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第41讲 增分微课(2)情境下的数列问题--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练
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这是一份第41讲 增分微课(2)情境下的数列问题--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练，文件包含增分微课2情境下的数列问题原卷版docx、增分微课2情境下的数列问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
C.10001…D.11001…
例1 [思路点拨] 分别对4个选项中k=1,2,3,4时的情况进行讨论,若有一个不满足条件,就排除;由题意可得周期都是5,每个答案中都给了一个周期的排列,若需要下个周期的排列,继续写出,如选项C的排列为100011000110001….
C [解析] 对于A选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+0+0)=15,
C(2)=15∑i=15aiai+2=15×(0+1+0+1+0)=25>15,不满足题意;
对于B选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+1+1)=35>15,不满足题意;
对于C选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(0+0+0+0+1)=15,
C(2)=15∑i=15aiai+2=15×(0+0+0+0+0)=0,
C(3)=15∑i=15aiai+3=15×(0+0+0+0+0)=0,
C(4)=15∑i=15aiai+4=15×(1+0+0+0+0)=15,满足题意;
对于D选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+0+1)=25>15,不满足题意.故选C.
[总结反思] 信息技术中的数列问题实质上是数列知识在信息技术中的应用问题,解答的关键是列出相关信息,合理建立数学模型——数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型.求解时,要明确目标,即搞清楚是求和、求通项公式,还是解递推关系问题,最终得出结论.
类型二 数学文化中的数列问题
例2 数学家也有许多美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:Fn=22n+1(n=0,1,2,…)是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5=641×6 700 417,不是质数.现设an=lg2(Fn-1)(n=1,2,…),Sn表示数列{an}的前n项和,则使不等式2S1S2+22S2S3+…+2nSnSn+1<2n2020成立的最小正整数n的值是(提示:210=1024)( )
A.11 B.10
C.9D.8
例2 [思路点拨] 先求出an=2n,再求出Sn=2×(2n-1),2nSnSn+1=14×（12n-1-12n+1-1）,再利用裂项相消法化简,将四个选项中的值代入验证,求出最小正整数n的值.
C [解析] 把Fn=22n+1代入an=lg2(Fn-1),得an=lg2(22n+1-1)=2n,故Sn=2×(1−2n)1−2=2×(2n-1),则2nSnSn+1=14×（12n-1-12n+1-1）,则不等式2S1S2+22S2S3+…+2nSnSn+1=14×（1-12n+1-1）<2n2020成立,将四个选项分别代入计算可得,当不等式成立时,n的最小值为9.故选C.
[总结反思] 对于以数学文化为背景的数列问题,解题时常受困于背景陌生、阅读受阻,使思路无法打开.解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,然后构造恰当的数列模型,再依据等差或等比数列的有关公式求解作答,必要时要进行检验.
类型三 数阵中的数列问题
例3 (多选题)将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图Z2-1所示,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有( )
图Z2-1
A.m=3
B.a67=17×37
C.aij=(3i-1)·3j-1
D.S=14n(3n+1)(3n-1)
例3 [思路点拨] 根据已知条件可求出a13,a61,列式即可求出m,从而求出通项aij,再按照分组求和法每一行分别求和,进而可得S,由此可以判断各选项的正误.
ACD [解析] ∵a11=2,a13=a61+1,∴2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-12(舍去),∴aij=ai1·3j-1=[2+(i-1)×3]·3j-1=(3i-1)·3j-1,∴a67=17×36,∴S=(a11+a12+a13+…+a1n)+(a21+a22+a23+…+a2n)+…+(an1+an2+an3+…+ann)=a11(1-3n)1−3+a21(1-3n)1−3+…+an1(1-3n)1−3=12(3n-1)·(2+3n-1)n2=14n(3n+1)(3n-1).故选ACD.
[总结反思] 从数列到数阵,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的实质仍然是数列问题,只要抓住每行首项,找准每行变化规律,从数阵中构造新数列(等差数列或等比数列或周期数列等),那么解决问题的思想和方法仍然不变,可谓“形散神不散”.
