=|z|2=z·z.
4.||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
5.|z1·z2|=|z1|·|z2|,|z1z2|=|z1||z2|,|zn|=|z|n.
6.复平面内的中点坐标公式:在复平面内,若点C为线段AB的中点,A,B,C对应的复数分别为zA,zB,zC,则zC=zA+zB2.特别地,在复平面内△ABC的重心G对应的复数zG=zA+zB+zC3.
分类探究
探究点一 复数的有关概念
1. 已知i为虚数单位,则下列说法中正确的是( )
A.若z∈C,则z2≥0
B.2i-1的虚部是2i
C.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i
D.实数集在复数集中的补集是虚数集
1.D [解析] 令z=i∈C,则i2=-1<0,故A不正确;2i-1的虚部是2,故B不正确;a+i与b+i都是虚数,不能比较大小,故C不正确;由实数集与虚数集可组成复数集知D正确.故选D.
2.若复数z=m+2i2-i是纯虚数(i为虚数单位),则实数m的值是( )
A.-4B.-1
C.1D.4
2.C [解析] ∵z=m+2i2−i=(m+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2m-25+m+45i是纯虚数,∴2m-2=0,m+4≠0,解得m=1.故选C.
3.若复数(1+ai)(1+2i)的实部和虚部之和为0,则实数a的值是( )
A.-1B.1
C.-3D.3
3.D [解析] (1+ai)(1+2i)=1-2a+(a+2)i,由题知(1-2a)+(a+2)=0,解得a=3.故选D.
4.若(x+2i)i=y+i,其中x,y∈R,i为虚数单位,则复数z=x+yi的共轭复数z= .
4.1+2i [解析] ∵(x+2i)i=y+i,∴-2+xi=y+i,则x=1,y=-2,∴复数z=x+yi的共轭复数z=1+2i.
[总结反思] 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题时要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的答案.
探究点二 复数的几何意义

1.若i为虚数单位,复数z=cs 2π3-isin 2π3的共轭复数是z,则复数 z2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
1.C [解析] ∵z=cs 2π3-isin 2π3=-12-32i,∴z=-12+32i,则z2=(-12+32i)2=14-32i-34=-12-32i,∴复数z2在复平面内对应的点的坐标为(-12,-32),位于第三象限.故选C.
2.已知复数z=a+2i-i(a-i)在复平面内对应的点在第四象限,则实数a的最小正整数值为( )
A.1B.2
C.3D.4
2.C [解析] ∵z=a+2i-i(a-i)=(a-1)+(2-a)i在复平面内对应的点在第四象限,∴a-1>0,2−a<0,解得a>2,
∴实数a的最小正整数值为3.故选C.
3.在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在▱OACB中,点C对应的复数为( )
A.2+2iB.2-2i
C.1+iD.1-i
3.A [解析] 设C(x,y),∵O(0,0),A(2,-1),B(0,3),
∴OB=(0,3),AC=(x-2,y+1).由题意可得OB=AC,则x-2=0,y+1=3,解得x=y=2,∴点C对应的复数为2+2i.故选A.
4.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|= .
4.23 [解析] 方法一:设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=3+i-(a+bi)=(3-a)+(1-b)i,
故|z1|2=a2+b2=4,|z2|2=(3-a)2+(1−b)2=a2+b2-23a-2b+4=4,
即a2+b2=4,a2+b2-23a-2b=0.又z1-z2=(2a-3)+(2b-1)i,∴|z1-z2|2=(2a-3)2+(2b-1)2=4a2+4b2-43a-4b+4=2(a2+b2)+2(a2+b2-23a-2b)+4=2×4+4=12,∴|z1-z2|=23.
方法二:在复平面内,设z1,z2对应的向量分别为a,b,则|a|=|b|=2,且a+b=(3,1).
∵(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,∴4+(a-b)2=16,得|a-b|=23,即|z1-z2|=23.
[总结反思] (1)复数z、z在复平面内对应的点Z和向量OZ相互联系,即z=a+bi(a,b∈R),Z(a,b),OZ=(a,b)相互一一对应.
