第40讲 破解高考中常见复合函数的秘诀--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.对勾函数y=ax+bx(a>0,b>0)的性质
(1)奇偶性:奇函数,函数图象整体呈两个“对勾”的形状,且函数图象关于原点对称,即f(x)+f(-x)=0.
(2)单调性:函数f(x)在-∞,-ba上为增函数,在-ba,0上为减函数,在0,ba上为减函数,在ba,+∞上为增函数.
(3)最值: 当x>0时,函数y=f(x)在x=ba时取得最小值2ab.
当x<0时,函数y=f(x)在x=-ba时取得最大值-2ab.
2.题型攻略·深度挖掘
[技能方法]
解决此类问题一般要先求函数的定义域,在定义域内研究函数的相关性质,最好先画出函数的图象,利用数形结合思想,解决相应问题.
[易错指导]
注意定义域先行原则,必须先求出函数的定义域,在定义域内解决相应问题.
3.举一反三·触类旁通
例1 (1)已知函数f(x)=a-e-x-ex(a为常数)存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.[2,+∞)
C.(2,+∞)D.(1,+∞)
(2)关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=π2对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
例1 (1)C (2)②③ [解析] (1)函数f(x)=a-e-x-ex(a为常数)存在两个不同的零点,等价于直线y=a与函数g(x)=ex+e-x的图象有两个交点,由g(x)=ex+e-x,x∈R,得g'(x)=ex-1ex=(ex)2-1ex=(ex+1)(ex-1)ex,令g'(x)=0,得x=0,当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.∴函数g(x)的极小值为g(0)=2.当x→-∞时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→+∞.故函数g(x)的大致图象如图所示:
∵直线y=a与函数g(x)=ex+e-x的图象有两个交点,
∴a>2,故选C.
(2)f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称.由f(x)=sin x+1sinx,易知f(-x)=-sin x+1-sinx=-sin x+1sinx=-f(x),所以①是假命题,②是真命题;因为f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-x)=sin x+1sinx=f(x),所以③是真命题;对于命题④,令t=sin x,则t∈[-1,0)∪(0,1],由对勾函数g(t)=t+1t的性质可知g(t)=t+1t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④是假命题.故所有真命题的序号是②③.
[一通百通] 破解关于对勾型函数的复合函数与命题的真假性判断交汇题的方法:
(1)定义法:利用对勾函数的奇偶性与其他函数的奇偶性的定义,即可判断命题的真假.
(2)性质法:利用对勾函数的性质和其他函数的单调性、周期性、对称性等,判断命题的真假.
(3)举反例法:判断对勾型函数的最值为假命题问题,可以利用对勾型函数的单调性直接求出其最值,从而说明其为假命题,也可以利用举出反例,来说明其为假命题,但前者没有后者获得结果快捷.
变式题 (1)已知函数f(x)=xn+4xn(n为正整数),有下列四种说法:
①函数f(x)始终为奇函数;
②当n为偶数时,函数f(x)的最小值为4;
③当n为奇数时,函数f(x)的极小值为4;
④当n=1时,函数y=f(x)的图象关于直线y=2x对称.
其中所有正确说法的序号是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
(2)已知函数f(x)=3x+a3x是R上的偶函数,则实数a的值为 ;若f(x)+b3x>b对任意x∈(1,+∞)恒成立,则b的取值范围为 .
变式题 (1)B (2)1 (-∞,5] [解析] (1)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),显然定义域关于原点对称.对于①,当n是偶数时,f(-x)=f(x),函数f(x)是偶函数,故①错误;对于②,当n是偶数时,xn>0,xn+4xn≥2xn·4xn=4,当且仅当xn=4xn,即x=±21n时“=”成立,故f(x)的最小值是4,故②正确;对于③,当n为奇数时,f'(x)=nxn-1-4nxn+1=n(x2n-4)xn+1,令f'(x)=0,解得x=±n2,当x∈(-n2,0)∪(0,n2)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,-n2)∪(n2,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-n2),(n2,+∞)上单调递增,在(-n2,0),(0,n2)上单调递减,故x=n2时,f(x)取得极小值,f(n2)=2+2=4,故f(x)的极小值是4,故③正确;对于④,n=1时,f(x)=x+4x,其图象如图所示:
结合图象,f(x)图象的对称中心是(0,0),无对称轴,f(x)的图象不关于直线y=2x对称,故④错误.故选B.
(2)由f(x)为偶函数可知,对任意的x∈R都有f(x)=f(-x),即3x+a3x=3-x+a3-x,∴(a-1)3x-13x=0,
∵x∈R,∴a=1.∵f(x)+b3x>b对任意x∈(1,+∞)恒成立,即3x+1+b3x>b对任意x∈(1,+∞)恒成立,
∴b(3x-1)<32x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立.
令t=3x-1,∵x∈(1,+∞),∴t∈(2,+∞),
即b<(t+1)2+1t=t+2t+2对任意t∈(2,+∞)恒成立,令g(t)=t+2t+2(t>2),易知g(t)=t+2t+2在(2,+∞)上是增函数,∴g(t)min>g(2)=5,∴b≤5,即b的取值范围是(-∞,5].
类型二 绝对值型函数
1.函数y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象与性质
(1)函数y=|f(x)|的定义域就是函数f(x)的定义域.
若函数f(x)的定义域为D,则由|x|∈D,即可得函数y=f(|x|)的定义域.
(2)利用“图象法”或“对称法”,可求出函数y=|f(x)|,y=f(|x|)的值域.
(3)奇偶性:若函数f(x)为偶函数或奇函数,则函数y=|f(x)|,y=f(|x|)都为偶函数.