1.【类型1】 计算机是将信息转换成二进制进行处理的,二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示一个二进制数,将它转换成十进制数就是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数11…116位转换成十进制数就是( )
A.217-2B.216-1
C.216-2D.215-1
1.B [解析] (1111111111111111)2=215+214+…+22+2+1=1−2161−2=216-1.故选B.
2.【类型2】 “垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等,某仓库中部分货物堆放成如图Z2-2所示的“茭草垛”:自上而下,第一层有1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层有n件.已知第一层货物单价为1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的45.若这堆货物的总价是25-65·（45）n万元,则n的值为( )
图Z2-2
A.7B.8
C.9D.10
2.B [解析] 由题意,设这堆货物的总价为Sn万元,则Sn=1+2×45+3×（45）2+…+n×（45）n-1,45Sn=45+2×（45）2+…+(n-1)（45）n-1+n×（45）n,两式相减可得15Sn=1+45+（45）2+…+（45）n-1-n×（45）n=1−(45) n1−45-n×（45）n=5-(n+5)（45）n,所以Sn=25-5(n+5)（45）n,令Sn=25-5(n+5)（45）n=25-65·（45）n,解得n=8.
故选B.
3.【类型3】 已知“整数对”按如下规律排列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第68个“整数对”为( )
A.(1,12) B.(3,10)
C.(2,11) D.(3,9)
3.C [解析] 设“整数对”为(m,n)(m,n∈N*),由已知可知点列的排列规律是m+n的值的变化是从2开始,后面依次是3,4,…,其中每取一次值m的值依次增大.当m+n=2时,只有1个“整数对”,即(1,1);
当m+n=3时,有2个“整数对”,即(1,2),(2,1);
当m+n=4时,有3个“整数对”,即(1,3),(2,2),(3,1);
……
当m+n=12时,有11个“整数对”,即(1,11),(2,10),…,(11,1).
上面共有1+2+3+…+11=11×(1+11)2=66(个)“整数对”,
所以第67个“整数对”为(1,12),第68个“整数对”为(2,11),
故选C.
4.【类型2】我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方,如图Z2-3所示,将1,2,…,9填入3×3的方格内,使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n个方格中,使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数字之和为Nn,已知图中三阶幻方的N3=15,那么N9的值为( )
图Z2-3
A.41 B.45
C.369D.321
4.C [解析] 由题意知,N3=13×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=15,N4=14×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)=34,N5=15×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25)=65,…,Nn=1n(1+2+3+4+5+…+n2)=1n×n2(1+n2)2=n(n2+1)2.故N9=9×(92+1)2=9×41=369.故选C.
5.【类型3】下表中的数阵为“森德拉姆筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为ai,j,则a7,8= ,表中的数2021共出现 次.
5.57 12 [解析] 根据题目所给表格规律,可知第i行中的数构成以i+1为首项,i为公差的等差数列,所以ai,j=i+1+(j-1)i=ij+1,所以a7,8=7×8+1=57.由ai,j=2021,得ij=2020=1×2020=2020×1=2×1010=1010×2=4×505=505×4=5×404=404×5=10×202=202×10=20×101=101×20,
所以共出现12次2021.
【类型1】某音乐酒吧的霓虹灯是用♪∮♬三个不同音符组成的一个有n+1(n∈N*)个音符的音符串,要求由音符♪开始,相邻两个音符不能相同.例如当n=1时,排出的音符串是♪∮,♪♬;当n=2时,排出的音符串是♪∮♬,♪∮♪,♪♬♪,♪♬∮;….记这种含n+1个音符的所有音符串中,排在最后一个的音符仍是♪的音符串的个数为an,故a1=0,a2=2,则a4= ,an= .
6.6 2n+2·(−1)n3 [解析] 由题意知a1=0,a2=2=21-a1,a3=2=22-a2,a4=6=23-a3,所以an=2n-1-an-1(n≥2),所以an-1=2n-2-an-2(n≥3),两式相减得an-an-2=2n-2(n≥3).当n为奇数时,利用累加法得an-a1=21+23+…+2n-2=2n-23(n≥3),所以an=2n-23(n≥3),当n=1时,a1=0满足上式;当n为偶数时,利用累加法得an-a2=22+24+…+2n-2=2n-43(n≥3),所以an=2n+23(n≥3),当n=2时,a2=2满足上式.综上所述,an=2n+2·(−1)n3.