(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量OZ的坐标,对于复数z=a+bi(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b),复数的模即为其对应向量的模.
探究点三 复数代数形式的运算
1.已知i是虚数单位,则(1-i1+i)2020=( )
A.1B.-1
C.iD.-i
1.A [解析] ∵1−i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-i,∴(1−i1+i)2020=(-i)2020=i2020=i4×505=1.故选A.
2.已知复数z=51+2i+i1-i,则|z|=( )
A.1B.13
C.322D.102
2.D [解析] ∵z=51+2i+i1−i=5(1−2i)(1+2i)(1-2i)+i(1+i)(1-i)(1+i)=1-2i-12+12i=12-32i,∴|z|=(12) 2+(−32) 2=102.故选D.
3.已知i为虚数单位,若2+ai2i=1-bi,则a+b=( )
A.-2B.-1
C.2D.3
3.D [解析] 由2+ai2i=1-bi,得2+ai=2i(1-bi)=2b+2i,∴2=2b,a=2,即a=2,b=1,∴a+b=3.故选D.
4.已知复数z满足z+2z=6+i,则z的实部为 .
4.2 [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),∵复数z满足z+2z=6+i,∴3a-bi=6+i,可得3a=6,-b=1,即a=2,b=-1,∴z的实部为2.
[总结反思] (1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的乘法运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可;
复数的除法:复数的除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数, 解题时要注意把i的幂写成最简形式.
同步作业
1.(1+2i)(2+i)=( )
A.4+5iB.5i
C.-5iD.2+3i
1.B [解析] (1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i,故选B.
2.已知复数z在复平面上对应的点为(1,m),若iz为纯虚数,则实数m的值为( )
A.-1B.0
C.1D.1或-1
2.B [解析] ∵复数z在复平面上对应的点为(1,m),
∴z=1+mi,∵iz=i(1+mi)=-m+i为纯虚数,∴m=0.故选B.
3.复数z满足(-12+32i)z=1,则z的共轭复数为( )
A.12+32iB.12-32i
C.-12+32iD.-12-32i
3.C [解析] ∵(-12+32i)z=1,∴z=1-12+32i=-12-32i(−12+32i)(−12-32i)=-12-32i,则z的共轭复数为-12+32i.故选C.
4.已知复数z满足(2-i)z=1+i,那么|z|=( )
A.25B.15
C.25D.105
4.D [解析] 由(2-i)z=1+i,得z=1+i2−i=(1+i)(2+i)5=1+3i5,∴z=15+35i,则|z|=(15) 2+(35) 2=105.故选D.
5.在复平面内,复数2i,3对应的点分别为A,B.若C为线段AB上的点,且AC=CB,则点C对应的复数是( )
A.1+32iB.32+i
C.1+23iD.23+i
5.B [解析] 由题意知,A(0,2),B(3,0),又AC=CB,
∴C为线段AB的中点,则C(32,1),∴点C对应的复数是32+i.故选B.
6.(多选题)对于两个复数α=1-i,β=1+i,下列结论中正确的是( )
A.αβ=1B.αβ=-i
C.|αβ|=1 D.α2+β2=0
6.BCD [解析] αβ=(1-i)·(1+i)=2,故A不正确;αβ=1−i1+i=(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-2i2=-i,故B正确;|αβ|=|-i|=1,故C正确;α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=1-2i-1+1+2i-1=0,故D正确.故选BCD.
7.复数z=2-i1-2i(i为虚数单位),则|z|= ,z2= .
7.1 725+2425i [解析] 复数z=2−i1−2i=(2-i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=4+3i5=45+35i,则|z|=(45) 2+(35) 2=1,z2=(45+35i）(45+35i)=1625-925+2425i=725+2425i.
8.已知复数z=1+ai(a∈R)(i是虚数单位),zz=-35+45i,则a=( )
A.2B.-2
C.±2D.-12
8.B [解析] 由题意可得1−ai1+ai=-35+45i,即(1-ai)21+a2=1−a2-2ai1+a2=-35+45i,所以1−a21+a2=-35,-2a1+a2=45,所以a=-2.故选B.