(4)对称性:把函数f(x)在x轴下方的图象关于x轴对称,即可得函数y=|f(x)|的图象; 取函数f(x)的x>0时的图象,再把所得的图象关于y轴对称,即可得函数y=f(|x|)的图象.
(5)单调性:观察函数f(x)的图象特征,再利用对称性,得到函数y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象,即可判断其单调性.
2.题型攻略·深度挖掘
[技能方法]
解决此类问题常用两种方法:一是分类讨论法,去掉绝对值函数中的绝对值符号,即利用分段函数给予表示,从而把绝对值型函数问题转化为分段函数问题进行解决;二是图象法,即认真审清所给的函数的特征,作出绝对值型函数的图象,利用图象的特征,解决相关问题.
[易错指导]
破解绝对值型函数问题,在转化为分段函数(去掉绝对值符号)时,需注意:所分成各段的区间的端点值不要漏掉,否则会产生错解;满足绝对值符号的式子为负值的部分,去掉绝对值符号后要在这个式子前面加上负号,特别是涉及多个绝对值符号时,在解题中要认真地运算.
3.举一反三·触类旁通
例2 (1)[2019·全国卷Ⅰ] 关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数;
②f(x)在区间π2,π单调递增;
③f(x)在[-π,π]有4个零点;
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④B.②④C.①④D.①③
(2)[2021·河南商丘、周口、驻马店联考] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=x,关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|)有下面四个命题:
①g(x)为偶函数;
②g(x)在(1,2)上单调递增;
③g(x)在[2016,2020]上有三个零点;
④g(x)的最大值为2.
其中所有真命题的序号为( )
A.②③B.②④C.①④D.①③④
例2 (1)C (2)C [解析] (1)因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,①正确;当x∈π2,π时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,函数单调递减,②错误;当x∈[-π,0] 时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,即当x∈[-π,π]时,f(x)=2sinx,x∈(0,π],-2sinx,x∈[−π,0],可知函数f(x)的图象在区间[-π,π]上与x轴只有3个交点,即函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,③错误;易知当x=±π2+2nπ,n∈N时,f(x)取得最大值,最大值为2,④正确.故选C.
(2)易知函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=|f(-x)|+f(|-x|)=|-f(x)|+f(|x|)=|f(x)|+f(|x|)=g(x),所以g(x)为偶函数,故①为真命题.
因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)是奇函数,所以f(x)是周期为4的函数,其部分图象如图所示.
所以当x≥0时,g(x)=2f(x),x∈(4k,2+4k],0,x∈(2+4k,4+4k],k∈N,当x∈(1,2)时,g(x)=2f(x),g(x)单调递减,故②为假命题.g(x)在[2016,2020]上的零点个数等价于g(x)在[0,4]上的零点个数,而g(x)在[0,4]上有无数个零点,故③为假命题.当x≥0时,易知g(x)的最大值为2,由偶函数的对称性可知,当x<0时,g(x)的最大值也为2,所以g(x)在整个定义域上的最大值为2,故④为真命题.故选C.
[一通百通] 破解由y=|f(x)|,y=f(|x|)所构成的函数的图象和性质的关键:一是活用定义,会利用偶函数或奇函数的定义,判断所构成函数的奇偶性;二是会作图、用图,会作出函数的草图,注意关键点、曲线形状的正确勾勒,并谨记“草图不草”;三是会转化,会用对称性和周期性,会把繁难问题往简单问题转化,并灵活应用函数图象的对称性和周期性进行求解.
变式题 (1)下列关于函数f(x)=|ln|2-x||的结论错误的是( )
A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增
B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称
C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4
D.函数f(x)有且仅有两个零点
(2)[2020·泰安模拟] 已知函数f(x)=||cs x|-|sin x||,有下列四个结论:
①π是f(x)的最小正周期;
②f(x)在π4,π2上单调递增;
③f(x)的图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈Z);
④f(x)的值域为[0,1].
其中所有正确结论的序号是( )
A.①④B.②④C.②③D.③④
(3)[2020·青岛三模] 已知函数f(x)=(x+6)2,-7≤x<-5,f(x-2),x≥-5,若函数g(x)=f(x)-|k(x+1)|有13个零点,则实数k的取值范围为( )
A.18,16
B.18,16
C.-16,-18∪18,16
D.-16,-18∪18,16
变式题 (1)C (2)B (3)D [解析] (1)函数f(x)=|ln|2-x||的图象如图所示,
由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,A中结论正确;
函数f(x)的图象关于直线x=2对称,B中结论正确;
若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2不一定等于4,C中结论错误;
函数f(x)有且仅有两个零点,D中结论正确.故选C.
(2)∵fx+π2=csx+π2-sinx+π2=||sin x|-|cs x||=||cs x|-|sin x||=f(x),∴π2是f(x)的一个周期,故①错误;
当x∈π4,π2时,f(x)=|cs x-sin x|=sin x-cs x=2sinx-π4,当x∈π4,π2时,x-π4∈0,π4,
∴f(x)在π4,π2上单调递增,故②正确;
显然f(x)是偶函数,故x=0是f(x)的图象的一条对称轴,故③错误;
∵0≤|cs x|≤1,0≤|sin x|≤1,且sin2x+cs2x=1,
∴当|cs x|=|sin x|时,f(x)取得最小值0,当sin x=0或sin x=±1时,f(x)取得最大值1,故④正确.故选B.
(3)函数f(x)的图象如图所示,
令g(x)=0,有f(x)=|k|·|x+1|,
∵函数g(x)=f(x)-|k(x+1)|有13个零点,
∴函数y=f(x)与函数y=|k|·|x+1|的图象有13个交点,
由图象可得|k|·(5+1)<1,|k|·(7+1)>1,|k|·|-7+1|<1,即18<|k|<16,
∴k∈-16,-18∪18,16.
故选D.