C.10001…D.11001…
例1 [思路点拨] 分别对4个选项中k=1,2,3,4时的情况进行讨论,若有一个不满足条件,就排除;由题意可得周期都是5,每个答案中都给了一个周期的排列,若需要下个周期的排列,继续写出,如选项C的排列为100011000110001….
C [解析] 对于A选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+0+0)=15,
C(2)=15∑i=15aiai+2=15×(0+1+0+1+0)=25>15,不满足题意;
对于B选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+1+1)=35>15,不满足题意;
对于C选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(0+0+0+0+1)=15,
C(2)=15∑i=15aiai+2=15×(0+0+0+0+0)=0,
C(3)=15∑i=15aiai+3=15×(0+0+0+0+0)=0,
C(4)=15∑i=15aiai+4=15×(1+0+0+0+0)=15,满足题意;
对于D选项,C(1)=15∑i=15aiai+1=15×(1+0+0+0+1)=25>15,不满足题意.故选C.
[总结反思] 信息技术中的数列问题实质上是数列知识在信息技术中的应用问题,解答的关键是列出相关信息,合理建立数学模型——数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型.求解时,要明确目标,即搞清楚是求和、求通项公式,还是解递推关系问题,最终得出结论.
类型二 数学文化中的数列问题
例2 数学家也有许多美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:Fn=22n+1(n=0,1,2,…)是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5=641×6 700 417,不是质数.现设an=lg2(Fn-1)(n=1,2,…),Sn表示数列{an}的前n项和,则使不等式2S1S2+22S2S3+…+2nSnSn+1<2n2020成立的最小正整数n的值是(提示:210=1024)( )
A.11 B.10
C.9D.8
例2 [思路点拨] 先求出an=2n,再求出Sn=2×(2n-1),2nSnSn+1=14×（12n-1-12n+1-1）,再利用裂项相消法化简,将四个选项中的值代入验证,求出最小正整数n的值.
C [解析] 把Fn=22n+1代入an=lg2(Fn-1),得an=lg2(22n+1-1)=2n,故Sn=2×(1−2n)1−2=2×(2n-1),则2nSnSn+1=14×（12n-1-12n+1-1）,则不等式2S1S2+22S2S3+…+2nSnSn+1=14×（1-12n+1-1）<2n2020成立,将四个选项分别代入计算可得,当不等式成立时,n的最小值为9.故选C.
[总结反思] 对于以数学文化为背景的数列问题,解题时常受困于背景陌生、阅读受阻,使思路无法打开.解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,然后构造恰当的数列模型,再依据等差或等比数列的有关公式求解作答,必要时要进行检验.
类型三 数阵中的数列问题
例3 (多选题)将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图Z2-1所示,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有( )
图Z2-1
A.m=3
B.a67=17×37
C.aij=(3i-1)·3j-1
D.S=14n(3n+1)(3n-1)
例3 [思路点拨] 根据已知条件可求出a13,a61,列式即可求出m,从而求出通项aij,再按照分组求和法每一行分别求和,进而可得S,由此可以判断各选项的正误.
ACD [解析] ∵a11=2,a13=a61+1,∴2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-12(舍去),∴aij=ai1·3j-1=[2+(i-1)×3]·3j-1=(3i-1)·3j-1,∴a67=17×36,∴S=(a11+a12+a13+…+a1n)+(a21+a22+a23+…+a2n)+…+(an1+an2+an3+…+ann)=a11(1-3n)1−3+a21(1-3n)1−3+…+an1(1-3n)1−3=12(3n-1)·(2+3n-1)n2=14n(3n+1)(3n-1).故选ACD.
[总结反思] 从数列到数阵,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的实质仍然是数列问题,只要抓住每行首项,找准每行变化规律,从数阵中构造新数列(等差数列或等比数列或周期数列等),那么解决问题的思想和方法仍然不变,可谓“形散神不散”.
1.【类型1】 计算机是将信息转换成二进制进行处理的,二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示一个二进制数,将它转换成十进制数就是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数11…116位转换成十进制数就是( )
A.217-2B.216-1
C.216-2D.215-1
1.B [解析] (1111111111111111)2=215+214+…+22+2+1=1−2161−2=216-1.故选B.