9.设复数z满足|z-1|=|z-i|(i为虚数单位),z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.y=-x
B.y=x
C.(x-1)2+(y-1)2=1
D.(x+1)2+(y+1)2=1
9.B [解析] 方法一:因为复数z满足|z-1|=|z-i|,所以复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(1,0)和点(0,1)的距离相等,易知这两点关于直线y=x对称,故选B.
方法二:由z在复平面内对应的点为(x,y),且|z-1|=|z-i|,得|x-1+yi|=|x+(y-1)i|,
∴(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,整理得y=x.
故选B.
10.若复数z满足z+|z|=2+i,则z=( )
A.34+i
B.1-34i
C.43-i
D.34-i
10.A [解析] 设复数z=x+yi,x,y∈R.由z+|z|=2+i,得x+yi+x2+y2=2+i,所以x+x2+y2=2,y=1,解得x=34,y=1,所以z=34+i.故选A.
11.(多选题)若复数z=3-5i1-i,则( )
A.|z|=17
B.z的实部与虚部之差为3
C.z=4+i
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
11.AD [解析] z=3−5i1−i=(3-5i)(1+i)(1-i)(1+i)=8−2i2=4-i;
|z|=42+(−1)2=17;
z的实部为4,虚部为-1,所以z的实部与虚部之差为5;
z在复平面内对应的点的坐标为(4,-1),故z在复平面内对应的点位于第四象限.
故选AD.
12.(多选题)已知复数z满足z2+2|z|=0,则z可能为( )
A.0B.-2
C.2iD.-2i
12.ACD [解析] 令z=a+bi,a,b∈R,∵z2+2|z|=0,
∴a2-b2+2a2+b2+2abi=0,
则a2-b2+2a2+b2=0,ab=0,
解得a=0,b=0或a=0,b=2或a=0,b=−2,
所以z=0或z=2i或z=-2i.
故选ACD.
13.若复数z满足|z-i|≤2(i为虚数单位),则z在复平面内所对应的图形的面积为 .
13.2π [解析] 设z=x+yi(x,y∈R),由|z-i|≤2,得|x+(y-1)i|≤2,所以x2+(y-1)2≤2,所以x2+(y-1)2≤2,所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆及其内部,它的面积为2π.
14.欧拉公式eix=cs x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e4i表示的复数在复平面中对应的点位于第 象限.
14.三 [解析] 由eix=cs x+isin x,得e4i=cs 4+isin 4,∴e4i表示的复数在复平面中所对应的点的坐标为(cs 4,sin 4),∵π<4<32π,∴cs 4<0,sin 4<0,故点(cs 4,sin 4)位于第三象限.
15.定义复数的一种运算z1*z2=|z1|+|z2|2(等式右边为普通运算).若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*z的最小值为( )
A.92B.322
C.32D.94
15.B [解析] z*z=|z|+|z|2=2a2+b22=a2+b2=(a+b)2-2ab,∵ab≤(a+b2)2=94,当且仅当a=b=32时,等号成立,∴-ab≥-94,故z*z≥9−2×94=92=322.故选B.
16.已知复数z满足|z|=1,则|z+i|+|z-i|的最大值是 .
16.22 [解析] 设z=cs θ+isin θ(0≤θ<2π),则|z+i|+|z-i|=cs2θ+(sinθ+1)2+cs2θ+(sinθ-1)2=2(1+sinθ)+2(1−sinθ)=2(sin θ2+cs θ2) 2+2(sin θ2-cs θ2) 2=2|sin θ2+cs θ2|+2|sin θ2-cs θ2|.∵0≤θ<2π,∴0≤θ2<π.当θ2∈[0,π4]时,|z+i|+|z-i|=22cs θ2,|z+i|+|z-i|的最大值是22;
当θ2∈(π4,3π4]时,|z+i|+|z-i|=22sin θ2,|z+i|+|z-i|的最大值是22;
当θ2∈(3π4,π)时,|z+i|+|z-i|=-22cs θ2,|z+i|+|z-i|<22.综上,|z+i|+|z-i|的最大值是22.