2.【类型2】 “垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等,某仓库中部分货物堆放成如图Z2-2所示的“茭草垛”:自上而下,第一层有1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层有n件.已知第一层货物单价为1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的45.若这堆货物的总价是25-65·（45）n万元,则n的值为( )
图Z2-2
A.7B.8
C.9D.10
2.B [解析] 由题意,设这堆货物的总价为Sn万元,则Sn=1+2×45+3×（45）2+…+n×（45）n-1,45Sn=45+2×（45）2+…+(n-1)（45）n-1+n×（45）n,两式相减可得15Sn=1+45+（45）2+…+（45）n-1-n×（45）n=1−(45) n1−45-n×（45）n=5-(n+5)（45）n,所以Sn=25-5(n+5)（45）n,令Sn=25-5(n+5)（45）n=25-65·（45）n,解得n=8.
故选B.
3.【类型3】 已知“整数对”按如下规律排列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第68个“整数对”为( )
A.(1,12) B.(3,10)
C.(2,11) D.(3,9)
3.C [解析] 设“整数对”为(m,n)(m,n∈N*),由已知可知点列的排列规律是m+n的值的变化是从2开始,后面依次是3,4,…,其中每取一次值m的值依次增大.当m+n=2时,只有1个“整数对”,即(1,1);
当m+n=3时,有2个“整数对”,即(1,2),(2,1);
当m+n=4时,有3个“整数对”,即(1,3),(2,2),(3,1);
……
当m+n=12时,有11个“整数对”,即(1,11),(2,10),…,(11,1).
上面共有1+2+3+…+11=11×(1+11)2=66(个)“整数对”,
所以第67个“整数对”为(1,12),第68个“整数对”为(2,11),
故选C.
4.【类型2】我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方,如图Z2-3所示,将1,2,…,9填入3×3的方格内,使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n个方格中,使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数字之和为Nn,已知图中三阶幻方的N3=15,那么N9的值为( )
图Z2-3
A.41 B.45
C.369D.321
4.C [解析] 由题意知,N3=13×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=15,N4=14×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)=34,N5=15×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25)=65,…,Nn=1n(1+2+3+4+5+…+n2)=1n×n2(1+n2)2=n(n2+1)2.故N9=9×(92+1)2=9×41=369.故选C.
5.【类型3】下表中的数阵为“森德拉姆筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为ai,j,则a7,8= ,表中的数2021共出现 次.
5.57 12 [解析] 根据题目所给表格规律,可知第i行中的数构成以i+1为首项,i为公差的等差数列,所以ai,j=i+1+(j-1)i=ij+1,所以a7,8=7×8+1=57.由ai,j=2021,得ij=2020=1×2020=2020×1=2×1010=1010×2=4×505=505×4=5×404=404×5=10×202=202×10=20×101=101×20,
所以共出现12次2021.
【类型1】某音乐酒吧的霓虹灯是用♪∮♬三个不同音符组成的一个有n+1(n∈N*)个音符的音符串,要求由音符♪开始,相邻两个音符不能相同.例如当n=1时,排出的音符串是♪∮,♪♬;当n=2时,排出的音符串是♪∮♬,♪∮♪,♪♬♪,♪♬∮;….记这种含n+1个音符的所有音符串中,排在最后一个的音符仍是♪的音符串的个数为an,故a1=0,a2=2,则a4= ,an= .
6.6 2n+2·(−1)n3 [解析] 由题意知a1=0,a2=2=21-a1,a3=2=22-a2,a4=6=23-a3,所以an=2n-1-an-1(n≥2),所以an-1=2n-2-an-2(n≥3),两式相减得an-an-2=2n-2(n≥3).当n为奇数时,利用累加法得an-a1=21+23+…+2n-2=2n-23(n≥3),所以an=2n-23(n≥3),当n=1时,a1=0满足上式;当n为偶数时,利用累加法得an-a2=22+24+…+2n-2=2n-43(n≥3),所以an=2n+23(n≥3),当n=2时,a2=2满足上式.综上所述,an=2n+2·(−1)n3.
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